2021-2021学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末复习课新人教A版选修1-2

1、金版学案】 2021-2021 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课 新人教 A 版选修 1-2整合网络构建警示易错提醒1. 复数代数形式为 z = a+ bi , a、b R,应用复数相等的条件时，必须先将复数化成 代数形式2. 复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z = a+ bi a、b R. z为纯虚数的条 件为a= 0且0,注意虚数与纯虚数的区别.3. 不要死记硬背复数运算的法那么,复数加减可类比合并同类项,乘法可类比多项式乘 法,除法可类比分母有理化.2 2 2 24. a 0是在实数范围内的性质，在复数范围内z 0不一定成立，|z|丰z .5复数与平面向量相

2、联系时，必须是以原点为始点的向量.6不全为实数的两个复数不能比拟大小.7.复平面的虚轴包括原点.专题一复数的概念解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的根本策略，“桥梁是设z = x+ yi( x, y R)，依据是“两个复数相等的充要条件.例1(1)i是虚数单位，假设(m i) 2= 3-4i，那么实数m的值为()A. 2B. 土 2C. 土 2D. 2(2)满足方程x2 2x 3 + (9y2 6y + 1)i = 0的实数对(x, y)表示的点的个数是2 2解析：(1)( m+ i) = m + 2ni 1 = 3 4i ,吊一1 = 3,那么所以m= 2.x = 3或一 1,

3、2m= 4,2x 2x 3 = 0,2所以9y 6x + 1= 0,1 1所以点(x, y)为 3, 3 , 1, 3 .答案：(1)A(2)2个归纳升华1 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当x + yi没有说明x, y R时，也要分情况讨论.2 复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，表达了转化与化归的思想.1 + ai变式训练设i是虚数单位，复数为纯虚数，那么实数 a的值为()2 i1 1A. 2 B - 2 C .二 D.-2 21 + ai(1 + ai ) ( 2 + i )2 a+( 2a + 1) i解析：=

4、，由于该复数为纯虚数，所以 22 i (2 i )( 2 + i )5a= 0，且 2a+ 1工0,因此 a= 2.答案：A专题二 复数的四那么运算及几何意义历年高考对复数的考查， 主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上， 熟练掌握复数的乘法法那么和除法法那么，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键.复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行.11 i 2例 2(1)设 z=市 + i + 市，那么 |z| =2i(2)在复平面内，复数z=(i为虚数单位)的共轭复数二对应点为A,点A关于原点O的对称点为B,求： 点A所在的象限； 向量AB寸应的复数.1

5、1 i1 i解析：因为审+ i = 丁 +i =尹2.1 - i 2- 2i 221 + i =2=( - 一1.1 i1i所以 2=+ 1 = c+c.2 222因此 izi = 22+ 2 2= 22.答案：字- 2i2i (1 i ) 解:z= 1 + i =( 1 + i)( 1 i)= 1 + i，所以z的共轭复数N = 1 i ,所以点A(1 , 1)位于第四象限.又点A，B关于原点0对称.因为点B的坐标为B( 1, 1)，贝U Zb= 1 + i所以向量AB寸应的复数为zb za= ( 1 + i) (1 i) = 2+ 2i.归纳升华复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点

6、，在四那么运算时，不要死记结论对 于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形 式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行.另外，在计算时也要注意下面结论的应用：2 2 2 2 2(1) ( a b) = a 2ab+ b .(2)( a+ b)( a b) = a b .2.11 + i1 i(1 i) =2i.(4) = i.(5)= i ,=i1 i1 + i(6) a+ bi = i( b ai).变式训练 假设a, b R, i是虚数单位，且a+ (b 1)i = 1 + i，贝U在()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限复数15

7、5i 一Z1= 2 3i，Z2= (2 + i ) | z| 1? z -. z R?丨-；|= z. z丰0, z为纯虚数？空=乙例3为纯虚数，且(z + 1)(丨+ 1) | z| 2，求复数z.解：由(z+ 1)(:r +1) = |Z|2?Z + z = 1.z 1由于为纯虚数，Z+ 1，那么口 Z2 =解析：(1)由 a+ (b 1)i = 1 + i , a, b R, 得 a = 1 且 b 1 = 1，所以 a= 1，且 b= 2.1+ bi1 + 2i i ( 1 + 2i )因此=2 i.aii( i ) i所以复数对应点(2 , 1)在第四象限.(2) 由 Z1 = 2

8、3i，贝那么二11= 2+ 3i又Z2 =15 5i 15 5i (15 5i )( 3 4i )25 75i2 (2+ i )3 + 4i (3 + 4i )( 3 4i )251 3i.故=1 Z2 (2 + 3i ) (1 3i) 2 6i + 3i + 9 11 3i.答案：(1)D(2)11 3i专题三共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时,普对应的点除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用以下结论简化解题过程：所以注+)1=?：1=.设z = a+ bi( a, b R)，代入得1 2 2a= 2, a + b = 1.1y3所以 a=

9、 2, b= 2 .所以z= 1 土誓.归纳升华共轭复数的性质(1) 在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称. 实数的共轭复数是它本身，即z = z? Z R,利用这个性质可证明一个复数为实数.(3)假设ZM0且z+ z = 0,那么z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.1 + 2i变式训练(1)设z= ( 1 i)2，贝U z的共轭复数z =假设复数z满足(3 4i) z = |4 + 3i|，贝U z的虚部为()44A. 4 B . 5 C . 4 D. 5解析：1 + 2i1 + 2i(1 + 2i ) ii(1)z= (1 i ) 2= 2i =2= 1 + 2，所以

10、z的共轭复数z = 1 ；(2) 由于(3 4i) z= |4 + 3i| = 5,所以z =53- 4i5(3 + 4i)= 3 + 4i(3 4i )( 3 + 4i )55因此z的虚部为4.5.i答案：1 2 (2)D专题四数形结合思想复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分表达了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题.熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题.例4复数z的模为1,求|z 1 2i|的最大值和最小值.解：因为复数z的模为1,所以z在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上.又|

11、z 1 2i| = |z (1 + 2i)|可以看成圆上的点 Z到点A(1 , 2)的距离，如下图.所以 |z 1 2i| min = | AB| =| 0A | 0B =*-5 1, |z 1 2i| max=|AC| = |0A + | 0(P = 5+ 1.归纳升华1 复数的几何意义主要表达在以下三个方面： 复数z与复平面内的点 Z及向量0Z勺一一对应关系；(2) 复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；(3) 复数z= zo模的几何意义.2复数中数形结合的主要应用：(1) 复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化.(2) 利用| z zo|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求| z|的最值.变式训练设z C,且满足以下条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？(1) 1l z|2 ；(2) | z i| = 1 ；(3) | z 1| = |z 1 + i|.解：(1)设 z = x+ yi( x, y R)，那么 | z| =“Jx2+ y2.由题意 1寸x2+ y22,即 1x2 + y24.所以复数z对应的点Z的集合是以原点 0为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环， 不包括边界.(2) 根据模的几何意义，|z i| = 1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0 , 1)的距 离为