学生建模报告-家教问题

1、7A 版优质实用文档 家教问题 数学建模论文 辅导老师：窦霁红 彭书新 报告人：冯立( 20GG1090018 ) 魏芳( 20GG1090049 ) 吴媛( 20GG1090057 ) 摘要 当家教是很多大学生做兼职时的选择， 也为我们提供了难得的社会实践机会， 但 是如果花费过多时间在家教上， 我们就相当于是舍本逐末了！ 那么这个过量如何 界定呢？我们怎样选择一份合适的家教信息呢？ 我们针对此问题进行了调查分析给出了家教与学习的一些关系， 主要提出 了“家教收益率”，“学习收益率”，“家教收益(现金收益)”，“机会成本”，等一 些概念，给出了做家教的信息选择模型。我们的家教收益率主要受到讲

2、授时长 T 和花费在交通上面的时间 t 的影响。而我们的学习效率是随着学习的时间变化 的，我们根据所得数据的分析及家教收益的讨论， 将我们的学习效率换算成了学 习收益率。 在得到了上面的各种函数表达式之后，通过比较收益与成本的大小关系， 在讲授时间确定的情况下分情况给出了我们能够接受的距离范围及我们乐于接 受的距离范围。 关键字： 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 家教收益率现金收益学习收益率机会成本 家教问题 一问题的背景与提出 我们每个人几乎都有做家教的经历， 那我们在选择家教时会考虑哪些因素呢 ? 怎样才能使我们受益最大？今天我们一起来探讨一下。 首先要考虑年级， 这不仅由于我

3、们的自身能力等， 而且家交费时有所受年级 决定的。费用标准如下： 初二及各个年级 15 元/ 小时 初三，高一，高二 20 元/ 小时 高三 25 元/ 小时 家教年级确定后， 家教费率也就确定了， 这时候左右我们的主要是路程 的远近。我们到底可以接受怎样的距离范围？ 有付出才有回报，作家教师除了脑力劳动还付出了那些成本？这些成本 与时间又有怎样的关系 ?为什麽有人不愿意做家教？ 这些问题就是我们这篇论文所要解决的问题。 二数据的说明 本文的数据来自我们在网上查询的一些资料，以及实地考察。经过我们 分析和处理得到一些数据： 花费在家教上的时间上限 4 小时 做家教与学习时间总和 8 小时 不做

4、家教，学习时间上限 6 小时 学习效率最高时间点 3 小时 注：这些时间均为双休日的时间。 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 三化简与假设 只考虑每小时 15 ，20 ，25 元三种家教费率 ,因为其他费率的家教往往是 在特殊原因下产生的（如高考前高三补习家教是 30 元 / 小时） 家教需求信息是充足的，我们可以自由选择。 我们有能力胜任各年级的家教。 家教费用是按照讲授时间和年级支付的，与路程远近无关。 家教时间与学习时间总和一定，即此消彼长。 不考虑其他主观因素的影响，例如孩子是否好处。 四符号说明 T 讲授时间 t 花费在路程上的时间（包括等车时间，乘车时间等）以下简称交通

5、时间 p 花费在家教上的总时间，既 p=T+t G 学习花费的时间 k 讲授费率 m 往返车费 M 讲授工资 r 家教收益率 R 家教收益（现金收益） h 学习收益率 H 学习收益 Y 净收益 五建立模型 家教收益 7A 版优质实用文档 M（T,k）-m（t） T+t 7A 版优质实用文档 对于不同年级， 我们有不同的讲授费率， 但对我们而言， 讲授费率并不是我们单 位时间的收益，现在我们定义一个函数：家教收益率 r(t,T,k)= 在将 p=T+t 代如上式，得到另外两种表达方式： r(p,T,k)= kT-m(t) p r(p,t,k)= k(p-t)-m(t) 简化计算，我们假设 m(t

6、)=p2, 也就是假设我们往返花费在公车上的费用一共是 元. 对于这个函数，特别值得注意的是： 这个函数的下方图形的面积并不是我们的总 收益。我们家教收益率随着家教时间增加而增加， 这是因为这样我们因坐车而花 费的时间占的比率相对减少(随着家教时间增加而减少) ，但是家教总收益和坐 车时间没有直接关系的 R(p)和r(p)的关系如下图， R相当于星线包围的区域面积： 下面 固定 这里 调查， 情况下，调查的到数据如下： 我们将分别固定 ，并且在不同的 k 下讨论。 并不是为了讨论实际问题， 而是希望为下文进一步讨论提供方便。 而且根据 是不同的。 也就是在这两个参数不是独立的 乘车时间讲授费率

7、 0.6 小时 15 元/ 小时 1.44 小时 20 元/ 小时 1.97 小时 25 元/ 小时 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 将这三组数据以及 m(t)=2 代入 kt+m(t) r(p,t,k)=k- p ： 我们就 20- 30.8 p r1(p)=15- p r3(p)=25- 51.25 我们家教 p 小p时可以获得的总收益应该是 R(p)=r(p)Gp, 于是的到： ? R1(p)=15p-11 ? R2(p)=20p-30.8 ? R3(p)=25p-51.25 的花费上面的最长的事件是 调查问卷得到：我们能够接 4 小时，将 p=4 由此可 R1=49,R2=

8、49.2,R3=48.75 言，无论做那个年级的家教，我们在交通时间， 总家教时间的 49 元反映了什 心理极限下，可以获得的收益是一样的，这是为什麽呢？到底这 就是因为我们在做家教，获得了现金收益的时候，我们同时付出了成 本，也就是学习时间！ 前面一进假设我们能教各个年级， 那末无论我们教那个年 级，相同时间我们所付出的机会成本是一致的。这个 49 元就应该是我们“收益 =成本”的时刻，在这个时刻之后，我们的“收益成本”，所以说4 小时是 个心理极限，这样的情况是个别存在的。 自习收入 根据调查问卷得到的数据， 在不做家教的情况下， 我们周末学习的最长时间是 6 7A 版优质实用文档 7A

9、版优质实用文档 小时。其中学习效率最高的时刻是 3 小时，完成基本任务需要的事件是 2.5 消失 如果有家教，家教与自习时间总和是 8 小时。不妨将学习效率的曲线假设为二 次函数： h(G)=-a+c (x 3) 将上述数据代入，得到 G=6 时，有 (x b)2 h(G)=-a+9a 2 x2 =-a+6aG 现在目的就是要求 a，使得 h(G) 表示的是习收益率，即学习第 G 小时，可以给 我们带来的潜在收益： 先用 h(G)表示我们6家教 p 小时( p=2 )付出的成本 H(p) ，即如果我们将这段 时间用于学习可以创8 造p 的h潜( x在)收dx益： H(p)= p 2( ax2

10、6ax)dx a(p 2)3 3a(p 2)2 根据上文的论述，知道 H(4)=R(4)=83, 于是有方程： H(4)= 2 a(4 2)2 3 2 3a(4 2)2 49 解得 a=5.25, 代入 h(G),H(p) 得到： 5.25x2 31.5x 3 5.25( p 2)3 15 3 2) p) 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 注意：当 p2 时没有成本 这样我们就得到了学习收益率，机会成本的表达式。下面对他们和家教收益率， 家教收益(现金收益 )的关系进行讨论。 成本与收益 在我们可以接受的交通时间和家教时间的极限，花费 4 个小时家教可以让我们 不赔也不赚。 也就是将

11、我们学习的潜在收益等价转化为现金收益。 可是在现实生 活中，我们要找一份家教，是在固定的 T,k情况下，来研究对方的 t 我们是否能 够接受。 固定 T,k 当然要保证收益成本。也就是 R(p) =H(p) 1.75p( 2)2(15 p) 已知 R(T,k)=kT-2,H(p)= R与t 无关1.，75将(TH(tt)转2化)2成(1t5的T函数t：) H(t)= 我们要求的就是满足 R(t) =H(t) 的t 的取值 范围。下图就是讲授时间为 1 小时，2 小时，3 小时的情况下，随交通时间的变 化，我们的收益与成本变化的曲线图。 途中焦点就是我们在那种情况下所能接受 的最长的交通时间，

12、如果超过那个限度现金收益就会小于机会成本， 我们得不偿 失！ 图形如下： ，这样我们就可以把机会成本高价值的 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 情况我们能接受的最长交通时间 小时) 可以 我们家教时间在这个范围内， 就是一个理性选择， 我们可以把这个时间段称为一 个理性时间段， 超过那个时间段， 我们就相当于在减价出卖我们的学习， 赔本出 卖我们的脑力劳动。只要我们往返的交通时间在这个范围之内， 我们就不会亏本。 但是哪有人做事是为了不亏本的？可见我们的这个理性选择不够聪明！ 那末我们 什么时后能获得最大的净收益呢？ 在计算最大差值时分两步 净收益最大 在一般情况下，我们会考虑收益与成本的

13、差值，差值越大，净收益越大。 Y(t)=R(t)-H(t)=kT-2- 不需要计算，我们直接可以看1.出75，(p在 2)2t(=105时p)， 净收益最大，因为随着 t 的增加， R 不变， H(t) 在增大 . 显然，得到的结果没有实际意义， 当然越近越好。 事实上，这样的方法并不科学， 我们来举一个例子： T=2,k=25 就是一份家教信息， 25 元/ 小时，要求以此作两 个小时。分别就 t=0 和 t=0.5 进行讨论。 t r h R H Y 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 0 24 0 48 0 48 0.5 19.2 14.438 48 10.935 37.063

14、? 可以看出， 虽然我们的现金收益没有改变， 净收益随交通时间的增加减少 了，机会成本也增加了， 但是在 t=0.5 的时候， 我们的 h=r ，也就是说， 虽然我花费了时间在交通上面， 但是如果我们去做家教， 我们的单位时间 获得的收益仍然会比低效率的学习效果好， 也就是说， 如果去做家教会让 我们的时间更有价值。 最优时间段 在前文给出了一个理性的时间段范围。 在那个时间段范围内， 开始时边际收益大 于边际成本， 但达到某一时间点之后， 边际收益已经小于边际成本了， 这时我们 的现金折算就开始变小，也就是开始抵消我们前面的高比例折算，知道抵消完， 使得我们的折算比例是 1 ：1。那末如果找

15、到这个转折点，只要在这个转折点之 前，我们就是聪明的选择！ kT 2 讨论边际收益 r(t) 和边际成本 hT(t) 的t 关系：还用上面的例子 : r(t)= =T=1 2 5.25(t 1)2 31.5(t 1) 2 h(t)=T=2 5.25t2 31.5t 2 =T=3 5.25(t 1)2 31.5(t 1) 7A 版优质实用文档 15 元/ 小时 20 元/ 小时 25 元/ 小时 T=1 1.20 1.30 1.40 T=2 0.45 0.53 0.60 T=3 根据我们上面得到的不同情况下“理性选择”和“聪明选择”， 可以画出如下的 图形，并且将实际调查得到的家教数据也画入图中

16、 的分布状况，不过可以看出，存在一部分人做家教是不划算的状况，但是，也不 排除他的学习曲线与我们得到的有比较大的差异的情形。 六模型的结论与思路总结： 在一个理想的信息平台， 我们要选择一份理想的家教来做， 既能给我们锻炼的机 会，又不会影响我们学习， 就不妨根据自己的情况构置一个自己的 h(t),r(t) 函数， 看看怎样的选择是理性的选择，怎样的选择是聪明的选择。 总体思路是： ? 我们能够接受的花费在家教上面的最长时间是 p0, 利用恒等式 H(p0)=R(p0), 将我们假设的中的未知数计算出来 10 ? 利用不等式 R(t)=H(t) 计算出我们理性选择的交通时间 t 的范围 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 ? 利用不等式 r(t)=h(t) 计算出我们聪明选择的交通时间 t 的范围 七模型的优缺点 这个模型的数据是根据调查问卷得来的，但因为条件所限，得到的