计算方法 13 Hermite插值

1、背景：背景：Lagrange插值和插值和Newton插值虽然构造比较简单，插值虽然构造比较简单，但插值曲线只是在节点处与原函数吻合（但插值曲线只是在节点处与原函数吻合（但不一定光滑但不一定光滑），），若还要求在节点处二者相切，即导数值相等，使之与被插若还要求在节点处二者相切，即导数值相等，使之与被插函数的函数的“密切密切”程度更好，这就要用到程度更好，这就要用到带导数的插值带导数的插值。3. 3. HermiteHermite插值公式插值公式（带指定微商值的插值）（带指定微商值的插值）), 1 , 0( )(,)( )(12), 1 , 0()(121212niyxHyxHxHnyynixxf

2、iiniinniii，使满足次式求作一个，和导数值处的函数值在互异节点设已知3.1 3.1 HermiteHermite插值公式的构造插值公式的构造求解思想：求解思想：插值条件中包含插值条件中包含 个条件，可唯一确定一个个条件，可唯一确定一个次数不超过次数不超过 的多项式，的多项式，如果使用待定系数法如果使用待定系数法，显然非，显然非常复杂，因此，我们仍采用常复杂，因此，我们仍采用“基函数方法基函数方法”12 n22 n令令,)()()(0012njjjnjjjnyxByxAxH其中插值基函数其中插值基函数 ， 都是都是 次式。由于次式。由于插值问题的解存在唯一性定理，有插值问题的解存在唯一性

3、定理，有12 n)(xAj)(xBjnkyxByxByxAxHyxByxAyxAxHnkjjkkkjkjnjjkjknnjjkjkkknkjjjkjkn, 1 , 0 )()()()()()()()(00120012先构造先构造 ：)(xBj关心函数值关心函数值关心导数值关心导数值nkxBkj, 1 , 0 , 0)(由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有kjxBkjnkxBkjkj , 1)( ;, 1 , 0 , 0)(函数值函数值导

4、数值导数值x0 x1.xn-1xnx0 x1xn-1xnA0(x)A1(x)An-1(x)An(x)B0(x)B1(x)Bn-1(x)Bn(x)100000.00010000.00001000.00000100.00000010.00000001.00000000.10000000.01项式。故我们可以假设次多是数的一重零点，然而基函是而零点的二重是插值基函数个插值节点12)()(,)(, 1 , 0,nxBxBxxBjknkxnjjjjk观察上面的条件，可知观察上面的条件，可知.)()()()()(2212120njjjjjxxxxxxxxxxCxB再使用插值条件再使用插值条件 ，有，有,)

5、()()()()(2212120njjjjjjjjjxxxxxxxxCxB1)( jjxB.)()()()(12212120njjjjjjjxxxxxxxxC即即于是有于是有22121202212120)()()()()()( )( )()()(njjjjjjnjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxB2)()()(xlxxxBjjj再构造再构造 ：)(xAj., 1)(;, 1 , 0 , 0)(jkxAjknkxAkjkj且由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有而第二个方程用

6、于确定与导数值相关的条件，因此，有., 1 , 0 , 0)(nkxAkj式。故我们可以假设次多项是的零点，然而基函数不是而零点的二重是插值基函数个插值节点12)()(,)(, 1 , 0,nxAxAxxAjknkxnjjjjk观察上面的条件，可知观察上面的条件，可知22212120)()( )()()()()(xlbaxxxxxxxxxbaxDxAjnjjjj再使用插值条件再使用插值条件 ，有，有0)(, 1)( jjjjxAxA2)()()(1jjjjjxlbaxxA)()()(2)()(02jjjjjjjjjxlxlbaxxlaxA即即baxj1)()(20jjjxlbaxa解之，得解之

7、，得)(21),(2jjjjjxlxbxla因此，因此，2)( )()(21)(xlxlxxxAjjjjj最后得最后得Hermite插值多项式为，插值多项式为，,)()()(0012njjjnjjjnyxByxAxH2)()()(xlxxxBjjj特别取特别取 ，得到两点三次得到两点三次Hermite插值多项式：插值多项式：1100110012)()()()()(yxByxByxAyxAxHn200210100)()()()(xlxxxxxxxxxB,)()(21 1)(21)(20121011000 xlxlxxxxxxxxxA1n其中其中21020100111)()(21 1)(21)(x

8、lxlxxxxxxxxxA.)()()()(211201011xlxxxxxxxxxB01xxh记记 置置 ，则，则 1, 010 xx20121)(xxxA21)23()(xxxA20)1 ()(xxxB21) 1()(xxxB0 x1x0 x0 x0 x1x1x1x)(0 xA)(1xA)(0 xB)(1xB2000121)(hxxhxxxA2001 23)(hxxhxxxA20001)(hxxhxxhxB20011)(hxxhxxhxB三次三次Hermite插值多项式可表示为：插值多项式可表示为：1010001010003 )(yhxxhByhxxhByhxxAyhxxAxH.)(,)(

9、,)( )(21120020022yxHyxHyxHxH，使满足次式求作一个构造构造Hermite插值多项式插值多项式，除了可使用，除了可使用“基函数法基函数法”，还可，还可利用利用Newton插值的构造思想插值的构造思想，即利用，即利用“承袭法承袭法”来构造。来构造。用用“承袭法承袭法”构造插值构造插值。值多项式，记为，构造一个一次插先使用插值条件：)()(,)(1112002xHyxHyxH使用使用“承袭法承袭法”的构造思想的构造思想，令，令)()()(1012xxxxcxHxH为待定系数。其中c，结果得，确定待定系数再使用插值条件：cyxH002)(.1)()(0010101100101

10、0100100yxxyyxxxxxxyyyxxxxxHycxx)()(0101001xxxxyyyxH用用“基函数法基函数法”构造插值构造插值),()()()( ),()()( )( ),()()()( ,),()()()( , 1, 0000011000020100111100121000011000020010001100210 xByxAyxAyxHyxByxAyxAyxHyxByxAyxAyxHyBAAxByxAyxAyxHxx并利用插值条件，得性，插值问题的解存在唯一均为二次多项式，根据其中令置. 1)0(0) 1 (0)0(0)0(1) 1 (0)0(0)0(0) 1 (1)0(0

11、00111000BBBAAAAAA，；，；，上式中取取法！取法！；，0)0(0) 1 (1)0(000AAA).1 ()( )( 021xxxBxxA；类似地，有1）构造）构造 ：)(0 xA)0() 10()0(0 ) 10)(0( )0(1 ).1)()()(10000baaAbaAxbaxxAxA式，得将其他插值条件代入上的零点，因此，可假设为注意到，；，11ab.1)(20 xxA于是，.)(00001100020110hxxByhhxxAyhxxAyxHhxxxx，则，记是随意给出的两个节点，由于3.2 3.2 HermiteHermite插值多项式的余项插值多项式的余项下面来估计截

12、断误差：下面来估计截断误差：定理定理2.1.证明：证明：).()!22()()()()( ),(,), 1 , 0( 22,)( 21)22(1212xnfxHxfxRbabaxbanixnbaxfnxnnnxi，使，存在与其有关的上的互异节点，则对是阶导数，上有在假设）式可写成为待定函数。从而，（其中有如下形式：零点。从而，它应该具个二重至少有。根据误差函数以下假设。因此时，显然有当)(, ),()()( 1)(0)(), 1 , 0( 21121212xbaxxxxRnxRxxxRnixxnnniini)()()()(0 )()()()( 21121221xxxHxfxHxfxxnnnn定理可知，阶导数。于是，依据上具有在阶导数，故上具有在假设，。根据个互异的零点至少有此时，引入辅助函数为了确定RollenbatFnbatfxxxntFtxtHtftFxnnn22,)(22,)(,1) 1()()()()()()( :)(02112x0