高考文科数学导数专题复习

1、高考文科数学导数专题复习第 1 讲 变化率与导数、导数的计算知识梳理1. 导数的概念(1)f （ x0 x） f （ x0）函数 y f ( x) 在 x x0 处的导数 f (x0) 或 y|x x0，即 f (x0) limx.x0(2)函数 f ( x) 的导函数 f (x) limf （ xx） f （x）为 f ( x) 的导函数 .xx 02. 导数的几何意义函数(x) 在点x0 处的导数的几何意义，就是曲线y(x) 在点(0，(x0) 处的切线的斜y ffP xf率，过点P的切线方程为y y0 f (x0)( x x0).3. 基本初等函数的导数公式4. 导数的运算法则若 f (

2、x) ， g(x) 存在，则有：考点一 导数的计算【例 1】 求下列函数的导数：x211(1)y e lnx； (2) y x x xx3 ；解xxx(1) y (e ) lnx e (lnx) e ln31 322所以 y ( x ) (1)x2x 3 .xx11 x31x e x lnx x e .(2)因为 y x 1 x2，【训练 1】 (1)已知函数f ( x) 的导函数为f (x) ，且满足 f ( x) 2x f (1) lnx，则 f (1) 等于 ()A. eB. 1C.1D.e1解析由 f ( x) 2xf (1) lnx，得 f (x) 2f (1) x， f (1) 2

3、f (1) 1，则 f (1) 1. 答案B(2)(2015 天津卷) 已知函数f ( x) axln x，x(0 ， ) ，其中 a 为实数， f (x) 为 f ( x) 的导函数 . 若 f (1) 3，则 a 的值为 _.(2)f(alnx x1a(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)，又f(1)3，所以a3.答案(2)3x)xa考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例 2】(2016 全国卷 ) 已知 f ( x) 为偶函数，当x0时， f ( x) e x 1 x，则曲线 y f ( x) 在点 (1 ， 2)处的切线方程是 _. 解析(1)设 x0，则 x0 时， f

4、( x) ex 1 x. 因此，当 x0 时， f (x) ex 1 1， f (1) e0 1 2.则曲线 y f ( x) 在点 (1 ，2) 处的切线的斜率为f (1) 2，所以切线方程为y 2 2( x 1) ，即 2xy 0.答案2xy 0【训练 2】 (2017 威海质检 ) 已知函数 f ( x) xlnx，若直线 l过点 (0 ， 1) ，并且与曲线y f ( x) 相切，则直线l的方程为 ()A.x10B.x 10C.xy1 0 D.xy10yy(2) 点(0，1)不 在 曲 线 f ( x) xlnx上 ， 设 切 点 为 ( x， y ).又 f (x) 1 lnx ，0

5、0y0 x0ln x0，解得 x 1， y 0. 切点为 (1 ， 0) ， f (1) 1 ln11. 直线 l 的方程为 yy 1（ 1 lnx ） x ，00000x 1，即 x y 10. 答案 B命题角度二求切点坐标x1【例 3】 (2017 西安调研 ) 设曲线 y e 在点 (0 ，1) 处的切线与曲线yx( x0) 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 _.xx01解析由 y e，知曲线ye在点 (0 ， 1) 处的切线斜率 k1 e 1.设 P( m，n) ，又 y x( x0) 的导数 y11( x0) 在点 P 处的切线斜率k21x2，曲线 yx2. 依题意 k1k2

6、 1，所以 m 1，从而 n 1.m则点 P 的坐标为 (1 ，1). 答案 (1 ， 1)【训练3】若曲线 y xln x 上点 P 处的切线平行于直线2x y 1 0，则点 P 的坐标是 _. 解析 (1)由题1意得 y lnx xx 1 ln x，直线2x y 10的斜率为 2.设 P( m， n) ，则 1 lnm2，解得 m e，所以n eln e e，即点 P 的坐标为 (e ， e).答案(1)(e，e)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围 )【例 4】 (2015 全国卷 ) 已知曲线yx lnx在点 (1 ， 1) 处的切线与曲线yax2 ( 2)x 1 相切，则aa_.解

7、析由 y x ln1k y| 2，所以切线方程为yx，得 y 1x，得曲线在点 (1 ，1) 处的切线的斜率为x 11 2(x1)，即y2x 1.又该切线与2 (2)x 1 相切，消去y，得ax2 2 0， 0且a2y axaaxa8 0，解得8.答案8aa【训练4】 1. 函数 f ( x) lnx ax 的图象存在与直线2x y0 平行的切线，则实数a 的取值范围是 _.函数 f ( x) lnx ax 的图象存在与直线2x y 0 平行的切线，即f (x) 2在 (0 ， ) 上有解，而 f (x) 1111x a，即 x a 在 (0 ， ) 上有解， a 2 x，因为 a 0，所以

8、2 x2，所以 a 的取值范围是 ( ， 2). 答案(2)(， 2)2. 点 P 是曲线 x2 ylnx 0上的任意一点，则点P 到直线 y x2 的最小距离为 ()A.1B.3C.5D.222解析点 P是曲线 y x2 ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线 y x 2 平行时，点 P 到直线 y x 2 的距211离最小，直线y x 2 的斜率为 1，令 y x lnx，得 y 2x x 1，解得 x 1或 x 2( 舍去 ) ，故曲线 y x2 ln x 上和直线 y x 2平行的切线经过的切点坐标为(1 ， 1) ，点 (1 ， 1) 到直线 yx 2 的距离等于2，点 P 到

9、直线 y x 2 的最小距离为2.答案 D第 2 讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y f ( x) 在某个区间内可导，则：(1) 若 f (x)0 ，则f ( x) 在这个区间内单调递增； (2) 考点一若 f (x)1 时， g( x)0.1 2ax2 1(1)解由题意得 f (x) 2ax xx( x0). 当 a0时， f (x)0时，由 f (x) 0有 x1，当 x0，1时，f (x)0 ，2a2a2af ( x) 单调递增 .(2)证明令 s( x) ex 1 x，则 s(x) ex 1 1.当 x1 时， s(x)0 ，所以 ex1x，从而 g( x)

10、 11x ex 10.考点二求函数的单调区间324【例 2】 (2015 重庆卷改编) 已知函数 f ( x) ax x ( a R) 在 x 3处取得极值 .(1)确定 a 的值； (2)若 g( x) f ( x)e x ，求函数 g( x) 的单调减区间 .24416解(1) 对 f ( x) 求导得 f (x) 3ax 2x，因为 f ( x) 在 x 3处取得极值，所以f 3 0，即3a 9 416a812 3 3 3 0，解得 a 2.(2)由 (1)得() 1 32x()3 2x1 32x1 35 2x1( 1)( 4)ex. 令x xe 故gx 2x e x xe x x 2x

11、 e xg x2x22222 x xg(x)0 ，得 x( x1)( x 4)0. 解之得 1x0 或 x0). 则x 2，解得 a 4.(2) 由(1) 知 f ( x) 4 4x lnf (x) 4x2. 令f (x) 0，解得 x1 或 x 5. 但 1?(0 ， ) ，舍去 . 当 x(0 ， 5) 时， f (x)0. f ( x) 的增区间为 (5 ， ) ，减区间为 (0 ，5).考点三已知函数的单调性求参数【例 3】(2017 西安模拟 ) 已知函数 f ( x) lnx， g( x) 1ax2 2x( a0).2(1)若函数() () () 存在单调递减区间，求a的取值范围；

12、h xfxg x(2)若函数() () () 在 1 ， 4 上单调递减，求a的取值范围 .h xfxg x121解(1)h( x) ln x 2ax 2x，x0. h(x) xax 2. 若函数 h( x) 在 (0 ， ) 上存在单调减区间， 则当 x01121212时，x ax 2x2x有解 . 设 G( x) x2 x，所以只要 aG( x) min.(*)又 G( x) x 1 1，所以 G( x) min 1. 所以 a 1.即实数 a 的取值范围是 ( 1， ).112(2)由 h( x) 在 1 ，4 上单调递减， 当 x1 ，4时， h(x) x ax20恒成立， (*)则

13、ax2 x恒成立， 所12117max 1 1， x1 ， 4因为 x1 ， 4 ，所以 x， 1，所以G( x)max以 aG( x) . 又 G( x) x4 16( 此时 x771 716 7x2 32x（7x 4）（ x 4）4) ，所以 a 16. 当 a 16时，h(x) x 16x 216x16x，x1 ，4 ， h(x)（ 7x 4）（ x 4）16x0，当且仅当 x 4 时等号成立 .(*) h( x) 在 1 ， 4 上为减函数 . 故实数 a 的取值范围是7， .16【训练3】 已知函数 f ( x) x3ax 1.(1)若 f( x) 在 R 上为增函数，求实数 a 的

14、取值范围； (2)若函数 f ( x) 的单调减区间为 ( 1， 1)，求 a 的值 .解 (1) 因为 f ( x) 在 R上是增函数，所以 f (x) 3x2 a0在 R上恒成立，即 a3x2对 x R恒成立 . 因为 3x20，所以只需 a0. 又因为 a 0 时，f (x) 3x20，当且仅当 x 0 时取等号 . f ( x) x31 在 R 上是增函数 . 所以实数 a 的取值范围是 ( ， 0.(2)f (x) 3x2 a. 当 a0时， f (x) 0， f ( x) 在 ( ， ) 上为增函数，23a3a3a3a所以 a0不合题意 . 当 a0 时，令3xa0，得3x 3 ，

15、 f ( x) 的单调递减区间为 3 ，3，依题意，3a 1，即 a 3.3第 3 讲导数与函数的极值、最值知识梳理1. 函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点: 若函数 f ( x) 在点 xa 处的函数值 f ( a) 比它在点 x a附近其他点的函数值都小，( ) 0，而且在点xa附近的左侧( )0 ，则点a叫做函数fafxx的极小值点， f ( a) 叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点: 若函数 f( x) 在点 x b 处的函数值 f ( b) 比它在点xb附近其他点的函数值都大，( ) 0，而且在点xb附近的左侧( )0 ，右侧f( )0 ，则点bfbfxx

16、叫做函数的极大值点，f ( b) 叫做函数的极大值.2. 函数的最值与导数的关系 (1) 函数 f ( x) 在 a，b 上有最值的条件 : 如果在区间 a，b 上函数 y f ( x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求 y f ( x) 在 a， b 上的最大 ( 小 ) 值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值【例 1】 设函数 f ( x) 在 R 上可导，其导函数为f (x) ，且函数 y (1 x) f (x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A. 函数 f ( x) 有极大值f (2)和极小值 f (1)B.函数 f

17、 ( x) 有极大值 f ( 2) 和极小值 f(1)C. 函数 f ( x) 有极大值f (2)和极小值 f ( 2)D. 函数 f ( x) 有极大值 f ( 2) 和极小值 f (2)解析 由题图可知，当x3，此时f( )0 ；当 2 1 时， 013，此时( )0 ；当 1 2xxxxfxx时， 11 x0，此时 f ( x)2 时， 1 x0 ，由此可以得到函数f ( x) 在 x 2 处取得极大值，在 x2处取得极小值 . 答案D命题角度二求函数的极值【例 2】 求函数 f ( x) x alnx( a R) 的极值 .解 由fax a0 知： (1) 当 0时，( )0 ，函数f

18、(x) 为 (0 ， ) 上的增函数，函数f(x)()1 ，xxxxafx无极值； (2)当 a0 时，令 f (x) 0，解得 x a. 又当 x(0 ， a) 时， f (x)0 ，从而函数 f ( x) 在 x a 处取得极小值，且极小值为f ( a) a alna，无极大值 . 综上，当 a0时，函数 f ( x) 无极值；当 a0 时，函数 f ( x) 在 x a 处取得极小值a alna，无极大值 .命题角度三已知极值求参数1324【例 3】 已知关于 x 的函数 f ( x) 3xbx cx bc 在 x 1 处有极值3，试求 b， c 的值 .4f （ 1） 1 2bc 0，

19、b 1，2解 f (x) x 2bx c，由 f ( x) 在 x 1 处有极值 3，可得f14 解得c 1（1） .3b cbc3或 b 1， 若 b1， c 1，则 f (x) x2 2x 1 ( x 1) 20， f ( x) 没有极值 . 若 b 1， c 3，则c 3.f (x) x2 2x3 ( x3)( x 1). 当 x 变化时， f ( x) 与 f (x) 的变化情况如下表：x( ， 3)3( 3， 1)1(1 ，)f (x)001f(x)极小值124极大值 34当 x 1 时， f ( x) 有极大值3，满足题意 . 故 b 1，c 3 为所求 .【训练 1】 设函数 f

20、 ( x) ax3 2x2 x c( a0).(1)当 a 1，且函数图象过 (0 ， 1) 时，求函数的极小值； (2)若 f ( x) 在 R 上无极值点，求a 的取值范围 .解由题意得 f (x) 3ax24x 1.(1) 函数图象过 (0 ，1) 时，有 f (0) c 1. 当 a 1 时，f (x) 3x2 4x 1.1111令 f (x)0 ，解得 x1；令 f (x)0 ，解得3x1. 所以函数在， 13 和 (1 ， ) 上单调递增； 在3321.上单调递减 . 故函数 f ( x) 的极小值是 f (1) 1 21 1 1(2) 若 f ( x) 在 R 上无极值点， 则

21、f ( x) 在 R 上是单调函数， 故 f (x) 0或 f (x) 0恒成立 . 当 a 0 时， f (x) 4x 1，显然不满足条件； 当 0时， ( ) 0或f(1)0恒成立的充要条件是 ( 4)243 10，afxa44即 16 12a0，解得 a 3. 综上， a 的取值范围是，.3考点二利用导数求函数的最值x【例 4】 (2017 郑州模拟 ) 已知函数 f ( x) ( xk)e .(1) 求 f ( x) 的单调区间； (2) 求 f ( x) 在区间 0 ，1 上的最小值 .解 (1) 由 f ( x) ( x k)e x，得 f (x) ( x k1)e x ，令 f

22、(x) 0，得 x k 1.当 x 变化时， f ( x) 与 f (x) 的变化情况如下表：x( ，k 1)k 1( k1，)f( )0xf ( x) ek 1所以， f ( x) 的单调递减区间是( ， k 1) ；单调递增区间是( k 1， ).(2)当k10，即k1时，函数f() 在 0 ， 1 上单调递增，所以f(x) 在区间 0 ， 1 上的最小值为f(0) k，x当 0 11，即 1 2时，由 (1)知f(x) 在 0 ， 1) 上单调递减，在(k 1， 1 上单调递增，所以f(x) 在区间kkk0 ，1上的最小值为f (k 1) ek 1当 k11，即 k2时，函数 f ( x

23、) 在 0 ， 1 上单调递减，所以f ( x) 在区.间 0 ， 1 上的最小值为f (1) (1 k)e.k 1；当 k2时， f ( x) min (1 k)e.综上可知，当 k1时， f ( x) min k；当 1k0) ，若函数 f ( x) 在 x 1 处与直线 y 2相切， (1) 求实数a， b 的值；1(2)求函数 f ( x) 在 e， e上的最大值 .2a1解(1) 由 f ( x) alnx bx， 得f (x) x 2bx( x0). 函 数 f ( x) 在 x 1 处 与 直 线y 2 相f （ 1） a 2b 0，a 1，1 211x21切. 1解得1(2) 由(1) 知 f ( x) lnx x，则 f (x) xx，当 xef（1） ， .2xeb2b 211， 1上