三视图与体积面积计算

1、(2009)_1 _珠海二模 一个五面体的三视图如下：正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图是直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为例将三视图还原成直观图再进行计算12232.211322.33ShPAVSh 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图所示由直观图结合三视图可知，此四棱锥的底面为直角梯形，其面积，高为故体积解析：41三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正俯之间长相等，侧俯之间宽相等，正侧之间高相等，即“正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等”2解答此类问题，要善于将三视图还原成空间几何

2、体，再结合三视图进行处理 (2010)/ / /3() 1ABCAABBC CC CABCAABBC CABABCA B C 广 东 卷 如 右 图 ，为 正 三 角 形 ，平 面， 且， 则 多面 体的 正 视 图 也称 主 视 图 是变 式解析：答案为D 如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( ). 答案：答案：C3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）A. B.2C.2 D.6答案：D334.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A.12B.4C. D. 答案：B 2 cm60 .122 PAB

3、CDPBCPBPCABCDABC在四棱锥中，侧面是等腰直角三角形，且垂直底面，底面是菱形，求： 这个四棱锥的体积；这个四棱例锥的全面积求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面切入点：的面积 1.2 cm 2cm2 2cmPBCABCDPPEBCEPEABCDPBCPBPCPEBC平面平面，过 作于 ，则有平面是等腰直角三角形，:，解，析 23sin6032 22 24 3 cm2114 32334 6cm3ABCDPABCDABCDABCDABCDSBC ABVSPE底面底面又底面为菱形，底面的面积为 2260./ /.2cmsin606 cm2 2 cm.2 2 cm112

4、 22 24 cm22PADABCDABCEBCABCAEAEBCBCPEAEPEEBCPAEBCPAADBCADPAPAEPEAEACPAADBCSAD PA 底面是菱形， 为的中点，为等边三角形连接，则有又，平面，在中，由，得又，22222.36.223142.2211142 27 cm2227 cm2 cmPABPCDPBCEEGABGPGPGABEGBEGBEPEGPGPEEGSAB PGSS过 作于 ，连接，则在中，在中，同理，224 347724 3(4 32 76)76m2cm.cABCDPADPABPCDPBCSSSSSS 全底面四棱锥的全面积为面积与体积的计算要注意如下两个方

5、面：1目标明确，根据相应的面积与体积公式，弄清已知了什么量，还需要什么量，怎样得到这些量2保证计算的合理性在运用公式计算之前，要有必要的推理与证明1111114608.ABCABCA ABA ACAA 斜三棱柱中，底面是边长为 的正三角形，且，求它的全面积变式2 与体积-11 BCC B利用直截面面积与侧棱的积求侧面积；或用“分解法”求出各侧面面积，从而得全面积运用此法的关键在切入点：于证明侧面是矩形111.90.4 sin602 3.BDAADCDBADCADCDABDAAACDBDCDDAABCDBCDBDCD 如图，作于 ，连接可证，即而，平面，即平面为直截面易知解析： 2211(2 3

6、2 34)83232 32.124324 224 240 3328.32BCDBCDSclSSSSVSAA 侧直截面侧全底，（2），3R半径为 的球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径为何值时，它的侧面积最大？最大例值是多少？选择适当的截面图，建立侧面积的函数关系，利用函数求出相应切入点： 的最值 .ABCDOrhSOBOHABABH取圆柱的一个轴截面，则为球的一个大圆设圆柱的半径为 ，高为 ，侧面积为连接，作交解于析：22222222222222222222Rt( )2.22224.161616.hOBHRrhRrSrhrRrrRrSrRrrR r 在中，有，即22222222221622(

7、16)22224()22.22.rRRrrRSRRRRRR这是一个关于 的二次函数，当，即时 有最大值，最大值为故当这个圆柱的底面半径为 时，它的侧面积最大，最大值是1有关旋转体的切接问题一般通过轴截面图化归为平面问题解决2立体几何中的最值问题，可构造目标函数，用求最值的方法加以解决 2 .12aa已知正四棱锥的底面边长为 ，侧棱长为求： 它的外接球的体积；它的内切球的变式3表面积- SABCDSAC设正四棱锥，如图所示的外接圆是外接球的一个大圆，所以只要求出这个外接圆的半径即可而内切球的球心到棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥的体积求出内切球解析：的半径 331222 62sinsin

8、6032 64.33ROOAOCOSOSACSACABBCaACaSACACaRaASRRaCaV外接球设外接球的半径为 ，球心为 ，则，所以 为的外心，即的外接圆半径就是球的半径，为正三角形由正弦定理得，因此，则 2222222.72221172224( 71).SBCSBCrSEESFBCFEFaSFSBBFaaSBC SFaaaSSSa 棱锥全底设内切球的半径为 作底面于 ，作于 ，连接则有，222223322276222116.332633426612714.473aSESFEFaaVShaaaaaVraSaSr 棱锥底球又，321在三视图中，正俯和正侧视图的对应关系比较直观，易于理解

9、掌握，而难点在于侧俯两视图的宽相等和前后方位的理解和判断2对于几何体的表面积与体积问题，要熟记各类几何体的表面积与体积公式，做到正确选用，准确计算3几何体的切接问题：(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即它们的体对角线(2)柱、锥的内切球问题，需找准切点的位置，化归为平面几何问题 1.(2010)2 A 44 3 B 12C 4 3 D 8深圳一模 如图，一个简单空间几何体的三视图中，正视图与侧视图都是边长为 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是21 . 2解由几何体的三视图可知，该几何体是底面为边长是 的正方形，高为的正四棱锥易计算得表面积是析： 2.(

10、2010) A 372 B 360C 292 D 280安徽卷 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是42(10 810282)2(6 882).360S 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 个侧面面积之和故解析：3. .一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为2222 3332 34164(3).3RVR由三视图知该几何体是底面为直径是 的圆，高为的圆锥所以该几何体外接球的半径为，所以解析：4.44 ()已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形在该几何体上任意选择 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的个顶点，这

11、些几何形体是 写出所有正确结论的编号 矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体显然可能，不可能，由下图甲、乙、丙知解析：都有可能 5./ /1225.3().412()3.PACABCPMBCPAPCACBCPMABPABCSPMABCV如图所示的几何体中，平面平面，已知该几何体的侧视图 左视图的面积为求证：；画出该几何体的正视图 主视图，并求其面积 ；求出多面体的体积 2221125.ACBCABACBCABACBCPACABCPACABCACBCPACPAPACPABC证明：，平面平面，平面平面，平面平面，解析： 2.PAPCACDPDPDACPACABCPDABC该几何体的正视图如下：因为，取的中点 ，连接，则又平面平面，则平面，1131224312121 134233.2ACPDPDPDPACPDS 该几何体的左视图面积为，从而易知是边长为 的正三角形主视图的面积是上、下底面边长分别为 和 ，为高的直角梯形