AHP(层次分析法)方法、步骤

1、ms-or 2006.81 多目标评估方法多目标评估方法 ahp方法及其应用方法及其应用 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 层次分析法 (analytics hierarchy process, ahp) 简 介1 基本模型 2 基本步骤 3 应用案例 4 应用软件 5 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 1、简介 层次分析法是由美国匹兹堡大学教授 t.l.saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把 一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因 素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次 结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相 对重要

2、性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相 对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解 决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便， 从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 2、基本模型单层次模型 （1） 单层次模型结构 c目标 ai隶属c的n个评价元素 决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评 价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。 c a1a2 an ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 2、基本模型单层次模型 （2） 思想： v整体判断 n个元素的两两比较。 v定性判断 定量表示（通过标量）

3、v通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 2、基本模型单层次模型 （3）计算步骤 i. 构造两两比较判断矩阵 ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层 次单排序） iii. 单层次判断矩阵a的一致性检验 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （3）计算步骤 i. 判断矩阵 标度（aij）的含义：ai比aj 时由决策者回答下列问题所得 cka1a2an a1a11a12 a1n a2a21a22 a2n mmmmm anan1an2 ann 1 表示两个元素相比，具有同样重要性 3 表示两个元素相比，一个元素比另一

4、个元素稍微重要 5 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要 7 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要 9 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （3）计算步骤 判断矩阵中的元素具有下述性质 例：决策者认为ai比aj明显重要，则aij5 这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这 是ahp的特点之一。 1)( 1 )( 0)( ii ji ijij aiii a aiiai ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （3）计算步骤 ii. 层次单排序 计算判断矩阵a的最大特征根max和其对应的经

5、归一化后的特征向量w= (w1, w2, ,wn) t 由此得到的特征向量w= (w1, w2, ,wn) t 就作 为对应评价单元的权重向量。 max和w的计算一般采用幂法、和法和方根法 aw= max w ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 方根法 13/ 13 315 3/ 15/ 11 a 1,15 067. 0 15 1 3 1 5 1 1 32 1 mm m 计算mi 的n次方根 1466. 2,405. 0 32 3 11 wwmw ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 归一化 258. 0637. 0105. 0 871. 3 321

6、3 1 www w i i 307. 3 258. 03 785. 0 637. 03 196. 1 105. 03 318. 0 )( 1 max n i i i nw aw 258. 0 637. 0 105. 0 w ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 ahp方法计算原理 v问题 为什么两两比较判断矩阵a的最大特征值的向量 可以作为评价单元a1, a2, ,an的权重向量？ t n wwww),.,( 21 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 ahp方法计算原理 v解释 假设事先已知这n个评价单元的权重向量为 比较ai与aj重要性时，标量aij

7、=wi/wj 是一精确比值 所构成的两两比较判断矩阵 是完全精确的判断矩阵 t n wwww),.,( 21 n nn n n w w w w w w w w w w w w w w a 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 ahp方法计算原理 满足 w是 的最大特征值的向量 a nn n nn n n w w w n w w w w w w w w w w w w w w w w w wa mm 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 wnwa ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 ahp方法计算原理 实

8、际评价时，并不知道这权重向量 比较ai与aj重要性时，通过询问决策者只能得到近 似的比值aij aijwi/wj 得到的判断矩阵是近似的判断矩阵a. a 精确判断矩阵 的最大特征值的向量 w= (w1, w2, ,wn) t 是完全精确的权重向量 近似判断矩阵a最大特征值的向量 w= (w1, w2, ,wn) t 可以作为近似的权重向量 a a ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （3）计算步骤 viii. 单层次判断矩阵a的一致性检验 在单层次判断矩阵a中，当 时，称判断矩阵为一致性矩阵。 进行一致性检验的步骤如下： （a）计算一致性指标c.i.： ，式中n为判断矩阵

9、阶数。 （b）计算平均随机一致性指标r.i. r.i.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的， 下表给出115维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标： （c）计算一致性比例c.r.： c.r. c.i./ r.i. 当c.r.0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。 jk ik ij a a a 1 . max n n ic 维数123456789101112131415 r.i.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 3、多层次分析

10、法基本步骤 建立递阶层次结构 1 计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型） 2 计算各层次上元素的组合权重（层次总排序） 3 评价层次总排序计算结果的一致性 4 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （1）递阶层次结构 决策目标 准则1准则2准则k 子准则1子准则2子准则m 方案1方案2方案n 目标层 准则层 子准则层 方案层 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （3）计算各元素的总权重 a1a2am 层次a 权重 层次b a1a2am b 层次元素组合权重 b1 1 1 b 2 1 b m b1 m i i ib ab 1 11 b2 1 2 b

11、2 2 b m b2 m i i ib ab 1 22 mmmmmm bn 1 n b 2 n b m n b m i i nin bab 1 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （4）评价层次总排序计 算结果的一致性 设：ci为层次总排序一致性指标： ri为层次总排序随机一致性指标。 其计算公式为： cii为ai相应的b层次中判断矩阵的一致性指标。 rii为ai相对应的b层次中判断矩阵随机一致性指标 并取 当 ，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。 m i iici aci 1 m i iiri ari 1 ri ci cr 10.0cr ms-or 多目标评估方法多

12、目标评估方法 2009.11 4、应用案例 某厂有一笔企业留成利润要决定如何使 用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖 金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆； 购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动 积极性、提高职工技术文化水平、改善职工 物质文化生活三方面，据此构造各因素之间 相互联结的层次结构模型如下图所示。 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （1）层次结构图）层次结构图 准则层c 方案层d 目标层a合理使用企业留利万元 调动职工劳动 积极性 提高企业 技术水平 改善职工物质 文化生活状况 发奖金 扩建集体 福利设施 办技校 建图 书馆 购买新 设施 a c1 c

13、2 c3 d1 d2d3d4 d5 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （2）计算单一准则下元）计算单一准则下元 素的相对重要性素的相对重要性 i. 第二层相对于第一层的判断矩阵 通过计算得判断矩阵的特征向量和特征值分别为： w=(0.105,0.637,0.258) max=3.308 对判断矩阵进行一致性检验，即计算c.i.和c.r. c.i.=0.019 c.r.=0.0330.1 说明判断矩阵的一致性可以接受。 a-cc1c2c3 c111/51/3 c2513 c331/31 c1c2c3 w1=0.105w2=0.637w3=0.258 a ms-or 多目标

14、评估方法多目标评估方法 2009.11 （2）计算单一准则下元）计算单一准则下元 素的相对重要性素的相对重要性 ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵 w=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046) 126.5max c.i =0.032 c.r. =0.0280.1 c1-dd1d2d3d4d5 d112347 d21/21325 d31/31/311/21 d41/41/2213 d51/71/511/31 w11w12w13 c1c2c3 d1d2d3d4d5 w14w15 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （2）计算单一准则下元）计算单一

15、准则下元 素的相对重要性素的相对重要性 c2-dd2d3d4d5 d211/71/31/5 d37152 d431/511/3 d551/231 w=(0.055,0.564,0.118,0.265) 117. 4 max c.i=0.039 c.r.=0.0420.1 c3-dd1d2d3d4 d11133 d21133 d31/31/311 d41/31/311 w=(0.406,0.406,0.094,0.094) 4 max c.r.=0 w21w22w23 c1c2c3 d1d2d3d4d5 w24w25 c1c2c3 d1d2d3d4d5 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法

16、2009.11 （3）计算各元素的总权重）计算各元素的总权重 c1c2c3 准则 权重 方案 0.1050.6370.258 总权重 d10.49100.4060157 d20.2320.0550.4060164 d30.0920.5640.0940393 d40.1360.1180.0940113 d50.0460.26500172 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 （4）结论）结论 发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新 设备 w=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172) c.i.=0.028 r.i.=0.923 cr=0.030.1

17、0 计算结果表明，对于合理使用企业留成利润 来说，办技校是首选的方案。 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 五问题提出问题提出 中国女排在2007年一系列热身赛中成绩不 佳，透露出这么一个重要信息：我们应该怎 样科学地选拔上场队员。 是否应该认真的反 思一下历年来选拔队员 的程序和方法，它们是 否是在科学原则的指导 下进行的。 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 一问题提出问题提出 选择上场队员应该有一套科学的方法， 不然 即使再出一个郎平， 也不一定能够再登世界 之巅。 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 一问题提出问题提出

18、中国女排在2004年雅典奥运会获得金 牌后，在备战北京奥运会时仍然沿袭了 雅典奥运会的原班人马，结果由于多名 队员受伤，在占尽天时，地理人和之时 成绩却不尽人意。无论是教练还是对原 对此成绩均不满意。赛后主教练陈忠和 泪洒赛场。 陈忠和泪洒赛场视频 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 一问题提出问题提出 但赛后的痛苦流涕病必能解决问题，我 们是否应该反思队员选拔与训练机制，为什 么主力队员都是浑身伤病。我们认为，主教 练在进行队员选拔的时一定要按科 学的原则进行，而非靠个 人偏好决定取舍。这样 才能把最优秀的队员 选拔到国家队。 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法

19、2009.11 一问题提出问题提出 从管理的角度来看，选择上场队员的问 题实质是一个综合评估问题。 科学评估有三要素：评估者、评估指标 体系和评估方法。实际上队员选拔问题也应 该按照这三个准则进行：一是确定科学的确 定评估者（教练组），二是要建立一套合理 的评价指标体系，三是选用 科学有效的评估方法进 行。 oh, my god！ ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 二模拟算例二模拟算例 基于本届奥运会的教训和实际情况，我们通过 一个模拟的算例，来看如何运用此方法进行队员选 拔。确定本届奥运会1-2名留队的副攻队员。 评估对象：我们选择四位现役国家队副攻队员，薛 明、赵蕊

20、蕊、徐云丽、马蕴雯。 模拟评估小组研究生球迷小组。 评价指标讨论提出下列四个指 标：身体条件、大赛经验 力、训练水平、场上作风。 具体评价模型和评价过程如下： ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 1.构造各因素之间的 层次结构模型 上场队员 目标层a 指标层b身体条件b1大赛经验b2训练水平b3场上作风b4 方案层c徐云丽c1赵蕊蕊c2薛明c3马蕴雯c4 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 2.构造第二层相对于第一层的判断矩阵 下面是某位排球专家给各层次上对象的打分情况 ： a- b 身体条件b1 大赛经验b2 训练水平b3 场上作风b4 身体条件b

21、1 1335 大赛经验b2 1/3113 训练水平b3 1/3113 场上作风b4 1/51/31/31 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 3.层次单排序和一致 性检验 通过计算，可得如下结果： 层次单排序： (身体,经验,训练,作风) 特征向量 w = (0.520,0.201,0.201,0.078) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算c.i. 和c.r. c.i. = 0.014 c.r. = 0.016 c.r. 0.1，通过一致性检验 max 4.043 b4 a c4 b1b2b3 c1c2c3 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11

22、 4.构造第三层相对第二层的各个指构造第三层相对第二层的各个指 标的判断矩阵标的判断矩阵 4.1各位被选教练在指标身体条件上的得分 b1- c 徐云丽c1 赵蕊蕊c2 薛明c3 马蕴雯c4 徐云丽c1 11/51/32 赵蕊蕊c2 5135 薛明c3 3313 马蕴雯c4 1/21/51/31 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 4.2 b1-c上的单排序和一致性检验 通过计算，可得如下结果： b1-c上的权值：(丽丽,蕊蕊,明明,雯雯) 特征向量 w = (0.114,0.556,0.249,0.081) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算c.i. 和c.r. c

23、.i. = 0.035 c.r. = 0.039 c.r. 0.1，通过一致性检验 max 4.104 b4 a c4 b1b2b3 c1c2c3 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 4.3各位被选队员在指标大赛经验 上的得分 b2- c 丽丽c1 蕊蕊c2 明明c3 雯雯c4 丽丽c1 11/51/31/3 蕊蕊c2 5133 明明c3 3312 雯雯c4 331/21 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 4.4 b2-c上的单排序和一致性检验 通过计算，可得如下结果： b2-c上的权值：(丽丽,蕊蕊,明明,雯雯) 特征向量 w = (0.077,

24、0.517,0.238,0.168) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计 算c.i. 和c.r. c.i. = 0.035 c.r. = 0.039 c.r. 0.1，通过一致性检验 max 4.104 b4 a c4 b1b2b3 c1c2c3 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 4.5各位被选教练在指标各位被选教练在指标训练水平上的得分训练水平上的得分 b3- c 丽丽c1 蕊蕊c2 明明c3 雯雯c4 丽丽c1 131/31/5 蕊蕊c2 1/311/51/7 明明c3 3511/3 雯雯c4 5731 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11

25、4.6 b3-c上的单排序 和一致性检验 通过计算，可得如下结果： b3-c上的权值：(丽丽,蕊蕊,明明,雯雯) 特征向量 w = (0.118,0.055,0.263,0.564) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算 c.i. 和c.r. c.i. = 0.039c.r. = 0.043 c.r. 0.1，通过一致性检验 max 4.117 b4 a c4 b1b2b3 c1c2c3 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 4.7各位被选教练在指标各位被选教练在指标场上作风上的得分场上作风上的得分 b4- c 丽丽c1 蕊蕊c2 明明c3 雯雯c4 丽丽c1 11/5

26、1/31/3 蕊蕊c2 5135 明明c3 31/313 雯雯c4 31/51/31 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 4.8 b4-c上的单排序 和一致性检验 通过计算，可得如下结果： b4-c上的权值：(丽丽,蕊蕊,明明,雯雯) 特征向量 w = (0.073,0.554,0.248,0.126) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算c.i. 和c.r. c.i. = 0.066 c.r. = 0.073 c.r. 0.1，通过一致性检验 max 4.197 b4 a c4 b1b2b3 c1c2c3 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 4

27、.9第三层相对于第一层的权重第三层相对于第一层的权重 通过第二层相对于第一层和第三层相对于第二层的权通过第二层相对于第一层和第三层相对于第二层的权 重组合得到重组合得到： b1b2b3b4综合评分值 0.5200.2010.2010.078 c1 0.1140.5560.2490.0810.104 c2 0.0770.5170.2380.1680.448 c3 0.1180.0550.2630.5640.249 c4 0.0730.5540.2480.1260.199 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 5.层次总排序和一致 性检验 通过计算，可得如下结果： a-c层次上

28、的权值：(丽丽,蕊蕊,明明,雯雯) 特征向量 w = (0.104,0.448,0.249,0.199) 对判断矩阵进行一致性检验，即计算c.i. 和c.r. c.i. = 0.038 c.r. = 0.042 c.r. 0.1，通过一致性检验 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 三.总结 计算结果表明，四位队员的综合评估顺序为：赵 蕊蕊、薛明、徐云丽、马蕴雯。 赵蕊蕊身体条件最好，马蕴雯的训练水平最高。 若有多位评估者，每一位都如此打分，经过计 算得到综合评估值，多位评估排名靠前的应作 为首要考虑的人选。 ms-or 多目标评估方法多目标评估方法 2009.11 三.总结 v队员选拔实质是一个综合评估问题，综合评估 具有三个要素：评估者，评估指标体系和评估 方法。 v评估者要对所要评估的对象有较深入的了解， 而且要是这一领域的专家。队员选拔的评估者 应该是排球界的资深专家，主教练、助理教练 和球迷，而不应该完