第四章 静态场的解

1、静态场的分类：静态场的分类：1 1、分布型问题：、分布型问题：已知场源（电荷分布、电流分布）直已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。接计算空间各点和位函数。2 2、边值型问题：、边值型问题：已知空间某给定区域的场源分布和该已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。函数的分布。静电场和恒定电场的边值问题：静电场和恒定电场的边值问题：归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程常用方法常用方法解析法解析法数值法数值法间接法间接法直接法直

2、接法拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程 20 20 边值问题的唯一性定理边值问题的唯一性定理 镜像法镜像法（间接法）（间接法） 分离变量法分离变量法（直接法）（直接法） 有限差分法有限差分法（数值法）（数值法）给出定解的充给出定解的充分必要条件分必要条件给出求解边值问给出求解边值问题的常用方法题的常用方法基本概念：基本概念：边界条件：边界条件：在计算有限区域的电位时，必须使用所讨在计算有限区域的电位时，必须使用所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分常数；论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分常数；以及当场域中有不同介质时，还要用到电位在边界上以及当场域中有不同介质时，还要

3、用到电位在边界上的边界条件。这些用来决定常数的条件，统称为边界的边界条件。这些用来决定常数的条件，统称为边界条件。条件。边值问题：边值问题：Boundary Value Problem，通过，通过微分方程及微分方程及相关边界条件描述的问题，称为边值问题。相关边界条件描述的问题，称为边值问题。第一类边值问题第一类边值问题（狄利赫利（狄利赫利（DirichletDirichlet）问题）问题）边界上的位函数已知。边界上的位函数已知。第二类边值问题第二类边值问题（诺伊曼（诺伊曼（NeumannNeumann）问题）问题）位函数在边界上的法向导数已知。位函数在边界上的法向导数已知。第三类边值问题第三类

4、边值问题（混合边值问题）（混合边值问题）部分边界上位函数已知，部分边界上位函数的法向导数部分边界上位函数已知，部分边界上位函数的法向导数已知。已知。边值问题的分类边值问题的分类Sf Sfn 121212SSffSSSn 注意：注意：给定导体上的总电量属于第二类边值问题给定导体上的总电量属于第二类边值问题一、唯一性定理：一、唯一性定理：即在给定边界条件下，泊松方程和拉普即在给定边界条件下，泊松方程和拉普拉斯方程的解唯一拉斯方程的解唯一对任意的静电场，当空间各点的电荷分布与整个边界上对任意的静电场，当空间各点的电荷分布与整个边界上的边界条件已知时，空间各部分的场就唯一确定了。的边界条件已知时，空间

5、各部分的场就唯一确定了。唯一性定理的意义：唯一性定理的意义： 指出了静态场边界问题具有唯一解的条件：指出了静态场边界问题具有唯一解的条件：有确定有确定的边界条件，有同样的电位方程的边界条件，有同样的电位方程 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据果正确性提供了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据的理论依据1、格林第一恒等式、格林第一恒等式2()VSdVdSn 证明：证明： VSSdFdVFF 2()F 2()()VVdVdV ()SdS 即证即证由于由于令

6、令SdSn 二、格林公式二、格林公式高斯散度定理高斯散度定理()( 1.4)AAAA 由矢量恒等式由矢量恒等式2、格林第二恒等式、格林第二恒等式证明：证明： 22()VSdVdSnn 已知：格林第一恒等式已知：格林第一恒等式 2()VSdVdSn 将格林第一恒等式中的将格林第一恒等式中的和和交换，可得交换，可得2()VSdVdSn 再将格林第一恒等式与此式相减，可得再将格林第一恒等式与此式相减，可得22()VSdVdSnn 三、唯一性定理证明三、唯一性定理证明用反证法证明在第一类边界条件下，泊松方程的解是用反证法证明在第一类边界条件下，泊松方程的解是唯一的。唯一的。设在区域设在区域V内，内，

7、1和和 2 满足泊松方程，即满足泊松方程，即在在V的边界的边界S上，上，1 和和2 满足同样的第一类边界条件满足同样的第一类边界条件 r 12 r 22)(1rfS )(2rfS 令令 = 1 2 ，则在，则在V内内在边界面在边界面S上上02 0 S 已知格林第一恒等式已知格林第一恒等式 在格林第一恒等式中，令在格林第一恒等式中，令 = 由于由于 所以有所以有 在在S上上 =0，因而有，因而有可知在整个区域内可知在整个区域内 0 2()VSdVdSn dSndVSV )(2dSndVSV 202 dVV 02 21 由于对于任意函数由于对于任意函数 ， 所以有所以有 0 0 于是于是 只能是常

8、数，只能是常数，再使用边界面上再使用边界面上 =0， 从物质的电结构来看，金属导体具有带负电的从物质的电结构来看，金属导体具有带负电的自由电子和带正电的晶体点阵。当导体不带电也不自由电子和带正电的晶体点阵。当导体不带电也不受外电场的作用时，两种电荷在导体内均匀分布，受外电场的作用时，两种电荷在导体内均匀分布，都没有宏观移动，只有微观的热运动存在，此时导都没有宏观移动，只有微观的热运动存在，此时导体呈电中性。体呈电中性。 镜像法是解静电场边值问题的一种间接方法，它镜像法是解静电场边值问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问巧妙地应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题简

9、单化。题简单化。 静电感应：静电感应：导体因受外电场作用而发生电荷重新分布导体因受外电场作用而发生电荷重新分布的现象，称为静电感应。的现象，称为静电感应。 感应电荷：感应电荷：导体上因静电感应而出现的电荷，称为感导体上因静电感应而出现的电荷，称为感应电荷，感应电荷一般来说是不均匀的。应电荷，感应电荷一般来说是不均匀的。 镜像法定义：镜像法定义：暂时忽略边界的存在，在所求区域之外暂时忽略边界的存在，在所求区域之外放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的感应电荷放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的感应电荷分布来进行计算的方法。虚拟电荷被称为镜像电荷分布来进行计算的方法。虚拟电荷被称为镜像电荷 镜像

10、法目的：镜像法目的：把原问题中包含典型边界的计算问题化把原问题中包含典型边界的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解，达到简化求解为无限大均匀媒质空间中的问题求解，达到简化求解目的。目的。 镜像法理论依据：镜像法理论依据：唯一性定理唯一性定理因此引入镜像电荷后，应有：因此引入镜像电荷后，应有：电位函数仍然满足原拉普拉斯方程或泊松方程电位函数仍然满足原拉普拉斯方程或泊松方程电位分布仍满足原边界条件电位分布仍满足原边界条件qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷两个实例两个实例 1、求位于接地无限大导体板附近的点电荷在板上方产、求位于接地无限大导体板附近的点电荷在板上方产生的电位生的电

11、位 2、求接地导体球附近的点电荷在球外产生的电位、求接地导体球附近的点电荷在球外产生的电位 qq等效电荷等效电荷非均匀感应电荷非均匀感应电荷非均匀感应电荷产生非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可的电位很难求解，可以用等效电荷替代以用等效电荷替代非均匀感应电荷产生非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可的电位很难求解，可以用等效电荷替代以用等效电荷替代镜像电荷位置选择原则：镜像电荷位置选择原则： 镜像电荷需位于求解区域外，电位函数满足原方程镜像电荷需位于求解区域外，电位函数满足原方程 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件镜像法的应用领域（分布在导体附近的电荷产

12、生的场）镜像法的应用领域（分布在导体附近的电荷产生的场） 无限大导体平面附近的点电荷或线电荷产生的场无限大导体平面附近的点电荷或线电荷产生的场 位于导体球附近的点电荷产生的场位于导体球附近的点电荷产生的场 位于无限长圆柱导体附近的平行线电荷产生的场位于无限长圆柱导体附近的平行线电荷产生的场镜像法主要步骤镜像法主要步骤 根据求解问题特点确定坐标系根据求解问题特点确定坐标系 根据唯一性定理，利用边界条件和拉普拉斯方程确定根据唯一性定理，利用边界条件和拉普拉斯方程确定镜像电荷的位置和大小。镜像电荷的位置和大小。 根据求得的镜像电荷的位置和大小，求其与原电荷共根据求得的镜像电荷的位置和大小，求其与原电

13、荷共同产生的电场和电位等等。同产生的电场和电位等等。1、点电荷对无限大接地导体平面边、点电荷对无限大接地导体平面边界的镜像界的镜像原问题：原问题：无限大地接导体平面（无限大地接导体平面（z=0），点），点电荷电荷q位置：位置：z=h求求z0空间的电位分布。空间的电位分布。等效问题：等效问题：要求：与原问题边界条件相同要求：与原问题边界条件相同原电荷：原电荷：q：z=h镜像电荷：镜像电荷：q：z=h（求解域外）（求解域外）取消导体边界面，取消导体边界面，z0空间媒质充满空间媒质充满整个空间整个空间由等效问题，可以求出在由等效问题，可以求出在z0空间内的电位分布为：空间内的电位分布为： 11( ,

14、 , )4qx y zRR 22222211(0)4()()qzxyzhxyzh 讨论：无限大接导体分界面上感应电荷讨论：无限大接导体分界面上感应电荷 0snnzn DDEnz 222 3/22 ()qhxyh 感应电荷感应电荷222 3/22 ()imSSqhqdSdxdyqxyh 说明：说明：无限大导体面上的感应电荷分布很复杂，且电无限大导体面上的感应电荷分布很复杂，且电量与点电荷的镜像电荷电量相等。量与点电荷的镜像电荷电量相等。例：例：点电荷点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它移，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？至无穷远处，（外力）需要做多少功？解

15、：解：移动电荷移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷，可以先求电荷受的电场力来源于导体板上的感应电荷，可以先求电荷q移至无穷远时电场力所做的功。移至无穷远时电场力所做的功。 由镜像法，感应电荷的电场由镜像法，感应电荷的电场可用镜像电荷可用镜像电荷q=q替代。当电替代。当电荷荷q移至移至x时，镜像电荷时，镜像电荷q应位于应位于x，则有，则有20( )4(2 )xqE xex 222001( )416(2 )eddqqAqE xdxdxdx 2016oeqAAd =45时，镜像电荷为时，镜像电荷为7个个2、点电荷对相交接地

16、导体边界的镜像、点电荷对相交接地导体边界的镜像 如图，两半无限大接地导体如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。平面垂直相交。 要满足在导体平面上电位为要满足在导体平面上电位为零，则必须引入零，则必须引入3个镜像电荷。个镜像电荷。结论：结论：对于两相交导体平对于两相交导体平面构成的边界，若夹角为面构成的边界，若夹角为=/n，则所有镜像电荷数，则所有镜像电荷数目为目为2n-1个，个，计算方法与计算方法与平面镜成像中虚像个数的平面镜成像中虚像个数的计算相似计算相似例：例：图为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平图为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为面组成的直角劈

17、，今有一电量为100nC的点电荷置于的点电荷置于(3，4，0)点，其中各坐标单位为点，其中各坐标单位为m 。求：。求：(3，5，0)点处的点处的电位和电场强度。电位和电场强度。解：解：两平面夹角为两平面夹角为90，则，则n=/90=2，为满足边界上，为满足边界上电位为零的条件，可知需要电位为零的条件，可知需要2n-1=3个虚拟电荷如图所示。个虚拟电荷如图所示。则则P(x,y,z)点电位为点电位为0123411114qrrrr 其中：其中：2221)4()3(zyxr 2222)4()3(zyxr 2223)4()3(zyxr 2224)4()3(zyxr 所以（所以（3，5，0）点处的）点处的

18、电位为：电位为： V2 .735 根据：根据： xyzEeeexyz 该点处的电场强度为：该点处的电场强度为： 19.8891.36/xyEee V m 回顾无限长线电荷电位计算回顾无限长线电荷电位计算0( )( )(lnln)2lQPPQ 02lEe 电位参考点电位参考点Q 不能位于无穷远点，否则表达式无意义不能位于无穷远点，否则表达式无意义根据表达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取=1 柱面柱面为电位参考面，为电位参考面，即即Q=1 ，得：，得：0( )ln2lPP 无限长线电流在空间产生的电位无限长线电流在空间产生的电位3、线电荷对无限大接地导体平面边界的镜像、线电荷对无限大接

19、地导体平面边界的镜像理解理解线电荷对接地导体面的镜像，可得到等效问题为线电荷对接地导体面的镜像，可得到等效问题为镜像电荷：镜像电荷：llzh 在在z0空间内的电位分布为：空间内的电位分布为： 11lnln2lRR 2222()lnln(0)22()llxzhRzRxzh 1、点电荷、点电荷q对接地球面导体边界的镜像对接地球面导体边界的镜像确定球面镜像电荷的位置和大小确定球面镜像电荷的位置和大小令镜像电荷位于球心与电荷令镜像电荷位于球心与电荷q连连线上，电量为线上，电量为q，与球心距离为，与球心距离为d，则在空间任意点，则在空间任意点P处电位为处电位为14qqRr 其中：其中：222cosRrd

20、rd 222cosrrdrd 由边界条件可知：由边界条件可知：0r a 22221042cos2cosr aqqadadadad 22222222()()2 ()cos0adqadqa dqd q 222222()()0adqadq 222 ()0a dqd q aqqd 2add qq dd 或或舍去舍去结论：点电荷结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为对接地导体球面的镜像电荷为aqqd 2add 电量：电量：位置：位置：说明：说明：此结论可作为此结论可作为结果直接用于计算题中结果直接用于计算题中，此时求解，此时求解对象由对象由接地导体求面附近的点电荷系统简化两点荷系统接地导体求面附近的点

21、电荷系统简化两点荷系统2、点电荷、点电荷q对不接地且不带电的球面导体边界的镜像对不接地且不带电的球面导体边界的镜像确定球面镜像电荷的位置和大小确定球面镜像电荷的位置和大小球壳不接地时，导体球面电位不球壳不接地时，导体球面电位不为为0，球面上感应电荷总量为，球面上感应电荷总量为0处理方法：处理方法：电位叠加原理电位叠加原理处理过程：处理过程：先假设导体球面接地，则球面上存在电量为先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q的感应的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。断开接地，将电量为断开接地，将电量为q的电荷加到导体球面上，这的电荷加到导体球面上，这些电荷必然

22、均匀分布在球面上，以使导体球为等势体些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体均匀分布在导体球面上的电荷均匀分布在导体球面上的电荷q可以用位于球心的可以用位于球心的等效的等量点电荷等效的等量点电荷q”等效等效分析可知：分析可知：点电荷点电荷q对不接地且不带电导体球面的镜像对不接地且不带电导体球面的镜像电荷有两个电荷有两个镜像电荷镜像电荷1：镜像电荷镜像电荷2：aqqd 2add 电量：电量：位置：位置：aqqqd 电量：电量：位置：位于球心位置：位于球心球外空间某点电位为：球外空间某点电位为：14qqqRrr 镜像电荷镜像电荷1：镜像电荷镜像电荷2：aqqd 2add 电量：电量：位置：位

23、置：aqQqQqd电量：电量：位置：位于球心位置：位于球心球外空间某点电位为：球外空间某点电位为：14qqqRrr 3、点电荷、点电荷q对不接地且带电为对不接地且带电为Q的球面导体边界的镜像的球面导体边界的镜像分析可知：分析可知：点电荷点电荷q对不接地且带电为对不接地且带电为Q导体球面的镜导体球面的镜像电荷有两个像电荷有两个例：例：真空中一点电荷真空中一点电荷q位于导体球附近。导体球半径为位于导体球附近。导体球半径为a，点电荷距离球心距离为点电荷距离球心距离为d（da)。求：。求：1）导体球接地时球外电位分布及电荷）导体球接地时球外电位分布及电荷q所受的电场力所受的电场力2）导体球未接地时球外

24、电位分布及电荷）导体球未接地时球外电位分布及电荷q所受的电场力所受的电场力解：解：1）当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为）当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在空间只存在q和镜像电荷和镜像电荷q，不存在边界的问题，不存在边界的问题易知：易知：aqqd 2add 则球外空间任意点则球外空间任意点P处电位为：处电位为：014qqRr 22224201()42cos2 ()cosqardrddradr ad 电荷电荷q受静电力为：受静电力为：aqqd 2add aqqqd 位置位于球心位置位于球心2222 2004()4()rrqqadqFeeddda 2）当导体球不接地时，由镜像

25、法，）当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空原问题可等效为空间只存在间只存在q和镜象电荷和镜象电荷q和和 q”，不存在边界的问题，不存在边界的问题易知：易知： 22242201()42cos2cosqaadrrdrdd radr a d 220044rqqqqFeddd 14qqqRrr 则球外空间任意点则球外空间任意点P处电位为处电位为电荷电荷q受静电力为：受静电力为：222230014()4rdaqedad 分离变量法：分离变量法：把一个多变量的函数表示成几个单变量把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分

26、离常数的常微分方程的方法。的常微分方程的方法。 适用范围：适用范围：要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。 种类：种类：直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法三个重要的数学定理三个重要的数学定理 定理定理1：如果函数如果函数y1(x)和和y2(x)是方程是方程y”+py+qy=0的的

27、两个特解，则两个特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)也是方程的特解。也是方程的特解。 定理定理2：如果函数如果函数y1(x)和和y2(x)满足条件：满足条件：y1(x)/y2(x) 常数，常数，则函数则函数y1(x)和和y2(x)线性无关。线性无关。 定理定理3：如果函数如果函数y1(x)和和y2(x)是方程是方程y”+py+qy=0的的两个线性无关的特解，则两个线性无关的特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)是方程的通是方程的通解。解。应有条件：应有条件：界面形状适合用直角坐标系表示。界面形状适合用直角坐标系表示。分析方法：分析方法：先用分离变量法求通解，再重点利用边界先用分离变量

28、法求通解，再重点利用边界条件求定解。条件求定解。直角坐标系中的拉普拉斯方程：直角坐标系中的拉普拉斯方程： 2222220 xyz 变量分离：变量分离：设设 ，将其代入上式，得，将其代入上式，得( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z 2222220d Xd Yd ZYZXZXYdxdydz 除以除以XYZ，得，得 0XYZXYZ上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：分解为下列三个方程：222XXYYZZ 其中：其中：, , ,为为分离常数分离常数，但不能全为实，但不能全为实数或全为虚数数或全为

29、虚数 22200XYZXYZ常微分方程的解：常微分方程的解： 以以X”/X=2式为例，说明式为例，说明X的形式与的形式与的关系的关系 当当2=0时，则时，则00( )X xa xb 12( )sincosxxX xak xak x 12( )xxjk xjk xX xb eb e 12( )sxxX xchk xc chk x 12( )xxk xk xX xd ed e 当当20时，令时，令=kx，则，则a，b，c，d为积分常数，由边界条件决定为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和的解和X(x)类似类似或或或或1 ,2 积分常数的大致确定方法：积分常数的大致确定方法： 若在某一个方

30、向（如若在某一个方向（如x方向）的边界条件是周期的，方向）的边界条件是周期的，则分离常数是虚数，其解选三角函数；则分离常数是虚数，其解选三角函数； 若在某一个方向的边界条件是非周期的，则分离常数若在某一个方向的边界条件是非周期的，则分离常数是实数，其解选双曲函数或者指数函数。是实数，其解选双曲函数或者指数函数。其中：有限其中：有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数；区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数； 若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。零，其解为常数。分离变量法的求解步骤：分离变量法的求解步骤： 建立正确的坐标系

31、，确定变量的个数；建立正确的坐标系，确定变量的个数； 求方程的通解；求方程的通解； 利用边界条件求方程的定解，即求出待定系数利用边界条件求方程的定解，即求出待定系数例例4-7 横截面为如图所示的导体长槽，上方有一块与槽横截面为如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为ab，槽体的电位为，槽体的电位为零，盖板的电位为零，盖板的电位为U0， 求此区域内的电位。求此区域内的电位。 xyba0U 0 0 0 解：解：导体槽内为无源区，故电位导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程和边界条件：满足拉普拉斯方程和边界条件：2000,(0, )0(1),(

32、 , )0(2)0,( ,0)0(3),( , )(4)xyxaa yyxybx bU 用分离变量法求解过程：用分离变量法求解过程：2222220 xyz 20 =0设设( , )( ) ( )x yX x Y y 代入代入22220 xy 22220d Xd YYXdxdy0XYXY XYXY 22XkXYkY 通过引入分离常数通过引入分离常数k，将，将二维拉普拉斯方程分解为二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分两个齐次常微分方程。分别解这两常微分方程可得别解这两常微分方程可得原问题的通解原问题的通解解常微分方程（解常微分方程（k值取值不同解形式不同）值取值不同解形式不同）当当k=0时

33、：时：00000000( ),( )X xA xBA B CDY yC yD待待定定当当k0时：时：( )sin()cos(),( )()()X xAkxBkxA B C DY yCsh kyDch ky 待待定定 sin()cos()()()AkxBkxCsh kyDch ky 由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以可以取一系列特定的值取一系列特定的值kn(n=1,2,3)，即，即sin()cos()()()1,2,3nnnnnnnnAk xBk xC sh k yD ch k yn 将所有特解的线性组合起来，得到电位函数的通解将所有特解的

34、线性组合起来，得到电位函数的通解 00001sin()cos()()()nnnnnnnnnA xBC yDAk xBk xC sh k yD ch k y 解中所有未知系数和分离变量解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定由边界条件确定00,(0, )0(1),( , )0(2)0,( ,0)0(3),( , )(4)xyxaa yyxybx bU xyba0U 0 0 0 已知边界条件：已知边界条件： 00001sin()cos()()()nnnnnnnnnA xBC yDAk xBk xC sh k yD ch k y 由条件由条件(1)得：得：由条件由条件(2)得：得：由条件由条件(

35、3)得：得：由条件由条件(4)得：得：00,0nBB 00,(1,2,)nAknan 0 nD1sin()() ()nnnnnnnAx shyAACaa 01sin()()nnnnUAx shbaa 01sin()()nnnnUAx shbaa 将此式按傅立叶级数展开，即等式两边同乘以将此式按傅立叶级数展开，即等式两边同乘以 sin()mxa 再对再对x从从0到到a积分，得积分，得0001sin()s ()sin()sin()aannmnnmUx dxAhbxxdxaaaa 等式左边等式左边 0(1cos)aUmm 利用三角函数的正交性质利用三角函数的正交性质 00sin()sin()2amn

36、nmxx dxaaamn 等式右边等式右边2mam bAsha 可得可得 041,3,5mm bAUm shma 即即 041,3,5nn bAUn shna 所以，接地导体槽内部电位分布为所以，接地导体槽内部电位分布为01,3,41sin()()()nUn xn yshn baansha 即即 0(1cos)2maam bUmAshma 引入引入分离变量法和镜像法都是求边值问题得解析解的方法。分离变量法和镜像法都是求边值问题得解析解的方法。但是在许多实际问题中由于边界条件过于复杂而无法但是在许多实际问题中由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。这就需要借助于数值法来求电磁场的数求得解析解。这就

37、需要借助于数值法来求电磁场的数值解。有限差分法便是一种比较容易的数值解法。值解。有限差分法便是一种比较容易的数值解法。原理原理把求解的区域划分成网格，把区域内连续的场分布用把求解的区域划分成网格，把区域内连续的场分布用网络节点上的离散的数值解来代替。网格划分得充分网络节点上的离散的数值解来代替。网格划分得充分细，才能够达到足够的精度。应用有限差分法计算静细，才能够达到足够的精度。应用有限差分法计算静态场边值问题时，需把微分方程用差分方程替代。态场边值问题时，需把微分方程用差分方程替代。差分表示式差分表示式23231023000112!3!hhhxxx 23233023000112!3!hhhx

38、xx 当当h很小时，忽略四阶以上高次项，得很小时，忽略四阶以上高次项，得22130202hx 同理，有同理，有 22240202hy 两式相加并考虑两式相加并考虑 得：得： 22220 xy 0123414 yx01234方法方法 简单迭代法简单迭代法步骤：先对每一网格点步骤：先对每一网格点设初值。然后按固定顺设初值。然后按固定顺序（从左到右，从下到序（从左到右，从下到上），利用二维拉普拉上），利用二维拉普拉斯方程的有限差分形式斯方程的有限差分形式用围绕它的四个点的电用围绕它的四个点的电位的平均值作其新值，当所有点计算完后，用它们的新位的平均值作其新值，当所有点计算完后，用它们的新值代替旧值，

39、即完成了一次迭代。然后再进行下一次迭值代替旧值，即完成了一次迭代。然后再进行下一次迭代，直到新值和旧值之差小于指定的范围为止。为提高代，直到新值和旧值之差小于指定的范围为止。为提高精度，必须进一步划分出更多更小的网格数。精度，必须进一步划分出更多更小的网格数。 1,1,11,114nnnnni jiji jiji j 塞德尔（塞德尔（Seidel）迭代法）迭代法上式为异步迭代法。由于更新值提前使用，异步迭代上式为异步迭代法。由于更新值提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小为节约计算时间，对简单迭代法进行改进，每当算出为节约

40、计算时间，对简单迭代法进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代。点的差分方程迭代。 111,1,11,114nnnnni jiji jiji j 超松弛法：超松弛法：2、采用松弛因子法：、采用松弛因子法：称为松驰因子，其值介于称为松驰因子，其值介于1和和2之之间。当其值为间。当其值为1时，超松驰迭代法就蜕变为赛德尔迭代时，超松驰迭代法就蜕变为赛德尔迭代法。法。简单迭代法在解决问题时收敛速度比较慢，实用价值不简单迭代法在解决问题时收敛速度比较慢，实用价值不大。实际中常采用超松弛法，相比之下它有两点重大的大。实际

41、中常采用超松弛法，相比之下它有两点重大的改进改进 ：1、计算每一网格点时，把刚才计算得到的临近点的新、计算每一网格点时，把刚才计算得到的临近点的新值代入，即在计算值代入，即在计算(j,k)点的电位时，把它左边的点点的电位时，把它左边的点(j-1,k)和下面的点和下面的点(j,k-1)的电位用刚才算过的新值代入。的电位用刚才算过的新值代入。 111,1,11,1,44nnnnnnni ji jiji jiji ji j 的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域，当的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域，当M、N都很大时，可以由如下公式计算最佳松驰因子都很大时，可以由如下公式计算最佳松驰因子 其中，其中，M、N分别为沿分别为沿x，y两个方向的内节点数。对其两个方向的内节点数。对其它形状的实际区域，它形状的实际区域，0 0应用其近似值，处理方法如下：应用其近似值，处理方法如下： 将区域等效为近似的矩形区域，再依上式计算将区域等效为近似的矩形区域，再依上式计算0 0编制可以自动选择编制可以自动选择松驰松驰