专题19平行四边形、矩形、菱形

1、【例I I】如图，矩形ABCD勺对角线相交于O AE平分/ BAD 交 BC于 E,/ CAE= 1515专题19平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、 菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来， 判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四 边形的背

2、景下思考问题， 运用平行四边形、矩形、 菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定 定理与性质定理的综合运用 . .熟悉以下基本图形:例题与求解那么/ BOE= _（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手【例2 2】下面有四个命题： 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形； 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形； 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是 平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）B.B. 2 2 C.C. 3

3、3（全国初中数学联赛试题）解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定 【例3 3】如图，菱形 ABCD勺边长为2 2, BD= 2 2, E, F分别是边AD, CD上的两个动点且 满足 AE+CF= 2.（1 1）判断 BEF的形状，并说明理由；（2 2）设厶BEF的面积为S,求S的取值范围. .D DB B（烟台中考试题）解题思路：对于（1 1）由数量关系发现图形特征；对于（2 2）,只需求出BE的取值范围【例4 4】如图，设P为等腰直角三角形 ACB斜边AB上任意一点，PEL AC

4、于点E, PF丄BC于点F, PGL EF于点G,延长GP并在春延长线上取一点 D,使得PD= PC(1)在图1 1中证明CE= CF;(2)若/ ABC= 9090, G是EF的中点（如图2 2）,直接写出/BDG勺度数;F. .(3)3 3个等腰三角形;求证：Bd BD BC= BD（全国初中数学联赛试题）解题思路：只需证明厶CPB2A DPB关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质【例5 5】在口 A BCD中，/ BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线DC的延长线于点若/ ABC= 120120, FG/ CE FG= CE 分别连结 DB DG(如图 3 3),求/ BDG勺度数.

5、.（北京市中考试题）解题思路：对于（1 1）,由角平分线加平行线的条件可推出图中有 对于（2 2）,用测量的方法可得/ BDG4545。，进而想到等腰直角三角形，连 CG BD只需证B BF FD DC CF FF F明厶BGQA DGF这对解决（3 3）,有不同的解题思路对于（3 3）【例6 6】如图， ABC中，/ C=C= 9090，点 M在 BC上，且BM= AC点N在AC上，且 AN=MC AM与 BN相交于点P.求证：/ BPIM= 4545 . .（浙江省竞赛试题）解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式， 由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形

6、，解题的关键是平移AN或 AC即作MEL AN ME=AN构造平行四边形 能力训练A级1.1.如图，口ABCD , BE!CD BFL AD 垂足分别为 E、F,若 CE= 2 2, DU 1 1, / EBP6060，则口ABC的面积为 _. .2.2.如图，口ABCD勺对角线相交于点 0,且AM CD过点O作OML AC交AD于点M若厶CDM周长为a,那么口ABC的周长为 _. .第2 2题（浙江省中考试题）3.3.如图，在 RtRt ABC中，/ B= 9090,/ BAC= 7878,过 C作 CF/ AB 连结 AF与 BC相交于G 若GF= 2 2AC则/ BAG勺大小是 _. .

7、（“希望杯”竞赛试题）4.4.如图，在菱形 ABCDK / B=/ EAF= 6060, / BAE= 2020,则/ CEF勺大小是 _（“希望杯”邀请赛试题）5.5.四边形的四条边长分别是a, b, c, d,其中a, c为对边，且满足a2 b2 c2 d2 2ab 2cd，则这个四边形一定是（）A.A.两组角分别相等的四边形B.B.平行四边形C.C.对角线互相垂直的四边形D.D.对角线相等的四边形6.6.现有以下四个命题:8.如图，矩形ABC啲长为a,宽为b,如果&S2-(S3 S4)，则 S4 =(2A.A. 3ab B.B.8-ab C.C.42ab D.D. -ab32对角线相等的

8、四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4 4倍. .其中，正确的命题有（）A.A. B.B. C.C. D.D. 7.如图，在矩形 ABCDK AB= 1 1, AD= 73 , AF平分/ DAB 过点 C作 CEL BD于 E, 延长AF, EC交于点H,下列结论中： AF= FH;BO= BF；CA= CHBE= 3 3ED正确的 是（ ）A.A.B.B.C.C. D.D.（齐齐哈尔中考试题）（“缙云杯”竞赛试题9.已知四边形 ABCD现有条件： AB/ DCAB= DCAD/ BCAD- BC/ A

9、=Z C;/ B=Z D从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD平行四边形的有哪几种情形请具体写出这些组合（江苏省竞赛试题）10.如图， ABC为等边三角形， D F分别是BC AB上的点，且 CD= BF, 以AD为 边作等边厶ADE（1 1）求证： ACm CBF ；（2 2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且/ DEF= 3030,证明你的 结论. .（江苏省南通市中考试题）11.如图，在 RtRt ABC中, AB= AC / A= 9090，点 D为 BC上任一点，DF丄AC于 F,DEL AC于 E, M为BC中点，试判断厶 MEF是什么形状的三角形，并证明

10、你的结论（河南省中考试题）12.如图， ABC中, AB= 3 3, AC= 4 4, BC= 5 5, ABD ACE BCF都是等边三角形,求四边形AEFD勺面积. .（山东省竞赛试题）D MCE EB级1.1.如图，已知 ABCD平行四边形， E在AC上，AE= 2 2EC F在AB上，BF= 2 2AF,如果 BEF的面积为2 2 cm2，则口 ABC的面积是 _. .第1 1题（“希望杯”竞赛试题）2.2.如图，已知 P为矩形 ABCD内一点，PA= 3 3, PD-4 4, PC= 5 5,贝U PB=_第2 2题（山东省竞赛试题）3.3.如图，在矩形 ABCDK AB= 6cm,

11、6cm, BC= 8cm,8cm,现将矩形折叠，使 B点与D点重合，则折痕EF长为 _（武汉市竞赛试题）4.4.如图，在矩形ABCD中, AB= 8 8, BC= 4 4,将矩形沿AC折叠，使点D落在点D处，CD交AB于点F,则重叠部分 AFC的面积为 _. .（山东省竞赛试题）5.5.如图，在矩形 ABCD中，已知 AD= 1212, AB= 5 5, P是AD边上任意一点， PEL BD于 E,PF丄AC于F,那么PHPF的值为 _. .（全国初中数学联赛试题）6.6.如图，菱形 ABCD勺边长为4 4 cmcm，且/ ABC= 6060, E是BC的中点，P点在BD上,则PE+PC勺最小

12、值为_. .A AD D（“希望杯”邀请赛试题）7.如图， ABC的周长为2424, M是AB的中点，MC= MA= 5 5,则厶ABC的面积是（）A.A. 3030 B.B. 2424 C.16C.169.如图，已知/ A=Z B, AA,PR , BB 均垂直于 AE , AA = 1717, PR = 1616, BB1（全国初中数学联赛试题）8.如图，口ABCD中，/ ABC= 7575, AF丄 BC于 F, AF交 BD于 E,若 DE= 2 2AB 则/ AED的大小是（）A.A. 6060 B.B. 6565=2020 , A1B1 = 1212,则 AP+PB勺值为（）A.A

13、. 1515 B.14B.14 C.C. 1313（全国初中数学联赛试题）10.如图1 1, ABC是直角三角形，/ C= 9090,现将 ABC补成矩形，使 ABC的两个 顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形 ACB刖矩形AEFB（如图2 2）. .第8 8题B B1解答问题：(1) 设图2 2中矩形ACB和矩形AEFB勺面积分别为 &，则0_S, (填 “”、“=”或 “V”). .(2) 如图. ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 _个，利用图3 3画出来. .(3) 如图4 4, ABC是

14、锐角三角形且三边满足 BCACAB,按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 _个，禾U用图4 4画出来. .(4) 在(3 3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么( (陕西中考试题) )11.四边形 ABCD中, AB= BC= CD= DA / BAD= 120120 M为 BC上一点，N 为 CD上一点. .求证：若厶AMNT个内角等于 6060,则厶AMt为等边三角形. .图3 312.如图，六边形 ABCDEFF, AB/ DE BC/ EF, CD/ AF,对边之差 BC- EF= ED- AB =AF CD 0.0.求证：该六边形的各角相等.（全俄数学奥林匹克

15、试题）专題H 平行四边降、矩聘.蔓形胸】阳1 例2 A只有赴題止确.钥3 ：1匚启味节匹三常带握奉M由厶和 WG为任三确畴可证明也口&8止碍| HE 二丹斤/DRFN上（箱巨7ZP5C - ZCBF + ZDBF- ZDBE 十/晦 即 也尸一&匚搖丄nb为錚辿三甫形（册诜甜:“出=启尸二口屛HJflhiS二晋#.当ME丄AU时*右倉小值詹/!f =x（yl）- ?A4噹h HE专冲舟直曲才*有日虫值K匕=jX 2s =I, A :打碗JI侧4 槻債】Pr-EFPJ3.也匚PB=15.十WFFC=45 旳 -/GFR =XB尸门，町旺明 ACf/J ADPHIW5 略（45（；P6i/ 如垂

16、JLfe AH=Wr连DH, JN AAHD是等边二 W.VA/i AU DF. AflH-CiF.XXBHD-ZGFD- 50OH DF+丄乙1出戸弐厶DCF丄肺册一乙真:DC ADB - DP At)C (ZADB+ZW3 - 1201 Gflc 一 MJ険乐如图.it财柞磁蛊臣讥蜂AAJEX 沁行團边船*待3EL AM，Mi：丄BTR丁 VE二也/EMH - zSVTA二90MTQ二匚EEMI jAVU得 ME=.W= XLZ1=Z2. Z3=Z4.TZH ZJ90T二a+丄4盹且 BE-N.； SEN为寻搀工角三角形,ZWE= 4 VAW#.VEf AyBPJW ZHM 询t中規.连站

17、比. RF R -M.* 轴 豪酝r餐蜡M.JUdVWMfB.MKF対等 边三角脱 J. C . B 7. D氐二規无童工腎捌为也、BC屮点，臥召令条蒂咐【取它十.只有戸艸塩書靠中就辛岀四 边需AflCD总爭石餌曲稱的有肌下9科怖形這勺虚* : *7!X I 07?； I T；打 Z)| 4 I U | :j it ； j rj 如馭m 撬啊 G)h u为喊 申点isr書厘龜乩li- -itii 5i疔上也.可 uSAA/Tr 邛春覆立箱r用瞎.11, C 鼻诵trti&lfiCVklDHF.比冲乙Eff(5Mr 口尸/i，.W Ef 八口故iq曲坯/lEFB为冒齐 闻刼 AZBAC- W H

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