初等数学研究(第一讲)PPT课件

1、2021/7/241初等数学（方法）研究初等数学（方法）研究石家庄学院数信系石家庄学院数信系 孙庆利孙庆利TELmail：2021/7/242课程简介课程简介 初等数学（方法）研究初等数学（方法）研究主要包括初等代数和初等主要包括初等代数和初等几何两部分内容，它是一门古老而又充满生命力的学几何两部分内容，它是一门古老而又充满生命力的学科，是师范院校数学教育专业的必修课程。本课程比科，是师范院校数学教育专业的必修课程。本课程比较系统地阐述了初等数学的基础理论，其中包括集合较系统地阐述了初等数学的基础理论，其中包括集合与逻辑、数与式的理论及方法、函数、方程与不等式与逻辑、

2、数与式的理论及方法、函数、方程与不等式的理论及方法、几何变换、几何推理论证的理论与方的理论及方法、几何变换、几何推理论证的理论与方法、排列组合与概率统计初步以及中学数学解题策略法、排列组合与概率统计初步以及中学数学解题策略等内容。为密切联系中学教学实际，本课程配置了与等内容。为密切联系中学教学实际，本课程配置了与中学数学教学、中学生数学竞赛题相吻合的例题与习中学数学教学、中学生数学竞赛题相吻合的例题与习题，并在内容、形式上略作提高。例题分析，着重揭题，并在内容、形式上略作提高。例题分析，着重揭示初等代数与初等几何问题中所蕴含的数学思想及通示初等代数与初等几何问题中所蕴含的数学思想及通性通法，以

3、提高用数学的思想方法分析问题、解决问性通法，以提高用数学的思想方法分析问题、解决问题的能力。题的能力。 2021/7/243参考书目参考书目 1 赵振威赵振威,章士藻，章士藻，初等代数研究初等代数研究，华东师，华东师大出版社大出版社, 2008年印。年印。 2 赵振威赵振威,章士藻，章士藻，初等几何研究初等几何研究，华东师，华东师大出版社，大出版社，2008年印。年印。 3余元希编著，余元希编著，初等代数研究初等代数研究，高等教育，高等教育出版社出版社, 2010年印。年印。 4李长明李长明,周焕山，周焕山，初等数学研究初等数学研究，高等教，高等教育出版社，育出版社，2007年印。年印。202

4、1/7/244 数学是研究数与形的关系的一门学科，它是以解决客数学是研究数与形的关系的一门学科，它是以解决客观世界的事物的内在逻辑联系的观世界的事物的内在逻辑联系的“问题问题”为主要目为主要目的在这个意义上来讲，探索解决数学问题的解题规的在这个意义上来讲，探索解决数学问题的解题规律及解题方法就是十分重要的通过对数学形态的内律及解题方法就是十分重要的通过对数学形态的内在基本结构的分析和研究，从而顺利地解决问题，对在基本结构的分析和研究，从而顺利地解决问题，对提高我们的数学思维方式及解决问题的能力都有十分提高我们的数学思维方式及解决问题的能力都有十分重要的意义重要的意义 数学的内容就是由一种形态与

5、另一种形态的对数学的内容就是由一种形态与另一种形态的对比和关系的转化（化归）要解决好一个数学比和关系的转化（化归）要解决好一个数学问题，首要的是要对一个数学问题构成的结构问题，首要的是要对一个数学问题构成的结构要先有充分的认识，再熟知一些推演关系的基要先有充分的认识，再熟知一些推演关系的基本手段及方法其次，要善于把问题的假设和本手段及方法其次，要善于把问题的假设和结论沟通起来，借助已有的（尽可能多的）数结论沟通起来，借助已有的（尽可能多的）数学知识和数学理论，从而顺利地解决问题学知识和数学理论，从而顺利地解决问题 2021/7/245 解决问题有解决问题有“通法通法”和和“技巧技巧”，但我们一

6、定要知道，但我们一定要知道“巧巧”不是解题的大道，只是一条捷径，而捷径不是不是解题的大道，只是一条捷径，而捷径不是处处都有的只有练好解题的基本功，则解题的捷径处处都有的只有练好解题的基本功，则解题的捷径也就不难找到要掌握解题的通法，必须要知道一些也就不难找到要掌握解题的通法，必须要知道一些数学形态的数学形态的“通性通性”，即它的内部结构及这些结构的，即它的内部结构及这些结构的逻辑联系、演化规律每一种典型的基本结构在数学逻辑联系、演化规律每一种典型的基本结构在数学形态中的作用以及处理它的一些常见的数学方法和数形态中的作用以及处理它的一些常见的数学方法和数学知识解题能力的大小，就是你拥有的这种数学

7、知学知识解题能力的大小，就是你拥有的这种数学知识的体现它就像要给人治病，必须先了解人体的各识的体现它就像要给人治病，必须先了解人体的各部分组成的器官和构成器官的细胞和它们的生命作部分组成的器官和构成器官的细胞和它们的生命作用只有这样练好了基本功，就会得到解题的通法，用只有这样练好了基本功，就会得到解题的通法，找到处理数学问题的找到处理数学问题的“大道大道” 总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析，总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析，对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处理数学问题的一般的数学思维方式和方法，才能达到理数学问题

8、的一般的数学思维方式和方法，才能达到掌握解决问题的本领把初等数学作为一个系统，用掌握解决问题的本领把初等数学作为一个系统，用“结构结构”的观点来进行分析研究。的观点来进行分析研究。2021/7/246 第一讲第一讲 元的认识元的认识-主元及常用的元主元及常用的元 第二讲第二讲 数系的扩充与数学归纳法数系的扩充与数学归纳法 第三讲第三讲 关于解析式理论的一些问题及方法关于解析式理论的一些问题及方法 第四讲第四讲 关于函数的思想与方法关于函数的思想与方法 第五讲第五讲 关于方程与不等式关于方程与不等式 第六讲第六讲 关于几何证明与推理关于几何证明与推理 第七讲第七讲 关于几何量计算的有关问题关于几

9、何量计算的有关问题2021/7/247 第一讲第一讲 元的认识元的认识内容简介：内容简介： 代数一个主要内容是对数符、字符和运算符组合代数一个主要内容是对数符、字符和运算符组合成的代数式进行研究，通过运算、恒等变形、转换形成的代数式进行研究，通过运算、恒等变形、转换形式及数理的逻辑推演，从而达到对客观世界的自然形式及数理的逻辑推演，从而达到对客观世界的自然形态的认识和变化规律的认知，使人类改造世界的目标态的认识和变化规律的认知，使人类改造世界的目标得以实现；初等数学中，代数的基本内容主要是对数得以实现；初等数学中，代数的基本内容主要是对数的认识、式子的恒等变形的技巧训练、方程的求解、的认识、式

10、子的恒等变形的技巧训练、方程的求解、函数观点的确定、不等量的比较等；它对学者有一个函数观点的确定、不等量的比较等；它对学者有一个最基本的要求就是要建立对最基本的要求就是要建立对“基元基元”的认识下面举的认识下面举例说明：例说明：2021/7/2482021/7/2492021/7/24102021/7/24112021/7/24122021/7/24132021/7/24142021/7/24152021/7/2416 1、 解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的

11、问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。这种解决问题的方法称为换元法。又称变量代换法或辅助元素法。2021/7/24172、换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解决问题的目的 。换元法是数学中经常采用的基本方法之一。换元法是数学中经常采用的基本方法之一。3、利用换元法的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。或把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉

12、的问题。 2021/7/2418例例9 分解因式 112xyxyxyyxyx解: 设 bxyayx, 原式 ) 1)(1(2bbbaa1222baba1 b) (a211baba11yxxyyxxy111yxxyyx 2021/7/2419222)66)(64(xxxxx例10 在实数域内分解因式解一：令解一：令mx62原式原式=2)6)(4(xxmxm2222410 xxxm222510 xxm2)5(xm22)65(xx22) 3()2(xx2021/7/2420解二：令解二：令mxx642原式原式=2)2(xxmm222xmxm2)(xm22)65(xx22) 3()2(xx可以吗？令m

13、xx652思考：思考：2021/7/2421例11 ：求证任意四个连续自然数的乘积再加上1 是一个完全平方数。分析证明：设任意四个连续的自然数最小的为x3x2,x1,x为则其它三个自然数分别由题意：x(x+1)(x+2)(x+3)+11)2)(1)(3(xxxx1)23)(3(22xxxxmxx32令12)m(m上式122mm2) 1( m22) 13(xx2021/7/2422主元及常用的元主元及常用的元 在一个数学形态中，可作元的基本在一个数学形态中，可作元的基本结构可能不止一个，有些元是明确的，结构可能不止一个，有些元是明确的，有的元是模糊的；有的元处于主导地位，有的元是模糊的；有的元处

14、于主导地位，有的元处于从属地位；有些元互相关联，有的元处于从属地位；有些元互相关联，有些元之间关系不太明朗；所以在应用有些元之间关系不太明朗；所以在应用方面技巧性强，比较灵活处理相关问方面技巧性强，比较灵活处理相关问题时，要留心观察，认真比较，仔细分题时，要留心观察，认真比较，仔细分析，反复思考，在一个问题的众多元中，析，反复思考，在一个问题的众多元中，选择主元十分重要，根据问题的结构关选择主元十分重要，根据问题的结构关系等特征，解决问题采用的变形手段也系等特征，解决问题采用的变形手段也是有一定的规律可遵循的是有一定的规律可遵循的2021/7/2423例12 分解因式3723222bababa

15、解一：注意到解一：注意到)2)(2(23222babababa)2)(2(ybaxba观察原式可设原式=yx,为待定系数。故，原式故，原式=)32)(12(baba展开上式，原式=xybyxayxbaba)2()2(23222由多项式恒等定理知：37212xyyxyx31:yx解得解二：解二：)372() 13(222bbaba原式)3)(12() 13(22bbaba)32)(12(babaa2a-(2b-1)b-32021/7/2424例13在实数集内解方程02772222xxxx时当21y21xx即21x解得：解: 原方程可化为: 02)1(72)1(22xxxx yxx1设则方程化为:

16、 23, 221yy解方程,得 06722 yy时当232y231xx即221-或解得： x经检验,知它们都是原方程的解。 2021/7/2425yx,3222yxxy例14 如果实数满足那么的最大值是多少？ 解：令kxy（比值换元）kxy 则代入原式化简得:014)1 (22xxk)1 (4)4(22k2412k0由题意知必有04122 k即：解得:33kxy所以,的最大值是. 32021/7/2426例15 若满足zyx, 1zyx的最小值。求222zyx解：32131,31,31tztytx设. 0321ttt由题意知：（均值换元）232221222)31()31()31(tttzyx则232221321)(3231tttttt23222131ttt31”）时取“（当且仅当0321ttt。的最小值为故31222zyx2021/7/2427例16 已知Rba,1ba2252222ba且，求证：。分析一：由可得1baab1代入消元可以求解。分析二： 对比上例（例15）0,21,212121tttbta设均