控制测量学椭球面上的测量计算

1、第七章第七章 椭球面上的测量计算椭球面上的测量计算地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算大地线大地线将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球 将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算 大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式 7-1地球椭球的基本几何参数及地球椭球的基本几何参数及相互关系相互关系1.地球椭球的基本几何参数地球椭球的基

2、本几何参数 椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： aba(椭圆的第一偏心率： abae22椭圆的第二偏心率： bbae22 五个基本几何参数五个基本几何参数 a、b称为长度元素称为长度元素扁率反映了椭球体的扁率反映了椭球体的扁平程度扁平程度 e和和e反映椭球体的扁平程反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈度，偏心率越大，椭球愈扁扁 克拉索夫斯基椭球1975国际椭球WGS-84系椭球a637824563781406378137b6356863.01877304736356755.28815752876356752.3142c6399698.90178271106399596.651

3、98801056399593.62581/298.31/298.2571/298.257223563e20.0066934216229660.0066943849995880.0066943799013e20.0067385254146830.0067395018194730.00673949674227我国所采用的的我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而国际椭球参数；而GPS应用的是应用的是WGS-84系椭球参系椭球参数。数。 由

4、前面式子得：eaba2222 eabb2222 1222eba 1222eab并得： ()( )11122ee 推得： eee2221 eee2221同理可得：abebae1122 caeace1122 eeeeee1122221 1eVWeWVe22222.地球椭球参数间的相互关系地球椭球参数间的相互关系 7-2椭球面上的常用坐标系及椭球面上的常用坐标系及其相互关系其相互关系 1.常用的四种坐标系常用的四种坐标系 大地坐标系、大地坐标系、空间直角坐标系（大地测量中两种基空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）、本坐标系）、子午平面直角坐标系子午平面直角坐标系大地极坐标系大地极坐标系 大地坐

5、标系大地坐标系 P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示 空间直角坐标系空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示 子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示 大地极坐标系大地极坐标系 M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，

6、S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。 各种坐标系间的关系各种坐标系间的关系 子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系xaBeBaBWcossincos122 (e)yaeBeBaWeBbBV()sinsin()sinsin1112222 ( f）（e）、（f）两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系yZLxYLxXsincos空间直角坐标系与大地坐标系的关系 BHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sinc

7、os)(coscos)(2La rc tgYXZBNeYXctgBYXBNeZtgBcossin222222或NBYXHeNBZHcos)1(sin2227.3椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 子午圈曲率半径子午圈曲率半径MaeW()123MMaeceaeMcMaec022329021111()( )()B说说 明明B=0（在赤道处）0B90B=90（在极点处）M小于赤道aM随B的增大而增大M等于极点曲率半径卯酉圈曲率半径 NaWaN 0BN说明B=00卯酉圈变为赤道00BR M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即： NRMc9090907.4 椭球面上的弧长计算椭球

8、面上的弧长计算1.子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式BCBBBAeaX4sin42sin2)1(22.平行圈弧长公式平行圈弧长公式 cos lBNS3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较B 1B子午线弧长平行圈弧长11l=1110153045607590110576m1106561108631111431114231116251116961842.941844.261847.711852.391857.041860.421861.6030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.027111321m10755296488788485580128902036m17

9、92.541608.131314.14930.02481.710.00923 29.87626.80221.90215.5008.0280.0007.5大地线 1.相对法截线 假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面法截面。用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线反法截线；同理，由B照A点，则照准面同椭球面的截线为，叫做B点的正法截线正法截线，或A点的反法截线。因法互不相交，故和这两条法截线不重合。我们把和叫做A、B两点的相对法截线相对法截线。 2大地线的定义和性质 椭球面上两点间的最短曲线叫做大

10、地线。在微分几何中，定义为“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间的曲面曲线。大地线是两点间唯一最短线，大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：间的夹角为： 133大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程 dBAMdScosdSBNAdlcossintgBdSNABdlNctgBBdlNPTrdldAsinsincos1221sinsinAArr大地线微分方程大地线微分方程: 利用这个关系式可以检查纬度与方利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确性

11、位角计算的正确性 7.6将地面观测的方向值归算到椭球面 1将地面观测的水平方向归算至椭球面-三差改正 1)cossin(ctgZAAmmu 1)cossin(tgAAmm垂线偏差的计算公式垂线偏差的计算公式 标高差改正的计算公式标高差改正的计算公式 1222222sincos) 1 (2ABHe 11221222sincos)2(12ABSeg 截面差改正计算公式 2将天文方位角归化为大地方位角-起始方位角 sin)(LA该式又称为拉普拉斯方程式，大地方该式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点上观测天文经度

12、、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点叫拉普拉斯点 3观测天顶距受垂线偏差影响的改正AAzuzzsincos11 11 11 AAzuzzsincos22 22 22 AAusincos 三角高程测量的精度是有限的，若提高其计算精度，必须设法克服大气折光的影响，同时要在天顶观测值中引入垂线偏差改正数 7.7将地面观测的长度归算到椭球面1基线尺量距的归算 )(22122121HHuuhuusu 垂线偏差对长度归算的影响 :)(2)1 (122110HHuuRHSSm 高程对长度归算的影响2电磁波测距的归算 232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS7.8椭球面上三角形的解算1用勒让德尔定理解算球面三角形 301 AA301 BB301 CC 2RF7.9大地主题解算的高斯平均引数公式大地主