2020年九年级数学中考三轮复习：《二次函数综合训练》

1、中考三轮复习：二次函数综合训练1已知抛物线的顶点A（1，4），且经过点B（2，3），与x轴分别交于C，D两点（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AEx轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tanPCD+tanPDC的值解：（1）设直线OB的解析式为ykx，B（2，3），2k3，k，直线OB的解析式为yx，抛物线的顶点为A（1，4），设抛物线对应的函数表达式为ya（x+1）2+4将B（2，3）代入ya（

2、x+1）2+4，得：3a+4，解得：a1，抛物线对应的函数表达式为y（x+1）2+4，即yx22x+3（2）设M（t，t22t+3），MNs，则N的横坐标为ts，纵坐标为（ts），x12，x2，点M是直线OB的上方抛物线上的点，2t，MNx轴，t22t+3（ts），st+2，2t，当t时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQy轴交x轴于Q，设P（t，t22t+3），则PQt22t+3，CQt+3，DQ1t，tanPCD+tanPDC，1t+t+3，42如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线yx2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A如图1，点P为抛物

3、线上任意一点过点P作PMx轴交BC于M（1）求抛物线的解析式；（2）当PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P，作直线PM与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线PM经过点Q时，请你直接写出EF的长解：（1）直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交点C，B（4，0），C（0，2），把B（4，0），C（0，2）代入yx2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为：y+2；（2）PMx轴交BC于MBC不平行x轴，PMC90，当CPM90时，PCx轴，则P点的纵坐标为2，y+2的对称轴为x1，P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当PCM90时，设P（m，），

4、则M（m，m+2），由PC2+CM2PM2得，解得，m0（与C的横坐标相同，舍去），或m6，此时P（6，10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（6，10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KLx轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P在QM上，y+2，抛物线的对称轴为x1，Q（1，0），BQ413，QBNCBO，QNBCOB90，BQNBCO，即，QN，QK2QN，BQNKQL，BNQKLQ90，BQNKQL，即，QL，OL1+，M（，），设QM的解析式为：ykx+b（k0），则，直线QM的解析式为：y，联立方程组，解得，或，

5、E（，），F（，），EF3如图，抛物线yax2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（1，0），且直线BC的解析式为yx2，作垂直于x轴的直线xm，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）若CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PMBC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与ABC相似，求P点的坐标解：（1）直线BC的解析式为yx2，C（0，2），B（4，0），将A（1，0），B（4，0）代入yax2+bx2，得，解得，yx2；（2），若以C为顶点，则CE2CF2，解

6、得：m12，m24（舍去），若以E为顶点，则EC2EF2，解得：m34，m44+（舍去），综合以上得m2或m4（3）AC，BC2，AC2+BC225AB2，当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（1，0），如图，当BPMABC时，过点M作HRx轴，作PHHR于点H，BRHR于点R，PMBPHMBRM90，BMRMPH，PHMMRB，又ABHR，ABCBMR，tanBMRtanABC，令BRa，MR2a，又ABCBMR，tanBMRtanABC，PH4a，HM2a，PQ3a，HR4a，P（44a，3a），又点P在抛物线上，将P（44a，3a）代入yx2得：（44a）23a，a（8a13）0

7、，a10（舍），a2符合条件的点P为P1（1，0）或4如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H当PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E已知直线ykxk+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，EMN恒为直角三角形解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），解得：，b2，c3；（2）抛物线的函数表达式为：yx2+2x+3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+3，将点B（3，0）代入

8、ykx+3，解得：k1，直线BC的解析式为yx+3，设点P（x，x2+2x+3），则点H（x，x+3），如图1，过点C作CMPH于点M，则CMx，PHx2+3x，当CPCH时，PMMH，MCHMCP，OBOC，OBC45，CMOB，MCHOBC45，PCH90，MCPH（x2+3x），即x（x2+3x），解得：x10（舍去），x21，P（1，4）；如图2，当PCPH时，PHOC，PHCOCB45，CPH90，点P的纵坐标为3，x2+2x+33，解得：x2或x0（舍去），P（2，3）；当CHPH时，如图3，B（3，0），C（0，3），BC3HFOC，解得：x3，P（3，42）综合以上可得，点P的

9、坐标为（1，4）或（2，3）或（3，42）（3）函数表达式为：yx2+2x+3（x1）2+4，点E（1，4）；设点M、N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），MN2（x1x2）2+（y1y2）2，ME2（x11）2+（y14）2，NE2（x21）2+（y24）2，ME2+NE2（x11）2+（y14）2+（x21）2+（y24）2x12+x222（x1+x2）+2+y12+y228（y1+y2）+32x12+x222x1x2+24+y12+y222y1y2+1848+32（x1x2）2+（y1y2）2，MN2ME2+NE2，MEN90，故EMEN，即：EMN恒为直角三角形5如图1所示，已知直

10、线ykx+m与抛物线yax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q是线段BC上一点，且CQ，点M是y轴上一个动点，求AQM的最小周长解：（1）抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x4，点A的坐标为（2，0）抛物线yax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），解得a，b4，c6抛物线的解析式为：y；（2）设P（4，y），B（6，0），C（

11、0，6），BC262+6272，PB222+y2，PC242+（y6）2，当PBC90时，BC2+PB2PC2，72+22+y242+（y6）2，解得：y2，P（4，2）；当PCB90时，PC2+BC2PB2，42+（y6）2+7222+y2，解得：y10，P（4，10）；当BPC90时，PC2+PB2BC242+（y6）2+22+y272，解得：y3P（4，3+）或P（4，3）综合以上可得点P的坐标为（4，2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3）（3）过点Q作QHy轴于点H，B（6，0），C（0，6），OB6，OC6，OCB45，CQHHCQ45，CQ，CHQH，OH6，点Q的坐标为（

12、，），在x轴上取点G（2，0），连接QG交y轴于点M，则此时AQM的周长最小，AQ，QG，AQ+QG，AQM的最小周长为46如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数yx+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数yx2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动过程中能否存在PQAC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形P

13、DCQ的面积是多少？解：（1）由yx+3，令x0，得y3，所以点A（0，3）；令y0，得x4，所以点C（4，0），ABC是以BC为底边的等腰三角形，B点坐标为（4，0），又四边形ABCD是平行四边形，D点坐标为（8，3），将点B（4，0）、点D（8，3）代入二次函数yx2+bx+c，解得：，故该二次函数解析式为：yx2x3（2）OA3，OB4，AC5设点P运动了t秒时，PQAC，此时APt，CQt，AQ5t，PQAC，AQPAOC90，PAQACO，APQCAO，即，解得：t即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQACS四边形PDCQ+SAPQSACD，且SACD8312，当APQ的面积最大

14、时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，APt，CQt，AQ5t，设APQ底边AP上的高为h，作QHAD于点H，由AQHCAO可得：，解得：h（5t），SAPQt（5t）（t2+5t）（t）2+，当t时，SAPQ达到最大值，此时S四边形PDCQ12，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为7如图，抛物线yx2+bx+c过点x轴上的A（1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO3AO（1）抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）过点P作PDy轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sinBCP，在对

15、称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使QBCPBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）A（1，0），OA1，又CO3AO，OC3，C（0，3），把A，C两点的坐标代入yx2+bx+c得，解得：，抛物线的解析式为yx2+2x+3，故答案为：yx2+2x+3（2）由x2+2x+30，得B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，解得：，直线BC的解析式为yx+3，设点P（x，x2+2x+3），则D（x，x+3）（0x3），PD（x2+2x+3）（x+3）x2+3x当时，PD有最大值（3）存在，点P在第一象限，BCP45，B（3，0），C（0

16、，3），OCOB，BOC是等腰直角三角形，OBCOCB45，BCPOCB45，CPOB，P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在CPB和CGB中：2，CPBCGB（ASA），CGCP2，OG1，点G（0，1），设直线BQ：ykx+1，将点B（3，0）代入ykx+1，直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），Q（，）8如图，以D为顶点的抛物线yax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求

17、出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入yax2+2x+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx2+2x+6（2）当y0时，x2+2x+60，解得：x12，x26，点A的坐标为（2，0）点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），直线BC的解析式为yx+6如图1，作O关于BC的对称点O，则点O的坐标为（6，6）O与O关于直线BC对称，POPO，PO+PA的最小值PO+PAAO10设直线AO的解析式为ykx+m，将A（2，0），Q（6，6）代入ykx+m，得：，解得：，直线AO的解析式为yx+联立直线AO和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，点P的坐标为

18、（，）（3）yx2+2x+6（x2）2+8，点D的坐标为（2，8）又点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），CD2，BC6，BD4，CD2+BC2BD2，BCD90点A的坐标（2，0），点C的坐标为（0，6），OA2，OC6，2，又AOCDCB90，AOCDCB，当Q的坐标为（0，0）时，AQCDCB如图2，连接AC，过点C作CQAC，交x轴与点QACQ为直角三角形，COAQ，ACQAOC又AOCDCB，ACQDCB，即，AQ20，点Q的坐标为（18，0）综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似9如图，抛物线L：yax22ax+a+k（a

19、，k为常数且a0）经过点C（1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：yax+c经过点C（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BPAP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a1时，设ABC的外心为点N，则：求点N的坐标；若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足AQBACB，直接写出b的取值范围解：（1）把点C（1，0）代入L，得0a（1）22a（1）+a+k，k4a又L：yax22ax+a+ka（x1）24a，顶点M（1，4a）

20、（2）是定值根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BFAF，又QL的对称轴为x1，故PF1，由图象可得，BPAP（BF+PF）（AFPF），BF+PFAF+PF2PF2（3）当直线n经过点B时，有ax+aa（x1）24a，化简得，ax23ax4a0，a0，x23x40，解得：x11，x24，B在A的右侧，对称轴为x1，B（4，a+4），A（2，a+4），把点B代入直线n，得a+44a+a，解得a1，A（2，5），B（4，5）（4）根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x1就是AB的垂直平分线，故ABC的外心N就在直线x1上，则有ANCN设N（1，c），由（3）可知A（2，5），及C（1，0），（21

21、）2+（5c）2（11）2+（0c）2，即32+（5c）222+c2，解得c3N（1，3）或b如图，对于点Q（1，b），若AQBACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x1与N的交点，由（4）得，N的半径为rNC（11）2+（03）2，则b（rc）（3）3；设点Q关于直线AB的对称点为Q（1，d），若AQBACB，则dFQ+5FQ+5（5+|3|）+5+7综上，若点Q满足AQBACB，则有b或b10如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0m4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线

22、和直线AB的函数表达式（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD，旋转角为（0a90），连接DA、DB，求DA+DB的最小值解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线yx2+bx+c得，解得：，抛物线的函数表达式为y设直线AB的解析式为ykx+b，解得：，直线AB的解析式为yx+4；（2）过点D（m，0）（0m4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，E（m，），C（m，m+4）EC点C是DE的中点，解得：m2，m4（舍去）EDOB4，四边形ODEB为矩形（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y

23、轴上 取一点M使得OM1，连接AM，在AM上取一点D使得ODODOD2，OMOB144，OD2OMOB，BODMOD，MODDOB，DA+DBDA+MDAM，此时DA+DB最小（两点间线段最短，A、M、D共线时），DA+DB的最小值AM11如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA2，OBOC6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当FBABDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线

24、作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标解：（1）OA2，OBOC6，A（2，0），B（6，0），C（0，6），可设抛物线解析式为ya（x+2）（x6），把C点的坐标代入可得612a，解得a抛物线解析式为y（x+2）（x6）x2+2x+6；D（2，8）；（2）如图1，过F作FGx轴于点G，设F（x，x2+2x+6），则FG|x2+2x+6|，FBABDE，FGBBED90，FBGBDE，B（6，0），D（2，8），E（2，0），BE4，DE8，OB6，BG6x，当点F在x轴上方时，有，解得x1或x6（舍去），此时F点的坐标为（1，），当点F在x轴下方时，有，解得x3或x6（舍去），此时F点的坐标为（

25、3，），综上可知F点的坐标为（1，）或（3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O，点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QOMOPONO，PQMN，设Q（2，2n），则M坐标为（2n，n），点M在抛物线yx2+2x+6的图象上n（2n）2+2（2n）+6，解得n1+或n1，满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，2+2）或（2，22）12如图，直线yx4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在

26、线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动设EBF的面积为S，点E运动的时间为t求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；点E，F在运动过程中，若EBF为直角三角形，求t的值解：（1）直线yx4与x轴，y轴交于点B，C，x0时，y4，y0时，x4，B（4，0），C（0，4）抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，A点坐标为（2，0），解得：抛物线的解析式为（2）由题意得，BFt，BE63t，作FHx轴，如图，B（4，0），C（0，4）OBOC4，FHBC，BHFBOC

27、，解得：HF当S有最大值时，t1，此时点F的坐标为（）OBOC，OBC45，若BEF90，则cosEBF，解得：t若EFB90，则cosEFB解得：t综合以上可得，若EBF为直角三角形，t的值为或13如图，在直角坐标系中，yax24ax+3a与x轴交于A、B两点（A点在B点左），与y轴交于C点（1）若ABC的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P为B点右侧抛物线上一点，连PC，PB交y轴于D点，若BCP2ABC，求的值；（3）若P为对称轴右侧抛物线上的动点，PA交y轴于E点，判断的值是否为定值，说明理由解：（1）yax24ax+3a与x轴交于A、B两点，ax2+4 ax+3a0，解得x11，

28、x23，A（1，0），B（3，0），当x0，y3a，OC3a，SABC，解得a，抛物线的解析式为y；（2）如图，过B点作BMx轴交CP于M，过点C作CFBM于点F，ABCF，ABCBCF，BCP2ABC，ABCBCFFCM，CFCF，CBFCMF（ASA），BFFM，M（3，6a），又C（0，3a），设CP解析式ymx3m，8am2，m4a，y4ax12a，解得：x13，x25，P（5，8a），直线BP的解析式为y4ax12a，D（0，12a），OC|3a|，OD|12a|，；（3）A（1，0），设PA的解析式yk1xk1，ax2（4a+k1）x+3a+k10，（ax3ak1）（x1）0，解得

29、，x1或x，xp3+，B（3，0），设PB的解析式yk2x3k2，ax2（4a+k2）x+3a+3k20，（axak2）（x3）0，xp1+又ECk13 a，DE3k23 a，14如图，已知抛物线yax22x+c经过ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1

30、）将A（0，1），B（9，10）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式yx22x+1；（2）ACx轴，A（0，1），x22x+11，解得x16，x20（舍），即C点坐标为（6，1），点A（0，1），点B（9，10），直线AB的解析式为yx+1，设P（m，m22m+1），E（m，m+1），PEm+1（m22m+1）m2+3mACPE，AC6，S四边形AECPSAEC+SAPCACEF+ACPFAC（EF+PF）ACEP6（m2+3m）m2+9m（m）2+，0m6，当m时，四边形AECP的面积最大，此时P（，）；（3）yx22x+1（x3）22，P（3，2）PFyFyp3，CFxFxC3，PFC

31、F，PCF45，同理可得EAF45，PCFEAF，在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB9，AC6，CP3，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，当CPQABC时，即，解得t4，Q（4，1）；当CQPABC时，即，解得t3，Q（3，1）综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（3，1）15已知抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；

32、（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得AMO与ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），解得：，抛物线的解析式为yx24x+3；（2）抛物线的解析式为yx24x+3，令x0，y3，C（0，3）OC+OB3+14，当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为ykx+b，解得：直线AC的解析式为yx+3，抛物线的对称轴为x2，x2时，y2+31，P（2，1）（3）抛物线的解析式为yx24x+3（x

33、2）21，抛物线的顶点D的坐标为（2，1），又C（0，3），直线CD为y2x+3，OC3，A（3，0），AB2，BACOCA45，AC3，ABC90+OCB，ABC为钝角，若AMO与ABC相似，显然ABCOMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似，则有两种情况，若点M在x轴上方时，如图2，当AOMCAB45时，ABCOMA，设M（a，2a+3），a2a+3，解得a1，M（1，1）此时OM，OA3，则ABCOMA若点M在x轴下方，如图3，M在线段CD上，AOM45，OAMBAC45，M（2，1），此时点M与点D重合，AM，OA3，则ABCAMO综合以上可得，在线段C

34、D上存在点M（不与点C重合），使得AMO与ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，1）16如图，一次函数yx+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（1，0），二次函数yax2+bx+c的图象经过A、B、C三点（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q作QMy轴于点M，作QNBD于点M，过Q作QPy轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足APEABO，求SOBE解：（1）一次函数yx+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别

35、为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：ya（x4）（x+1）a（x23x4），即4a2，解得：a，则抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：yx+4；即直线BD的倾斜角为45，则QGN45，QNQG，设点Q（m，m+2），则点G（m，m+4），QMQNm（m+4+m2）（m2+2m），当m2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：APEABO，则tan；当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP，设AP与y轴的夹角为，则tan2，过点H作MHPA交PA的延长线于点M，设：MAx，则MH2x，

36、tanAPHtan，解得：x，则AHx，则点H（0，），设直线PH的表达式为：ykx+b，解得：，直线PH的解析式为yx+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x2（舍去）或，点E（，），当PE在AP上方时，如图2，过点P作PMy轴交于点M，交抛物线于点E，tanAPMtanABO，APMABO，PEx轴，E点的纵坐标为3，将y3代入抛物线解析式求得x1，E（1，3），6综上可得OBE的面积为或617如图，抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以

37、点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得DCM与BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c，得，解得b2，c3抛物线对应二次函数的表达式为：yx2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切P于点E连结PE、PA，作CFDQ于点FPECD，PEPA由yx2+2x+3，得对称轴为直线x1，C（0，3）、D（1，4）DF431，CF1，DFCF，DCF为等腰直角三角形CDF45，EDPEPD45，DEEP，DEP为等腰三角形设P（1，m），EP2（4m）2在APQ中

38、，PQA90，AP2AQ2+PQ21（1）2+m2（4m）21（1）2+m2整理，得m2+8m80解得，m42点P的坐标为（1，4+2）或（1，42）（3）存在点M，使得DCMBQC如图2，连结CQ、CB、CM，C（0，3），OB3，COB90，COB为等腰直角三角形，CBQ45，BC3由（2）可知，CDM45，CD，CBQCDMDCM与BQC相似有两种情况当时，解得DMQMDQDM4M1（1，）当时，解得DM3，QMDQDM431M2（1，1）综上，点M的坐标为或（1，1）18如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CDx轴，交抛物线于点D，过点D作DEy轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQy轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0m4时，求d关于m的函数关系式；（4）当PQB是等腰三角形时，直接写出m的值解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），解得：抛物线解析式为：yx2+4x3；（2）抛物线yx2+4x3与y轴交于点C，点C（0，3）设直线BC解析式为：ykx3，03k3k1，直线BC解析式为：yx3；（3）设点P的横坐标为m