向量及其线性运算okPPT学习教案

1、会计学1向量及其线性运算向量及其线性运算ok,0)(2r令求曲线图形的公共部分的面积 .解解：与所围成)sin(cos2 ar得所围区域的面积为S0422d)(21r2221a0422d)sin(cos2a28a)22cos(22a4028a4机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos1ar ocos1ar )sin(cos2 ar4) 1(2a第1页/共40页分析曲线特点) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与 x 轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性

2、,211,2143也合于所求. 为何值才能使) 1( xxy.) 1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第2页/共40页第七章一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影第3页/共40页第4页/共40页向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的

3、向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：或或或或或或第5页/共40页, , ,等等等等如如示示向量也可用粗体字母表向量也可用粗体字母表Fvia. ,等等等等如如示示加箭头的书写体字母表加箭头的书写体字母表向量还可用在上面向量还可用在上面Fvia第6页/共40页自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a

4、 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原与原点构成的向量点构成的向量. . OMM第7页/共40页因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共40页, , , bOBaOAOba作作任取空间一点任取空间一点设有两个非零向量设有两个非零向量. 0 , 之间任意取值之间任意取值与与夹角可以在夹角可以在规定它们的规定它们的中有一个是零向量中有一个是零向量与与如果向量如果向量baoABab , )0, ( 的夹角的夹角与与称为向量

5、称为向量设设的的规定不超过规定不超过baAOBAOB.),( ),( ),( baabba即即或或记作记作第9页/共40页零向量与任何向量都平行零向量与任何向量都平行./0),( bababa平行，记作平行，记作与与，就称向量，就称向量或或如果如果 .2),( bababa垂直，记作垂直，记作与与，就称向量，就称向量如果如果 第10页/共40页1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则或平行四边形法则或平行四边形法则运算规律运算规律 :交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .abba abcba cb)(cbacba)(cba )()(

6、cba cba ba aBAbCaABba CbD第11页/共40页s3a4a5a2a1a54321aaaaas第12页/共40页三角不等式三角不等式有有时时特别当特别当,abaa abb cbabac )(b ba)( ba . 0)( aa. | | , | | babababa . 同向或反向时成立同向或反向时成立与与其中等号在其中等号在bac . 的终点的向量的终点的向量的终点指向的终点指向是一个从是一个从向量向量abba第13页/共40页 , , aa记作记作的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量与实数与实数向量向量aa 规定规定 : :;0aaaa，同向同向与与时，时，;,0aaaa

7、，反向反向与与时时.0,0a时时总之总之, ,aa2a21 第14页/共40页向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律;)()()( (1)aaa结合律结合律.)( ;)( )2(babaaaa分配律分配律向量的加减法及数乘统称为向量的加减法及数乘统称为向量的线性运算向量的线性运算. ., 0a若若ae则有单位向量则有单位向量,|1aaaeaa因此因此换言之，换言之， 任一非零向量总可以写成它自身的模与一个任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同方向的单位向量的数乘与它同方向的单位向量的数乘. .第15页/共40页.,.,交点交点是平行四边形对角线的是平行四边形对角线的这里这里和和

8、表示向量表示向量和和试用试用设设中中在平行四边形在平行四边形MMDMCMBMAbabADaABABCD 由于平行四边形的对角线互相平分由于平行四边形的对角线互相平分, , 所以所以,2)( 2 MAbaAMACba即即).(21 baMA于是于是.2,baMCMAMC所以所以因为因为CDABabM例例1 1解：解：第16页/共40页,2)(, abMDBDba所以所以又因又因, MDMB由于由于CDABabM.2 baMB所以所以第17页/共40页例例2 2 化简化简 53215abbba解：解： 53215abbbaba 551251)31(.252ba 第18页/共40页. , 行关系行关

9、系积来说明两个向量的平积来说明两个向量的平所以常用向量与数的乘所以常用向量与数的乘平行平行与与因为向量因为向量aa. , : , 0 ababa使得使得存在唯一的实数存在唯一的实数必要条件是必要条件是的充分的充分平行于平行于那么向量那么向量设向量设向量定理定理1 1则则,0时时当当,0时时当当已知已知 b a ,b0a , b 同向同向ab ,0时时当当a , b 反向反向充分性充分性证明证明：第19页/共40页. , , , . ababababab即有即有取负值取负值反向时反向时与与当当值值取正取正同向时同向时与与当当取取平行平行与与设设. . 的唯一性的唯一性再证实数再证实数存在存在因此

10、实数因此实数便得便得两式相减两式相减设设, abab, 0)(a. 0 a即即. , 0 , 0 即即故故因为因为 a必要必要性性第20页/共40页例例3 3 试用向量方法证明：对角线互相平分试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证ABCDMAMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等, ,BC结论得证结论得证.第21页/共40页数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。Ox如图，点如图

11、，点O O 及单位向量及单位向量i确定了数轴确定了数轴 Ox .iP在轴上任取一点在轴上任取一点P P, , 则有则有 ，iOP/从而存在唯一从而存在唯一的的 x R 使得使得 且有且有ixOP xi xOPP 实数实数向量向量点点第22页/共40页O定点定点三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手法则右手法则. .,; kjiOOxyz或或空间直角坐标系空间直角坐标系x 横轴横轴iy 纵轴纵轴jz 竖轴竖轴k第23页/共40页xoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限.xyOz第24页/共40页各卦限中点的坐标的特点各卦限中点的坐标的特点0,

12、0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 0),( ),( zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx点的坐标点的坐标卦限卦限点的坐标点的坐标卦限卦限xyzOMPQRM),(zyx一一对应一一对应第25页/共40页zyx),(zyxMOxyzPNQKRHOROQOPNMPNOPOMr k.jizyx . , 坐标轴方向的分向量坐标轴方向的分向量称为向量沿三个称为向量沿三个、的坐标分解式的坐标分解式向量向量kjirzyx向量的坐标表示向量的坐标表示第26页/共40页).,( . , , zyxMMMzyxMzyx记为

13、记为将点将点坐标坐标的横坐标、纵坐标和竖的横坐标、纵坐标和竖为点为点和和、依次称依次称的坐标的坐标称为点称为点数数zyx),(zyxMOxyzPNQKRH).,( , , zyxzyxrr 记为记为的坐标的坐标也称为向量也称为向量数数).,(zyxkzj yi xOMrM 第27页/共40页向径向径 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R 坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组),(zyx 11( (称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O ( 0, 0, 0) ;rxyzOPQRMABCr第28页/共40页坐标轴坐标轴

14、 : 轴轴x00 zy00 xz轴轴y轴轴z00 yx坐标面坐标面 :面面yox0 z面面zoy0 x面面xoz0 yxyzo第29页/共40页设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则 ba),(zzyyxxbababa a ),(zyxaaa ba ,0时时当当aab xxab yyab zzab xxab yyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例: :，为实数为实数第30页/共40页;, 0 , 0, 0 zzyyxzyxababbaaa上式应理解为上式应理解为、如果如果. 0, 0 , 0, 0 yxzyxbbaaa上式应理解为上式应理解为如果如果.z

15、zyyxxababab 第31页/共40页).2 , 1 , 1( ),2 , 1 , 2(,23,35babyxayx其中其中线性方程组线性方程组求解以向量为未知元的求解以向量为未知元的解解： 2 3 , 得得bax32 )10,1,7( 代入得代入得bay53 )16,2,11( 第32页/共40页., 1),(),(222111MBAMMABzyxBzyxA 使使上求点上求点在直线在直线以及实数以及实数和和知两点知两点如图所示如图所示, , 由于由于OxyzAMB,OMOBMBOAOMAM 即得即得代入代入的坐标的坐标点点即点即点坐标坐标的的以以,),(,BAOBOA).1,1,1(21

16、2121 zzyyxxOM这就是这就是M点的坐标点的坐标.),(OMOBOAOM 因此因此).(11OBOAOM 从而从而例例3 3解解： 第33页/共40页得得定比分点公式定比分点公式: :,121 xxx,121 yyy.121 zzz,1时时当当点点 M 为为 AB 的中点的中点 , ,于是得于是得ABMo),(11),(212121zzyyxxzyx 中点公式中点公式,221xxx ,221yyy .221zzz 第34页/共40页1.1.向量的模向量的模222OROQOPOMr 则则作作设设, ),( rOMzyxr 式式为为于于是是向向量量模模的的坐坐标标表表示示xyzOMPQRK

17、HN, kzORj yOQi xOP 由于由于, zORyOQxOP 所以所以五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影222 zyxr 第35页/共40页PN. ),( ),( 22221111为空间两点为空间两点和和设设zyxMzyxM?21 MMdxyzO1M2M）（1212121221,zzyyxxOMOMMM 2122122122121)()()(zzyyxxMMMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式21221221221)()()(zzyyxxMM 第36页/共40页. )3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4( 321角形角形的三角形是一个等腰三的三角形是一个等腰三为顶点为顶点证明以证明以MMM,14)12()31()47(222221 MM, 6)23()12()75(222232 MM, 6)31()23()54(222213 MM,1332MMMM 因为因为. 321是等腰三角形是等腰三角形所以所以MMM 例例4 4证明：证明： 第37页/共40页解：解： 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0