第一类曲面积分

1、第一类曲面积分第四节 第十章第十章 一、第一类曲面积分的概念及性质一、第一类曲面积分的概念及性质二、第一类曲面积分的计算二、第一类曲面积分的计算三、五类积分的统一表述及其共性三、五类积分的统一表述及其共性iiiiSf ),(作作乘乘积积设函数设函数 f (x, y, z) 在分片光滑在分片光滑,i2. 定义定义 10.3的曲面的曲面 上有界上有界. . ，的面积为的面积为iS niiiiiSf1.),(时，和时，和0并作黎曼和并作黎曼和如果当各小块曲面直径的最大值如果当各小块曲面直径的最大值的极限总存在的极限总存在, 即极限值和曲面即极限值和曲面 的分法及点的分法及点记第记第i 小块小块),

2、2, 1(ni 上上小块曲面小块曲面在第在第ii),iiiiM （任取一点任取一点将将 任意分成任意分成 n 小块小块一、第一类曲面积分的概念及性质一、第一类曲面积分的概念及性质 在曲面在曲面 上的上的第一类曲面积分第一类曲面积分或或对面积的曲面对面积的曲面积分积分，记作，记作被积函数被积函数积积分分曲曲面面积分和式积分和式面面积积元元素素被被积积表表达达式式即即,d),( Szyxf niiiiiSfSzyxf1.0),(limd),(的的取取法法无无关关，iM则称该极限值为函数则称该极限值为函数 f (x, y, z) 注注1 当当函数函数 f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上连续连

3、续时时, 2 曲面形构件的质量可以表示为曲面形构件的质量可以表示为存在存在.曲面积分曲面积分 Szyxfd),( Szyxd),( 3 曲面形构件的质心坐标可以表示为曲面形构件的质心坐标可以表示为,d),(1_ SzyxxMx ,d),(1_ SzyxyMy .d),(1_ SzyxzMz 4 当被积函数为常数当被积函数为常数 1 时时, 曲面积分曲面积分 的的面面积积曲曲面面 Sd5 当积分曲面为封闭曲面时当积分曲面为封闭曲面时, 曲面积分可表示为曲面积分可表示为 Szyxfd),(线线性性性性质质：)1(可加性：可加性：)2(1R ，3. 性质性质 Szyxgzyxfd),(),( Szy

4、xgSzyxfd),(d),(组组成成和和由由曲曲面面21 Szyxfd),( 1d),(Szyxf 2d),(Szyxf(3) 对称性：对称性：，对对面面积积的的曲曲面面积积分分 Szyxfd),(.重重积积分分对对称称性性的的利利用用类类似似于于三三则则面面对对称称，关关于于上上连连续续，在在如如：若若yozzyxf ),( ),(),(, 0d),(zyxfzyxfSzyxf.0:1的部分的部分在在 x,d),(21 Szyxf),(),(zyxfzyxf 基本思路基本思路:计算二重积分计算二重积分转转 化化定理定理10.6),(zyxf设设是定义在光滑曲面是定义在光滑曲面求曲面积分求曲

5、面积分二、第一类曲面积分的计算二、第一类曲面积分的计算 上的连续函数上的连续函数.，yxDyxyxzz ),(),(:),(yxzz 函函数数上具有连续的偏导数，上具有连续的偏导数，在在yxD Szyxfd),( yxDyxzyxf),(,(yxyxzyxzyxdd),(),(122 则有下面的计算公式则有下面的计算公式 Szyxfd),( niiiiiSf10),(lim iSyxyxzyxzyxiDyxdd),(),(1)(22 yxiiiyiixzz)(),(),(122 证证 如图所示如图所示),(iiiz 上上连连续续在在 ),(zyxf存在存在 Szyxfd),(，故故可可取取),

6、(),(iiiiii ),(iiiz Szyxfd),( niiiiiSf10),(lim yxiiiyiixzz)(),(),(122 yxyxzyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(,(22 yzDzyzyzyxzyxzyzyxfdd),(),(1),),(22 Szyxfd),(注注则则，：若若曲曲面面yzDzyzyxx ),(),(1.dd1),(,22zxyyzzxyxfxzDzx Szyxfd),(则则，：若若曲曲面面xzDzxzxyy ),(),(2,d zS其中其中 是球面是球面2222azyx 被平面被平面)0(ahhz 截出的顶部截出的顶部.解解,:222yx

7、az 2222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa 例例1 计算曲面积分计算曲面积分 20d a.ln2haa yxDyxayxa222dd 22022dhaa 22022)ln(212haaa ,:222yxaz 2222:hayxDyx yxyxaaSddd222 zSdxyz例例2为抛物面为抛物面其中其中计算计算,d Szyx).10(22 zyxz依对称性知：依对称性知：解解 轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 为为偶偶函函数数，和和关关于于变变量量yxxyz， 1d4dSxyzSxyz)(1为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面其中其中 yxzzSyxdd1d

8、22 yxyxdd)2()2(122 1d4dSxyzSxyz22yxz ： 1d4Sxyz 1dd)2()2(1)(42222Dyxyxyxxy0, 0, 1),( 221 yxyxyxD其其中中yxyxyxxyDdd)2()2(1)(422221 Sxyzd d41sincosd41022220 d41d2sin2210502 令令241 u uuud)41(41251 .42015125 0, 0, 1),( 221 yxyxyxD例例3,d222 zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面之间的圆柱面之间的圆柱面.222Ryx Hzz ,0解解 (方法方法1)yzDzyyRx ),(,:

9、22121 . 0,),(HzRyzyDyz yzDzyyRx ),(,:222oxyHzR 22dzRSI 122d2zRS 1 2yzORHDyzzyxxSzydd1d22 yzDzyyRx ),(,:221zyyRydd0)(1222 zyyRRdd22 122d2zRSIzyyRRzRyzDdd122222 zyyRRzRyzDdd122222 HRzzRyyRR022022d1d22yzORHDyzHRRzRRyR00arctan1arcsin4 .arctan2RH 注注如果积分曲面如果积分曲面 的的参数方程为：参数方程为：uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),

10、( Szyxfd),(则则 uvDvuzvuyvuxf),(),(),(.dd),(),(),(),(),(),(222vuvuzyvuxzvuzy (方法方法2)0(222HzRyx ：其参数方程为：其参数方程为：0,20),(),(sincosHzzDzzzRyRxz zzzyzxzzzySdd),(),(),(),(),(),(d222 zRdd 22dzRSIzzRRzDdd22 zzRRHd1d02220 HRzRR0arctan12 .arctan2RH 例例4,22yxz 是是锥锥面面其其中中,d)1( SxyzI.)0(222的整个表面的整个表面面所围空间立体面所围空间立体及及

11、圆柱面圆柱面xOyaaxyx 解解321 SSxyzIdd关于关于 zOx 面对称面对称关于关于y 奇函数奇函数 321dddSxyzSxyzSxyz 3 2 1xyz O 3d00dSxySxyz 321ddddSSSSI 的的面积面积. 0 xyDyxyxz ),(,:) 1(221yxzzSyxdd1d22 yxyxyyxxdd)()(1222222 yxdd2 3 2 1xyz O2a 1dS xyDyxdd22axyODxy22 a 3 2 1xyz O2a，222)2( 由对称性，得由对称性，得xzDzxxaxy ),(2:22，xzDzxxaxy ),(2:22， 22d2dSS

12、(方法方法1)2axzO axyxyxz22222消去消去y axyxzaxz2)0(2222Dxzaxz2 3 2 1xyz O2axzDzxxaxy ),(2:22，zxyySzxdd1d22 zxxaxadd22 22d2dSSzxxaxaxzDdd222 2axzODxzaxz2 2d SzxxaxaxzDdd222 axazxaxax20220d2d2 axxaxaxa202d222 aaxaxa202)2d(211)2()212(4202aaxa 28a (方法方法2) 3 2 1xyz O2a由第一类曲线积分的由第一类曲线积分的几何意义，知几何意义，知 2d S Lsyxd22L

13、: 20,sincos ayaax dcos1220aa d2cos2202 a28a 321dddSSSI22 a .822aa 三、五类积分的统一表述及其共性三、五类积分的统一表述及其共性背景背景定积分定积分:第一类曲面积分第一类曲面积分: baxxfd)(二重积分二重积分: Dyxf d),(三重积分三重积分:vzyxfd),( 第一类曲线积分第一类曲线积分: Lsyxfd),( Szyxfd),(当当被被积积函函数数非非负负时时直杆构件质量直杆构件质量平面薄板质量平面薄板质量空间物体质量空间物体质量曲线构件质量曲线构件质量曲面构件质量曲面构件质量有共同的有共同的物理物理意义意义（1）对

14、数量值函数的积分；）对数量值函数的积分；（2）数量值函数均定义在有界的几何形体上；）数量值函数均定义在有界的几何形体上；（3）定义积分步骤相同：）定义积分步骤相同： 分割、近似、求和、取极限；分割、近似、求和、取极限；（4）均为黎曼和的极限）均为黎曼和的极限.因此可以给出上述五种积分定义的统一表述式因此可以给出上述五种积分定义的统一表述式.这这五类五类积分的积分的共性：共性：定义定义10.4直线段、直线段、体体中的一个有界的几何形中的一个有界的几何形是是设设(RnI平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面)，是在是在x)f (在在I 上有定义并且有界的数量值函数

15、。将上有定义并且有界的数量值函数。将 I 任意划分为任意划分为n 个个“子块子块”：,(,21面面积积长长度度的的度度量量并并将将inIIII 。的的直直径径记记），（记记作作体体积积max,21)1iniiIniv 几何形体的直径可统一定义为该几何形体中两点之间几何形体的直径可统一定义为该几何形体中两点之间距离的最大值距离的最大值).,iixI 上上任任取取一一点点在在每每个个 作乘积作乘积,21)(），（nivxfii 并作黎曼和并作黎曼和 niiivxf1)(在，在，时，黎曼和的极限总存时，黎曼和的极限总存如果当如果当0即极限值与即极限值与I的取法无关，的取法无关，的划分方法及点的划分方法及点ix则称此极限为则称此极限为函数函数上的积分，上的积分，在几何形体在几何形体Ixf)(即即记记作作,d)( Ivxf niiiIvxfvxf10)(limd)(积分区域积分区域被积表达式被积表达式被积函数被积函数当被积函数为密度函数时当被积函数为密度函数时, 五种积分表示几何形体五种积分表示几何形体I的质量的质量.I是闭区间是闭区间a, bI是平面闭区域是平面闭区域DI是空间闭区域是空间闭区域I是曲线是曲线 I是曲线是曲线 baxxfd)(yxfDd ),( vzyxfd ),( szyxfd ),( Sz