计量经济学课件：第四章非线性模型

1、第四章第四章 非线性模型非线性模型4-1 非非线性模型概述线性模型概述4-3 几种常用的非线性模型几种常用的非线性模型二、半对数模型二、半对数模型三、双曲函数模型三、双曲函数模型四、多项式回归模型四、多项式回归模型一、对数线性模型一、对数线性模型4-2 模型的类型与变换模型的类型与变换一、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法一、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 三、复杂函数模型与级数展开法三、复杂函数模型与级数展开法 二、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法二、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 第四章第四章 非线性模型非线性模型模型按线模型按线性关系分性关系分线性模型线性模型非线性

2、模型非线性模型对对“线性线性”概念有概念有两种不同的解释两种不同的解释：1 1、解释变量线性解释变量线性应变量是自变应变量是自变量的线性函数，称为解释变量线性模量的线性函数，称为解释变量线性模型。解释变量非线性一般可线性化。型。解释变量非线性一般可线性化。如果函数如果函数Y=f(f(X) )称为线称为线性的，则性的，则(1)(1)X仅以一次仅以一次方的形式出现；方的形式出现；(2)(2)X不不与其他变量相乘或相除。与其他变量相乘或相除。2 2、参数线性参数线性应变量是参数应变量是参数 j的的线性函数，称为参数线性模型。在线性函数，称为参数线性模型。在这个线性函数中，解释变量不一定这个线性函数中

3、，解释变量不一定线性。线性。XY21221XYX1Y21eLAKY3XY211 12 2是是非非是是是是是是非非非非非非非非 非非4-1 非非线性模型概述线性模型概述第四章第四章 非线性模型非线性模型模型按线模型按线性关系分性关系分线性模型线性模型非线性模型非线性模型对对“线性线性”概念有概念有两种不同的解释两种不同的解释：1 1、解释变量线性解释变量线性应变量是自变应变量是自变量的线性函数，称为解释变量线性模量的线性函数，称为解释变量线性模型。解释变量非线性一般可线性化。型。解释变量非线性一般可线性化。如果函数如果函数Y=f(f(X) )称为线称为线性的，则性的，则(1)(1)X仅以一次仅以

4、一次方的形式出现；方的形式出现；(2)(2)X不不与其他变量相乘或相除。与其他变量相乘或相除。2 2、参数线性参数线性应变量是参数应变量是参数 j的的线性函数，称为参数线性模型。在线性函数，称为参数线性模型。在这个线性函数中，解释变量不一定这个线性函数中，解释变量不一定线性。线性。XY21221XYX1Y21eLAKY3XY211 12 2是是非非是是是是是是非非非非非非非非 非非4-1 非非线性模型概述线性模型概述在本层次教学中，从回归理论的发展和参数的估计方法考虑，在本层次教学中，从回归理论的发展和参数的估计方法考虑，通常就参数而言来判断是否是线性回归模型，关注参数线性通常就参数而言来判断

5、是否是线性回归模型，关注参数线性的模型。线性回归（的模型。线性回归（linear regressionlinear regression）是指参数线性的回）是指参数线性的回归归( (即参数仅以一次方的形式出现在模型中即参数仅以一次方的形式出现在模型中) )，而解释变量并，而解释变量并不一定是线性的。一般而言，解释变量非线性问题可以化为不一定是线性的。一般而言，解释变量非线性问题可以化为线性模型；参数非线性问题有的可以化为线性模型，如线性模型；参数非线性问题有的可以化为线性模型，如4 4，有，有的不可以化为线性模型的不可以化为线性模型( (即真正的非线性模型即真正的非线性模型) )，如，如5 5

6、。第四章第四章 非线性模型非线性模型4-2 模型的类型与变换模型的类型与变换一、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法一、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 （c0 1 1 0YX 0 0 0 0 0 1 1 0- - 1 1/ 0 0例如：例如：关于某商品的收入关于某商品的收入- -消费曲线消费曲线( (恩格尔曲线恩格尔曲线) )。Y Y表示对某商品的消费支出，表示对某商品的消费支出，X X表示总收入。该商品表示总收入。该商品有如下特征有如下特征：( (1)1)收入有一个临界值收入有一个临界值

7、( (- - 1 1/ 0 0) )，在临，在临界值下不会购买该商品。界值下不会购买该商品。(2)(2)消费有一个满足水平消费有一个满足水平( (Y = 0 0 ) )，在此水平之上，也不会有任何消费。，在此水平之上，也不会有任何消费。例如：例如：根据对英国根据对英国(1861-1957)(1861-1957)货币工资变化率货币工资变化率(Y)(Y)与失业率与失业率(X)(X)的观察，得出收入变化率与失业率呈反的观察，得出收入变化率与失业率呈反向关系的菲利普斯曲线。随着失业率向关系的菲利普斯曲线。随着失业率X X的提高，收入的提高，收入变化率变化率Y Y逐渐下降，并由于存在工会、最低工资制、逐

8、渐下降，并由于存在工会、最低工资制、失业保险等制度性因素，失业保险等制度性因素，Y Y渐近于直线渐近于直线Y = 0 0。YX 0 0 0 0 0UN( (UN是自然失业率是自然失业率) )适用：适用：Y存在自然极限，存在自然极限，Y随随X增大而增大增大而增大( 1 1 0)，但最终渐近于直线，但最终渐近于直线Y = 0 0第四章第四章 非线性模型非线性模型4-3 几种常用的非线性模型几种常用的非线性模型四、多项式回归模型四、多项式回归模型332210XXXY9983. 0R)90.15()15.13()28.13()24.22(tX94. 0X96.12X48.6376.141CT232总成

9、本2X94. 0X96.1248.63X76.141CA平均成本2X82. 2X92.2548.63CM边际成本例估计成本函数：例估计成本函数：332210XXXTC（三次多项式函数，（三次多项式函数，TC为为总成本，总成本，X为产出）为产出）如果边际成本曲如果边际成本曲线和平均成本曲线和平均成本曲线为线为U型，根据型，根据经济理论，模型经济理论，模型中的系数有如下中的系数有如下先验值：先验值： 0、 1和和 3都大于零；都大于零； 20； 223 1 3193 226 240 244 257 260 274 297 350 420总成本总成本TC产出产出X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10、 10 第四章第四章 非线性模型非线性模型4-3 几种常用的非线性模型几种常用的非线性模型四、多项式回归模型四、多项式回归模型332210XXXY9983. 0R)90.15()15.13()28.13()24.22(tX94. 0X96.12X48.6376.141CT232总成本例估计成本函数：例估计成本函数：332210XXXTC（三次多项式函数，（三次多项式函数，TC为为总成本，总成本，X为产出）为产出）如果边际成本曲如果边际成本曲线和平均成本曲线和平均成本曲线为线为U型，根据型，根据经济理论，模型经济理论，模型中的系数有如下中的系数有如下先验值：先验值： 0、 1和和 3都大于零；都

11、大于零； 20； 223 1 3193 226 240 244 257 260 274 297 350 420总成本总成本TC产出产出X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 010020030040050012345678910TCTCFVCFMCF2X94. 0X96.1248.63X76.141CA平均成本2X82. 2X92.2548.63CM边际成本第四章第四章 非线性模型非线性模型4-3 几种常用的非线性模型几种常用的非线性模型不同函数模型小结不同函数模型小结模型模型形式形式斜率斜率弹性弹性dXdYYXdXdY线性模型线性模型双对数模型双对数模型线性线性对数模型对数模型对数对数

12、线性模型线性模型双曲函数模型双曲函数模型XlnYln10XYln10XlnY10X1Y10XY101)XY(1Y1)X1 (1)X1 (21)YX(11X1)Y1 (1)XY1(1可化为线性的非线性回归实例可化为线性的非线性回归实例 例例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 ),(01PPXfQ Q：居民对食品的需求量，：居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额，消费者的消费支出总额，P1：食品价格指数，：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。：居民

13、消费价格总指数。 零阶齐次性：零阶齐次性：当所有商品和消费者货币支出总额按同一当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变比例变动时，需求量保持不变 )/,/(010PPPXfQ (*)(*)为了进行比较，将为了进行比较，将同时估计（同时估计（* *）式）式与（与（* * *）式。）式。 )P/P,P/X(fQP/1k)kP,kP,kX(f)P,P,X(fQ01000101有：令： 根据根据恩格尔定律恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总，居民对食品的消费支出与居民的总支出支出间呈间呈幂函数幂函数的变化关系的变化关系: : 首先首先, ,确定具体的函数形式确定具体的函数形

14、式32101PPAXQ 对数变换对数变换: : 031210lnlnln)ln(PPXQ考虑到考虑到零阶齐次性零阶齐次性时时)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(*)(*)(*)式也可看成是对式也可看成是对(*)式施加如下约束而得式施加如下约束而得0321因此，因此，对对(*)式进行回归，就意味着原需求函数满足式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件零阶齐次性条件。e)P/P()P/X(AQ21010X：人均消费支：人均消费支出（当年价）出（当年价）X1：人均食品：人均食品消费（当年价）消费（当年价）GP：居民消费：居民消费价格指数价格指数FP：居民食品：居民食品消费价格

15、指数消费价格指数Q：人均食品消：人均食品消费（费（2000年价）年价）P0：居民消费：居民消费价格缩减指数价格缩减指数（2000年年=100）P1：居民食品：居民食品消费价格缩减消费价格缩减指数（指数（2000年年=100）Q=X1 / P1定基指数等于相应环比指数连乘定基指数等于相应环比指数连乘相邻定基指数相除等于环比指数相邻定基指数相除等于环比指数100.6% =100.7%*99%*100.9%100.0% 99.2=100.8%n按按为零。，比较接近于零，但不各变量的弹性和006. 0321031210lnlnln)ln(PPXQ按初始需求函数表达式回归按初始需求函数表达式回归估计估计可利用受约束回归方法考察它是否为零，即估计的需求函数可利用受约束回归方法考察它是否为零，即估计的需求函数是否满足零阶齐次性。是否满足零阶齐次性。01Pl