ch连续性概念实用PPT学习教案

1、会计学1ch连续性概念实用连续性概念实用解解： 1、 2) 1()(limlim11xxfxxy12021x1)( xxf2、 2) 1(11)(limlimlim1211xxxxgxxx11)(2 xxxg(1,2)从图象上看，从图象上看， 在在 处处“连续连续”， 在在 处处“间间断断”。1x1x)(xg)(xf2、 ， 1、 ) 1()( xxf11)(2xxxg引例引例 求下列求下列函数在函数在处的函数值和极限，并作出图象处的函数值和极限，并作出图象。1x(1)2f(1)g不存在图象：图象： 图象：图象： yx01122(1,2)第1页/共22页定义定义1 1 ( )212f xxx例

2、如，函数在点处连续，因为 1sin,0( )0,0 xxf xxx又如，函数 0() fU x 设函数 在某有定义，若一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性00fxxf则称 在点 连续, 称为 的连续点.00 lim( )(),xxf xf x010lim sin0(0).xxxfx在处连续，因为2lim(21)5(2).xxf 第2页/共22页u 函数的增量（函数的增量（改变量改变量） 当变量当变量 由初值由初值 变到终值变到终值 时，称终值与初值时，称终值与初值的差的差 为变量为变量 的增量（改变量），记为的增量（改变量），记为 ，即即 x0 xx0 xx x0 xxx x0 x注：

3、自变量的增量或函数 y的增量可为正数，也可为 或负数。)(xfy xx 00 xxxyy)(0 xf00000( ),()(), yf xxxxxxxyf xf xxy 设函数在点 的某邻域内有定义. 当自变量 在这个邻域内从 变到时 函数 相应地从变到这时函数 的对应增量为:. )()(00 xfxxfy 第3页/共22页提示:0lim0yx设设x x0+ x 则当则当 x0 xx0 因此因此 定义1 设函数设函数 y=f(x) 在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义 如果如果那么就称函数那么就称函数 y=f(x) 在点在点x0处连续处连续 0lim0yx 或 y f(x0 x

4、) f(x0) 0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 01( )0,0fU x 定义 设函数 在某定义，若对都存在00( )(),xxf xf x使当时有 0.fx则称函数 在点 连续第4页/共22页 定理4.1 函数函数y=f(x)在点在点x0处连续处连续函数函数y=f(x)在点在点x0处左连续且右处左连续且右连续连续 ( )( )0 f xxD xx故函数在点连续. 左连续与右连续左连续与右连续002() )()fUUxx定义 设函数 在某有定义，若1 ( )( )0( ).f xxD xxD x例证明函数在点连

5、续，其中为狄利克雷函数 00( )1( )0( ).fD xf xfxD xx证（ ），（ ）0,0 x 对取，则当时有( )0.f xf （ ）0000(0)(0)(),)f xff xfxx0.fx则 称在 点右左（） 连 续第5页/共22页例例2 讨论函数讨论函数 2, 22,)(2xxxxxf在在 处的连续性，并作出函数的图象。处的连续性，并作出函数的图象。2x解：解： （1） 的定义域是的定义域是 ，故，故 在在 及其附近有定义，及其附近有定义， ; )(xf),()(xf2x4)2(f（2） )(lim2xfx22limxx4(2);f)(lim2xfx2lim(2)4(2),xx

6、fx041 2 3-1-2123y2fx 因此， 在处既左连续又右连续，进而连续.第6页/共22页在在 处连续处连续。例例3 适当选取适当选取 的值，使函数的值，使函数a0,0,)1 ()(1xaxxxxfx0 x解解：0lim( )xf x又10lim(1),xxxe00(2) lim( )lim()xxf xxa(0),af0fx函数 在处右连续；00fxfx要使 在处连续，还需 在处左连续，即(00)(0),.ffaea也就是 (,)0(0)0.fxf (1)函数 的定义域为，故在处及其附近有定义，且0.aefx所以，当时，函数 在处连续第7页/共22页二、二、 函数的间断点及其分类函数

7、的间断点及其分类 如果函数如果函数 在在 处不连续，那么称函处不连续，那么称函数数 在在 处是间断的，并称点处是间断的，并称点 为函数为函数 的间的间断点或不连续点。断点或不连续点。)(xfy 0 x)(xf0 x0 x)(xf 由函数由函数 在在 处连续的定义知，当函数处连续的定义知，当函数有下列三种情形之一时，函数有下列三种情形之一时，函数 在在 处间断。处间断。)(xf0 x)(xf)(xf0 x（1） 在在 近旁有定义，但在近旁有定义，但在 处没有定义。处没有定义。0 xx 0 x（2） 虽在虽在 处有定义，但处有定义，但 不存在。不存在。0 x)(lim0 xfxx（3） 虽在虽在

8、处有定义，且处有定义，且 存在，但存在，但0 x)(lim0 xfxx)()(0lim0 xfxfxx第8页/共22页（2）函数函数 在在 处有定义，但处有定义，但 不存在。所以，不存在。所以， 是该函数的间断点。是该函数的间断点。0,10, 1)(xxxxxf0 x1)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx0 x例如：例如：（1）函数）函数 在在 处无定义处无定义 所以所以 是该函数的间断点。是该函数的间断点。24)(2xxxf2x2x2-22yx0)(xfy 1-1xy0第9页/共22页(3)函数函数 ，在，在 处有定义，处有定义， 且且 ，但但所以所以 是该函数的间断

9、点。是该函数的间断点。1,211,)(xxxxf1x21) 1 (f1lim( )1xf x1lim( )(1)xf xf1x第10页/共22页 通常把间断点分成两类通常把间断点分成两类 设设 x0是函数是函数f 的间断点的间断点 如果左极限如果左极限f(x0-0)及右极限及右极限f(x0+0)都存都存在在 那么那么x0称为函数称为函数f(x)的的第一类间断点第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点不属于第一类间断点的间断点 称为称为第二类间断点第二类间断点 在第一类间断点中在第一类间断点中 左、右极限相等者称为左、右极限相等者称为可去间断点可去间断点 v间断点的类型间断点的类型注:.)(,)

10、()(,)(lim0000的可去间断点为则称或有定义但无定义在点而若xfxAxf，xxfAxfxx左、右极限左、右极限不相等者称为不相等者称为跳跃间断点跳跃间断点 注:.)(),(lim)(lim,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但右极限都存在右极限都存在的左的左在点在点若函数若函数xfxxfxfxxfxxxx第11页/共22页间间断断点点第第一一类类间间断断点点第第二二类类间间断断点点 都都存存在在0,000 xfxf 至至少少一一个个不不存存在在0,000 xfxf可可去去间间断断点点跳跳跃跃间间断断点点震震荡荡间间断断点点无无穷穷间间断断点点 0000 xf

11、xf 0000 xfxf xfxx0lim下面举例说明函数间断点的这几种常见类型：下面举例说明函数间断点的这几种常见类型：间断点的具体分类如表：间断点的具体分类如表：第12页/共22页间断点举例 例1 例例 1 正切函数 ytan x 在2 x处没有定义 所以点2 x是函数 tan x 的间断点 因为xxtanlim2 故称2 x为函数 tan x 的无穷间断点 它属于第二类间断点它属于第二类间断点.第13页/共22页例例 2 函数xy1sin在点 x0 没有定义 例2 当当x0时时 函数值在函数值在 1与与 1之间震荡无限多次之间震荡无限多次 所以点所以点x 0是函数的间断点是函数的间断点

12、所以点所以点x 0称为函数的称为函数的振荡间断点振荡间断点 它也属于第二类间它也属于第二类间断点断点.间断点举例xy1sin第14页/共22页所以点所以点x 1是函数的间断点是函数的间断点 所以所以x 1为该函数的为该函数的可去间断点可去间断点 例3 例例 3 函数112xxy在 x1 没有定义 因为11lim21xxx2) 1(lim1xx 间断点举例112xxy如果补充定义如果补充定义 令令x=1时时y=2 则补充定义后的函数在则补充定义后的函数在x=1处就连续处就连续.第15页/共22页所以所以x 1是函数是函数f(x)的的可去间断点可去间断点 如果改变函数如果改变函数f(x)在在x 1

13、处的定义处的定义 令令f(1) 1 例4 例例 4 设函数1 211 )(xxxxfy 因为1lim)(lim11xxfxx) 1 ()(lim1fxfx 21) 1 ( f 间断点举例则改变定义后的函数在则改变定义后的函数在x=1处连续处连续. 第16页/共22页 由其图形可以看出，函数由其图形可以看出，函数f(x)的图形在的图形在x 0处处产生了跳跃现象产生了跳跃现象. 例5 例例 5 设函数0 10 00 1)(xxxxxxf 间断点举例 因为1) 1(lim)(lim00 xxfxx 1) 1(lim)(lim00 xxfxx )(lim)(lim00 xfxfxx 所以所以x=0为函

14、数为函数f(x)的的跳跃间断点跳跃间断点 第17页/共22页三、三、 区间上的连续函数区间上的连续函数,.对于闭区间或半开半闭区间的端点 函数在这些点上的连续是指在右端点上左连续，在左端点上右连续.1,1,)1 , 1(1:2右右连连续续在在左左连连续续在在每每一一点点都都连连续续在在例例如如 xxxy,.fIfI若函数 在区间 上的每一点都连续 则称 在 上的连续函数,.IfI若函数 在区间 上仅有有限个第一类间断点 则称在 上分段连续f.)3 , 3(:上上分分段段连连续续在在例例如如 xy!连连续续等等函函数数在在其其定定义义区区间间上上后后面面我我们们将将证证明明任任何何初初?).(为

15、为什什么么续续区区间间上上每每一一点点处处都都不不连连狄狄利利克克雷雷函函数数在在其其定定义义第18页/共22页黎曼函数黎曼函数证明证明:例例6 1,( ,/),( )0,0,1(0,1).pxp qp qqqR xx当为正整数为既约真分数当及内无理数.,)1 , 0(任任何何有有理理点点处处都都不不连连续续内内任任何何无无理理点点处处都都连连续续在在R1(1)(0,1)( )0.0(),2 证证 设设为为无无理理数数，则则任任给给不不妨妨设设),2(1 qqq但但至至少少有有一一个个，如如显显然然只只有有有有限限个个的的正正整整数数满满足足),21()1 , 0()(至至少少有有一一个个，如

16、如只只有有有有限限个个的的有有理理数数从从而而使使 xxRnxxx12,.设设它它们们为为nxxx12min|,|,|,|0|,|1|, 取取,)(),1 , 0()(;( xRxUx为为有有理理数数时时有有当当则则对对任任何何, 0)(为为无无理理数数时时有有当当xRx总总有有于于是是对对任任何何),;( Ux )(| )()(|xRRxR.)(处处连连续续在在无无理理点点这这就就证证明明了了函函数数 xR第19页/共22页黎曼函数黎曼函数证明证明:例例6 1,( ,/),( )0,0,1(0,1).pxp qp qqqR xx当为正整数为既约真分数当及内无理数.,)1 , 0(任任何何有有理理点点处处都都不不连连续续内内任任何何无无理理点点处处都都连连续续在在证证：,21)1 , 0()2(0 对对任任何何正正数数内内有有理理数数，取取为为设设qqp,1|