(课标通用)高考数学一轮复习不等式选讲学案理选修45

1、选修4 - 5不等式选讲考纲展示？1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简 单的绝对值不等式.2 .掌握 | ax+ b| w c, | ax+ b| c, | x a| + | x b| c 型不等式的解法.3 了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它 们证明一些简单不等式.考点1含绝对值不等式的解法第册顾根底1.绝对值三角不等式(1) 定理1：如果a, b是实数，那么|a+ b| w 当且仅当 时，等号成立;性质：|a| | b| w| a b| 0(3)| a b| +1 b c|(a b)( b c) 02 .绝对

2、值不等式的解法(1) 含绝对值的不等式| x| a的解法不等式a0a= 0a0|x| aR(2) | ax+ b| w c( c0)和 | ax+ b| c( c0)型不等式的解法 | ax+ b| w c? ； | ax+ b| c? .(3) | x a| +1 x b| c(c0)和 | x a| +1 x b| w c( c0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法求解，表达了分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，禾U用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想.答案：(1) x| axa，或 x c 或 ax+ b5.解解法一

3、：如图，设数轴上与一 2,1对应的点分别是 A, B,那么不等式的解就是数轴 上到 代B两点的距离之和不小于 5的点所对应的实数.显然，区间 2,1不是不等式的解 集把A向左移动一个单位到点 A,此时| AiA| + | AB = 1+ 4= 5.把点B向右移动一个单位到 点B,此时| BA| + | BB = 5，故原不等式的解集为一R, 3 U 2 , +.Ax AB BI _4-3-2-|01234解法二：原不等式|x 1| + |x + 2| 5 ?xw 2, 2x5 x 1 + x+ 25x 1,或x 1 + x + 2 5,解得x2或xw 3,原不等式的解集为(一R, 3 U 2

4、,+). 解法三：将原不等式转化为|x 1| + | x + 2| 50 .令 f(x) = | x 1| + |x+ 2| 5,2x 6, xw 2,那么 f (x) = 2, 2x 1.作出函数的图象如下图.由图象可知，当原不等式的解集为(8, 3 U 2 ,+).点石成金形如| x a| + | x b| c(或w c)型的不等式主要有三种解法:(1) 分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(, a , (a, b, (b,+8)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上到点xi = a和X2= b的距离之和大于c的全体；(3) 图象法：作出函数 yi=|x a| + | x

5、 b|和y2= c的图象，结合图象求解.第風步跟踪训练x解不等式 |x+ 3| |2x 1| 2 + 1.解：当x 3时，x 原不等式化为一(x+ 3) (1 2x) 2+ 1,解得 x 10, x 3.1 当一3 x 2时，x原不等式化为(x+ 3) (1 2x) 2+ 1, e2解得x 2时，x原不等式化为(x+ 3) (2x 1) v 2+ 1,解得 x2,. x2.2综上可知，原不等式的解集为xx2.5考点2含参数的绝对值不等式问题第研典题 2 函数 f(x) = |2 x 1| + |2 x+ a| , g(x) = x+ 3.(1) 当a= 2时，求不等式f (x) 1,且当x ,

6、 2时，f (x) w g( x)，求a的取值范围.解 当 a= 2 时，不等式 f (x) v g(x)化为 |2x 1| + |2x 2|设函数 y= |2 x 1| + |2 x 2| x 3,x 3 v 0.15x, x1,原不等式的解集是x|0 v xv 2.(2) - a 1,那么|v2 f(x) = |2x 1| + |2x + a|a-4x +1 - a x- 2 ,a 1=a+ 1 x 2 .a 1,当 x 2，2 时，f (x) = a+ 1,a 1即a+1m的解集是空集，那么f (x) w m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x) va恒

7、成立? a f ( x) max, f ( x) a 恒成立? av f ( x) min.第因步跟踪训练 练全题点提技能不等式|x + 1| |x 3| a,分别求出以下情形中 a的取值范围：(1) 不等式有解；(2) 不等式的解集为R;(3) 不等式的解集为?.解：解法一：因为|x + 1| | x 3|表示数轴上的点 P(x)与两定点A( 1) , B(3)距离的差，即|x + 1| |x 3| = | PA |PB.由绝对值的几何意义知，I PA | PB的最大值为| AB = 4,最小值为一 | AB| = 4,即一4W| x+ 1| |x 3| w4.(1) 假设不等式有解，a只要

8、比| x+ 1| | x 3|的最大值小即可，故 av4.(2) 假设不等式的解集为 R,即不等式恒成立，只要a比| x+ 1| | x 3|的最小值还小，即 av 4.(3) 假设不等式的解集为？，a只要不小于|x+ 1| |x 3|的最大值即可，即 a4.解法二：由 |x + 1| |x 3| w| x+ 1 (x 3)| = 4, |x 3| | x + 1| w |( x 3) (x+ 1)|=4,可得一4W| x + 1| - | x- 3| 4.考点3不等式的证明方法顾根底1. 根本不等式定理1：设a, b R,那么a2+ b2?2ab,当且仅当a= b时，等号成立.a + b j

9、定理2：如果a, b为正数，那么一厂 ab,当且仅当a= b时，等号成立.定理3：如果a, b, c为正数，那么吐产 3 abc,当且仅当a= b= c时，等号成立.定理4 ：( 一般形式的算术一几何平均不等式)如果ai, a2，an为n个正数，那么 ai + 比 + + an n aia2an,当且仅当 ai= a2= an时，等号成立.n2 .不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1) 比拟法 求差比拟法ab? a- b0, ab? a- bb，只要证明 即可，这种方法称为求差比拟法. 求商比拟法ab0? a1且a0, b0,因此当a0, b0时

10、要证明ab,只要证明即可，这种b方法称为求商比拟法.(2) 分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 ，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因的证明方法.(3) 综合法从条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.(4) 反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式 的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否认假设，从而 证明原不等式成立.答案：a b0al (2)充分条件相反第包步师生舸典题 3设 a, b, c0,且 ab+

11、 bc+ ca= 1.求证:(1) a+ b+ O , 3；点+ ,ac+a 3( a+ b+.c).证明要证a + b+ c3, 2由于a, b, c0,因此只需证明(a+ b+ c) 3.2 2 2即证 a + b + c + 2(ab+ bc+ ca)?3,而 ab+ bc+ ca= 1,2 2 2故需证明 a + b + c + 2( ab+ bc + ca) 3( ab+ bc+ ca). 即证 a + b + c?ab+ bc+ ca.2 .2 .2 2 2 2而这可以由a= b= c时等号成a + b b + c c + a 222, ab+ bc+ caw + 厂 + 2 =

12、a + b + c (当且仅当立)证得.原不等式成立.a+ b+ c由于(1)中已证a+ b+ c 3,；abc因此要证原不等式成立，只需证明即证 a , bc+ b , ac+ c , abw 1, 即证 a . bc+ b , ac+ c , abw ab+ bc+ ca.而 a bc= ab acwab+ acab+ beb acw2，e ab cd,那么；a+ b :c + d;(2) a+、:b :c + ,:d是| a b| v|c d| 的充要条件.证明： 因为(，:a+ : b) 2= a+ b+ 2 ab, ( :c + ,d)2 = c + d+ 2 cd,由题设 a+ b

13、= c + d, abcd,得(：a+ -b)2 ( c + ,d)2.因此a+ -b :c+ :d.(2)假设 | a b| v|c d|，那么(a b)2v(c d)2,22即(a+ b) 4abv (c+ d) 4cd.因为 a+ b= c + d,所以 abcd.由(1)，得；a+ b :c + ,d.假设：a+ -b c+ :d,那么(；a+ ;b)2( :c + :d)2,即 a+ b+ 2 abc+ d+ 2：cd.因为a+ b= c + d,所以abcd,于是2 2 2 2(a b) = (a+ b) 4abv(c + d) 4cd= (c d).因此 | a b| v | c

14、 d|.综上，,a+，:b ,c+ .：d是| a b| v | c d| 的充要条件.第gj步课堂归纳 方法技巧1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如| x a| + | x b| m或| x a| + | x b| 1的解集x 4, xw 1 ,解：f (x)=3x 2,12,y = f(x)的图象如下图.(2)由f (x)的表达式及图象知，当f (x) = 1时，可得x= 1或x= 3;1当f (x) =- 1时，可得x= 3或x= 5.故 f (x)1 的解集为x|1x3

15、;了(左)1的解集为北工 5/ V* 或 1Vh3 或工52. 2021 新课标全国卷川函数f (x) = |2x-a| + a.(1)当a= 2时，求不等式f (x) 3,求a的取值范围.解：当 a= 2 时 f(x) = |2x 2| + 2.解不等式 |2x 2| + 2W6 得K x 3.因此f (x) 6的解集为x| K x |2 x a+1 2x| + a=|1 a| + a.所以当x R时,f (X) + g(x) 3 等价于 |1 - a| + a3.当awl时，等价于1 -a+ a3,无解.当a1时，等价于 a- 1 + a3,解得a2.所以a的取值范围是2 ,+).aa3.

16、 2021 江苏卷设 a0, |x- 1| v-, |y-2| v3，求证：|2 x+ y-4| v a.33aa证明：因为 |x- 1|3，|y-2|3，所以 |2x + y-4| = |2( x- 1) + (y-2)|a aw 2|x - 1| + |y - 2|2 x 3 + 3= a.一 1 14. 2021 新课标全国卷n 函数f (x) = x-+ x + -, M为不等式f (x)2的解集(1)求 M证明：当 a, b M时，|a+ b|1 + ab|.12x, x w- ,1 1(1)解：f (x) =1,- 2x .1当 x w- 2时，由 f (x)2 得一2x- 1;1

17、1当2x2时，f(x)0,无解;当一1 v x v 1时，不等式化为 3x 2 0, e 2解得3V x v 1;当x1时，不等式化为一x + 20,解得1w x v 2.2所以f(x) 1的解集为x 3x2.(2)由题设可得，x 1 2a，xa.2a 1所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A亍,0 ,政2a+ 1,0),a a, a+ 1),2 2 ABC的面积为3(a+1)2.2 2由题设得3(a+ 1) 6，故a2.所以a的取值范围为(2 ,+R).-课外拓展阅读_绝对值三角不等式的应用应用绝对值三角不等式| a| | b| w| a 土 b| 不等式求最值解|x 1

18、| + |x + 1| = |1 x| + | x + 1| |1 x + x + 1| = 2,当且仅当(1 x)( x + 1) 0,即1 xwi时等号成立.故当一1 x1时，函数f (x) = | x 1| + | x + 1|取得最小值2.温馨提示(1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件.1 1典例 2 x, y R,且 | x + y| w, |x y| a恒成立，求a的取值范围.思路分析将同题转化为求 解不等式左边式 子的最小值利用绝刘值三角不等式 求解可得口的 取值范围解析 因为a| x +1| | x2|对任意实数x恒成立，所以 a(| x + 1| | x 2|) min.因为 II x + 1| |x 2| w |( x+ 1) (x 2)| = 3, 所以3w| x+ 1| |x 2| W3 .所以