控制系统的计算机辅助设计108

1、1 本章内容本章内容(1)利用MATLAB实现串联频率校正串联频率校正的三种方法；(2)利用MATLAB实现系统状态反馈系统状态反馈的两种方法；(3)利用MATLAB实现系统状态观测器系统状态观测器的两种方法；(4)利用MATLAB实现带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统；(5)利用MATLAB实现系统的解耦；(6)利用MATLAB实现状态反馈的线性二次型最优控制器 的设计；(7) 利用MATLAB实现输出反馈的线性二次型的最优控制。 第第8章章 控制系统的计算机辅助设计控制系统的计算机辅助设计2并联校正并联校正 E(s) C(s) R(s) + - G(s) 固有特性 E(s

2、) C(s) R(s) Gc(s) + - G0(s) + - 固有系统 校正装置 )()(1)()(00sGsGsGsGc局部闭环传函局部闭环传函 优点：高灵敏度优点：高灵敏度 高稳定度高稳定度3)(L20-60-40-2060400.0010.110.01-80-40-20-40820) 105. 005. 0)(1125. 0)(110() 1100(10)(22223sssssssGK420lgK0dB0-180L()()cLgcg5 控制系统的设计，就是在系统中引入控制系统的设计，就是在系统中引入适当的环节，用以对原有系统的某些性能适当的环节，用以对原有系统的某些性能进行校正，使之达

3、到理想的效果，故进行校正，使之达到理想的效果，故又称又称为系统的校正为系统的校正，下面介绍几种常用的系统，下面介绍几种常用的系统校正方法的计算机辅助设计实现。校正方法的计算机辅助设计实现。68.1 频率法的串联校正方法频率法的串联校正方法 应用频率法对系统进行校正，其目的是改应用频率法对系统进行校正，其目的是改变系统的频率特性形状，使校正后的系统频变系统的频率特性形状，使校正后的系统频率特性具有合适的低频、中频和高频特性以率特性具有合适的低频、中频和高频特性以及足够的稳定裕量，从而满足所要求的性能及足够的稳定裕量，从而满足所要求的性能指标。指标。控制系统中控制系统中常用的串联校正装置常用的串联

4、校正装置是带有是带有单单零点与单极点零点与单极点的滤波器，若其的滤波器，若其零点比极点更零点比极点更靠近原点，靠近原点，则称之为则称之为超前校正超前校正，否则称之为，否则称之为滞后校正。滞后校正。78.1.1 基于频率响应法的串联超前校正基于频率响应法的串联超前校正1.超前校正装置的特性超前校正装置的特性设设超前超前校正装置的传递函数为校正装置的传递函数为其频率特性为其频率特性为) 1(11cTsTssG）（) 1(j1j1jcTTG）（jT1T1图8-1 超前校正装置的零极点图o8(1) 极坐标图极坐标图 超前校正装置的极坐标图如超前校正装置的极坐标图如图图8-2所示。所示。 当当0变化时，

5、变化时，Gc(j)的相位角的相位角 0，Gc(j)的轨迹的轨迹为一半圆，由图可得超前校正为一半圆，由图可得超前校正的最大超前相位角的最大超前相位角m为为 (8-3) 令令 可得对应于最大相位角可得对应于最大相位角m时时的频率的频率m为为11sin1m0d)(dT1mj01)0(图8-2 超前校正装置的极坐标图m9(2) 对数坐标图对数坐标图 超前校正装置的对数坐标图如超前校正装置的对数坐标图如图图8-3所示。所示。 当当 由此可见，由此可见，超前校正装置超前校正装置是一是一个个高通滤波器高通滤波器(高频通过，低高频通过，低频被衰减频被衰减),它主要能使系统的它主要能使系统的瞬态响应得到显著改善

6、瞬态响应得到显著改善，而稳，而稳态精度的提高则较小。态精度的提高则较小。越大，越大，微分作用越强微分作用越强，从而超调量和，从而超调量和过渡过程时间等也越小。过渡过程时间等也越小。0|j|lg20, 0c）（Glg20|j|lg20,c）（Glg10|j|lg20,cm）（GT1T10lg10lg20L( )dB0mm图8-3 超前校正装置的对数坐标图m102.串联超前校正方法串联超前校正方法 超前校正超前校正装置的主要作用是通过其装置的主要作用是通过其相位相位超前超前效应来改变频率响应曲线的形状，效应来改变频率响应曲线的形状，产产生足够大的相位超前角生足够大的相位超前角,以补偿原来系统中以补

7、偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。因此校正时元件造成的过大的相位滞后。因此校正时应使校正装置的应使校正装置的最大超前相位角出现在最大超前相位角出现在校校正后正后系统的开环剪切频率系统的开环剪切频率(幅频特性的交接幅频特性的交接频率频率)c处处。11利用频率法设计超前校正装置的步骤利用频率法设计超前校正装置的步骤:(1)根据性能指标对根据性能指标对稳态误差稳态误差系数的要求系数的要求,确定确定开环增益开环增益k；(2)利用确定的开环增益利用确定的开环增益k，画出，画出未校正未校正系统的系统的Bode图，图，并求出其并求出其相位裕量相位裕量r0和幅值裕量和幅值裕量kg；(3)确定为使相位裕量达

8、到要求值，所需增加的超前相位确定为使相位裕量达到要求值，所需增加的超前相位角角，即，即r -r0+.式中式中 r为要求的相位裕量，为要求的相位裕量，是考是考虑到系统增加串联超前校正装置后系统的剪切频率要向虑到系统增加串联超前校正装置后系统的剪切频率要向右移而右移而附加的相位角附加的相位角，一般取，一般取=5 15 ；(4)令超前校正装置的最大超前相位角令超前校正装置的最大超前相位角=，则由下式，则由下式可可求出求出校正装置的参数校正装置的参数；ccsin1sin112(5)若将校正装置的最大超前相位角处的频率若将校正装置的最大超前相位角处的频率作为作为校正后系统的剪切频率校正后系统的剪切频率，

9、则有，则有即即或或由此可见，由此可见，未校正系统未校正系统的的对数幅频对数幅频特性幅值等于特性幅值等于-20lg（-10lg ）时的频率即为时的频率即为c；0| )(j)(j|lg20coccGGlg20| )(j|lg200| )(j|lg20lg20ococGG1| )(j|coG13(6) 根据根据=c，利用下式，利用下式求参数求参数T(7) 画出校正后系统的画出校正后系统的Bode图，图，检验检验性能指性能指标是否已全部达到要求，若不满足要求，标是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大可增大值，从第三步起重新计算。值，从第三步起重新计算。c1T14例例8-1 设有一单位反馈系统，其开环

10、传递函数为设有一单位反馈系统，其开环传递函数为要求系统的稳态速度误差系数要求系统的稳态速度误差系数kv=20(1/s),相位裕量相位裕量 r50度度,幅值裕量幅值裕量kg10dB,试确定串联校正装置试确定串联校正装置解解 根据根据可求出可求出k =40，即，即 根据串联超前校正的设计步骤，可编写以下根据串联超前校正的设计步骤，可编写以下m文件。文件。ex8_1.m202)2(lim)(lim000kssksssGkssv)2(40)(0sssG)2()(0ssksG15执行后可得如下结果及图执行后可得如下结果及图8-4所示曲线所示曲线num/den = 0.22541 s + 1 - 0.05

11、3537 s + 1num/den = 9.0165 s + 40 - 0.053537 s3 + 1.1071 s2 + 2 s 校正前：幅值裕量校正前：幅值裕量=Inf dB,相位裕量相位裕量=17.9642 校正后：幅值裕量校正后：幅值裕量=Inf dB,相位裕量相位裕量=50.7196 16 图图8-4 超前校正装置及校正前后系统的伯德图超前校正装置及校正前后系统的伯德图178.1.2 基于频率响应法的串联滞后校正基于频率响应法的串联滞后校正 1.滞后校正装置的特性滞后校正装置的特性 设滞后校正装置的传递设滞后校正装置的传递函数为函数为其频率特性为其频率特性为) 1(11cTsTssG

12、）（) 1(j1j1(jcTTG）图8-5 滞后校正装置的零极点图jT1T1o18（1）极坐标图）极坐标图 滞后校正装置的极坐标图滞后校正装置的极坐标图如图如图8-6所示。由图可知，所示。由图可知，当当=0变化时，变化时，Gc(j)的相位角的相位角0，Gc(j)的根的根轨迹为一半圆。轨迹为一半圆。 同理可求得同理可求得最大滞后相最大滞后相位角位角和对应的频率和对应的频率分别为分别为11sin1mT1m11)(0j0m图8-6 滞后校正装置的极坐标图19（2）对数坐标图）对数坐标图滞后校正装置的对数坐标图如图滞后校正装置的对数坐标图如图8-7所示所示由此可见，由此可见，滞后校正滞后校正装置是一个

13、装置是一个低低通滤波器通滤波器（低频通过，高频被衰（低频通过，高频被衰减），且减），且越大，越大，高频衰减高频衰减越厉越厉害，抗高频干扰性能越好，但使响害，抗高频干扰性能越好，但使响应速度变慢，故滞后校正能使稳态应速度变慢，故滞后校正能使稳态得到显著提高，但瞬态响应时间却得到显著提高，但瞬态响应时间却随之而增加，随之而增加，越大，积分作用越越大，积分作用越强，稳态误差越小强，稳态误差越小。0|lg20, 0c）（jGlg20|lg20,c）（jGlg10|lg20,cm）（jGlg20lg10T1T1mmdB00)(L图8-7 滞后校正装置的极坐标图m202.串联滞后校正方法串联滞后校正方法

14、滞后校正装置的主要作用是在滞后校正装置的主要作用是在高频段造成幅值衰减高频段造成幅值衰减，降低降低系统的系统的剪切频率剪切频率，以便能使系统获得充分的相位裕，以便能使系统获得充分的相位裕量，但应同时保证系统在新的剪切频率附近的相频特性量，但应同时保证系统在新的剪切频率附近的相频特性曲线变化不大。曲线变化不大。利用频率法设计滞后校正装置的步骤利用频率法设计滞后校正装置的步骤:（1）根据性能指标对）根据性能指标对稳态误差稳态误差系数的要求，确定系数的要求，确定开环增开环增益益k；（2）利用已确定的开环增益）利用已确定的开环增益k，画出未校正系统的，画出未校正系统的Bode图，图，并求出其相位裕量并

15、求出其相位裕量r0和幅值裕量和幅值裕量kg；21（3）如）如未校正系统未校正系统的相位和幅值裕量不满足要求，的相位和幅值裕量不满足要求，寻寻找一新的剪切频率找一新的剪切频率c，在，在c处开环传递函数的相位角处开环传递函数的相位角应满足下式应满足下式 Go(jc)= -180+ r + 式中式中 r为要求的相角裕量，为要求的相角裕量，是为补偿滞后校正装置的是为补偿滞后校正装置的相位滞后而附加的相位角，一般取相位滞后而附加的相位角，一般取=5 12 ； (4) 为使为使滞后校正装置对系统的滞后校正装置对系统的相位滞后影响较小相位滞后影响较小（一（一般限制在般限制在5 12 ），），m应远离应远离c

16、，一般取滞后校正装，一般取滞后校正装置的第一个交接频率：置的第一个交接频率：1=1/T=(1/51/10)c（即（即mc），此时有），此时有|Gc(jc)|=-20lg。1取得愈小，取得愈小，对系统的相位裕量影响愈小，但太小则校正装置的时对系统的相位裕量影响愈小，但太小则校正装置的时间常数间常数T将很大，这也是不允许的；将很大，这也是不允许的；22(5)确定使校正后系统的幅值曲线在新的剪切频确定使校正后系统的幅值曲线在新的剪切频率率c处下降到处下降到0dB所需的衰减量所需的衰减量20lg|Go(jc)|，并根据，并根据20lg |Go(jc)Gc(jc)|20lg |Go(jc)|-20lg=

17、0即即 =|Go(jc)|求求出校正装置的参数出校正装置的参数； (6) 画出校正后系统的画出校正后系统的Bode图，图，检验检验性能指标性能指标是否已全部达到要求，若不满足要求，可增是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大大值，从第三步起重新计算。值，从第三步起重新计算。23例例8-2 设有一单位负反馈系统的开环传递函数为设有一单位负反馈系统的开环传递函数为 要求系统的稳态速度误差系数要求系统的稳态速度误差系数kv=5(1/s)，相位裕量，相位裕量r400，幅值裕量，幅值裕量kg10dB，试确定串联校正装置。，试确定串联校正装置。解解 根据根据可求出可求出k=5，即，即) 125. 0)(1

18、()(0sssksG5) 125. 0)(1(lim)(lim000ksssksssGkssv) 125. 0)(1(5)(0ssssG24根据串联滞后校正的设计步骤，可编写以下根据串联滞后校正的设计步骤，可编写以下m文件。文件。 ex8_2.m25执行后可得如下结果及图执行后可得如下结果及图8-8所示曲线。所示曲线。num/den = 8.3842s + 1 - 59.7135s + 1num/den = 41.9208s+5 - 14.9284s4+74.8918s3+60.9635s2+s校正前：幅值裕量校正前：幅值裕量= -3.8573e-015 dB，相位裕量，相位裕量=7.3342

19、e-006 校正后：幅值裕量校正后：幅值裕量=15.8574dB，相位裕量，相位裕量=40.6552 26图图8-8 滞后校正装置及校正前后系统的伯德图滞后校正装置及校正前后系统的伯德图278.1.3 基于频率响应法的串联滞后基于频率响应法的串联滞后-超前校正超前校正1.滞后滞后-超前校正装置的特性超前校正装置的特性设滞后设滞后-超前校正装置的传递函数为超前校正装置的传递函数为上式等号右边的上式等号右边的第一项第一项产生产生超前超前网络的作网络的作用，而用，而第二项第二项产生产生滞后滞后网络的作用。网络的作用。) 1,(1111G122211cTTsTsTsTsTs）（28(1) 极坐标图极坐

20、标图 滞后滞后-超前校正装置的极超前校正装置的极坐标图如图坐标图如图8-9所示。所示。 由图可知，当角频率由图可知，当角频率在在00之间变化时之间变化时, 滞后滞后-超前校正装置起着超前校正装置起着相位相位滞后校正滞后校正的作用；当的作用；当在在0之间变化时之间变化时,它起它起着着超前校正超前校正的作用，对应的作用，对应相位角为零的频率相位角为零的频率0为为2101TT010mIeR0图8-9 滞后-超前校正装置的极坐标图29（2）对数坐标图）对数坐标图 滞后滞后-超前校正超前校正装置的对数坐装置的对数坐标图如图标图如图8-10所示。从图可所示。从图可清楚看出，当清楚看出，当00时滞后时滞后-

21、超前校正装置超前校正装置起着起着相位滞后相位滞后校正校正的作用；的作用；当当0A=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1; b=1;1;1; rc=rank(ctrb(A,b); p=-1,-2,-3; K=acker(A,b,p)结果显示结果显示K= -1 2 443 对于对于多变量系统的极点配置多变量系统的极点配置，MATLAB控制系统工具箱中也给出了函数控制系统工具箱中也给出了函数place( )，其调用格式为其调用格式为K=place(A,B,P)例例8-5 已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为 求使状态反馈系统的闭环极点为求使状态反馈系统的闭环极点为-2,-3,(-1j3)/2

22、的状态反馈阵的状态反馈阵K。uxx331134029514102033821310140044解解 MATLAB程序为程序为 ex8_5.m执行后得执行后得K= 32.5923 65.6844 58.8332 46.6557 32.5923 65.6844 58.8332 46.6557 55.4594 111.8348 103.6800 81.0239 55.4594 111.8348 103.6800 81.0239452.部分极点配置部分极点配置 在一些特定的应用中，有时没有必要在一些特定的应用中，有时没有必要去对所有的极点进行重新配置，而只需去对所有的极点进行重新配置，而只需对其中若干

23、个极点进行配置，使得其他对其中若干个极点进行配置，使得其他极点保持原来的值，例如若系统开环模极点保持原来的值，例如若系统开环模型是不稳定的，则型是不稳定的，则可以将那些不稳定的可以将那些不稳定的极点配置成稳定的值极点配置成稳定的值，而不去改变那些而不去改变那些原本稳定的极点原本稳定的极点。作这样配置的。作这样配置的前提前提条条件是件是原系统没有重极点原系统没有重极点，这就能保证由，这就能保证由系统特征向量构成的矩阵是非奇异的。系统特征向量构成的矩阵是非奇异的。46 假设假设xi为对应于为对应于i的特征向量，即的特征向量，即A xi =i xi，这样可，这样可以对各个特征值构造特征向量矩阵以对各

24、个特征值构造特征向量矩阵X=x1,x2,xn，由，由前面的假设可知前面的假设可知X矩阵为非奇异的，故可以得出其逆阵矩阵为非奇异的，故可以得出其逆阵T=X-1，且令，且令T的第的第i个行向量为个行向量为Ti，且想把，且想把i配置到配置到i的的位置，则可以定义变量位置，则可以定义变量ri=（i-i）/bi，其中，其中bi为向量为向量Tb的第的第i个分量，这时配置全部的极点，则可以得出状态个分量，这时配置全部的极点，则可以得出状态反馈阵反馈阵 特别地，特别地，若不想对哪个极点进行重新配置，则可以将若不想对哪个极点进行重新配置，则可以将对应的项从上面的求和式子中删除就可以得出相应的状对应的项从上面的求

25、和式子中删除就可以得出相应的状态反馈阵态反馈阵，它能按指定的方式进行极点配置。，它能按指定的方式进行极点配置。niiiTrK147例例8-6对于例对于例8-4所示系统，实际上只有一所示系统，实际上只有一个不稳定的极点个不稳定的极点1,若仅将此极点配置到若仅将此极点配置到-5，试采用，试采用部分极点配置方法部分极点配置方法对其进行。对其进行。解解 MATLAB程序为程序为ex8_6.m执行后得执行后得K= 1.5000 -1.5000 -6.0000488.2.2 状态观测器状态观测器1.全维状态观测器的设计全维状态观测器的设计 极点配置是基于状态反馈，因此状态极点配置是基于状态反馈，因此状态x

26、必须必须可量测，可量测，当状态不能量测时，则应设计状态当状态不能量测时，则应设计状态观测器来估计状态观测器来估计状态。对于系统对于系统若系统完全能观测若系统完全能观测，则可构造如图，则可构造如图8-12所示的状所示的状态观测器。态观测器。CxyBuAxx 49uyBACBACL-+-图8-12 带状态观测器的系统-+xx 50由上图可得观测器的状态方程为由上图可得观测器的状态方程为即即 其特征多项式为其特征多项式为 f（s）=|sI-(A-LC)| 由于工程上要求能比较快速的逼近由于工程上要求能比较快速的逼近x，只要只要调整反馈阵调整反馈阵L，观测器的极点就可以任意配置，观测器的极点就可以任意

27、配置达到要求的性能达到要求的性能，所以，所以，观测器的设计与状态反馈观测器的设计与状态反馈极点配置的设计类似极点配置的设计类似。LyxLCBuxAxLyBuxLCAx)(51 假 定 单 变 量 系 统 所 要 求 的假 定 单 变 量 系 统 所 要 求 的 n 个 观 测 器 的 极 点 为个 观 测 器 的 极 点 为1,2,n，则可求出，则可求出期望的状态观测器的特征方程期望的状态观测器的特征方程为为 f*(s)=(-1)(-2)(-n)=sn + a1sn-1 + + an这时可求得反馈阵这时可求得反馈阵L为为 式中式中 ， , f*（A）是将系统期望的观测器）是将系统期望的观测器特

28、征方程特征方程中中s换成系统矩阵换成系统矩阵A后的矩阵多项式。后的矩阵多项式。100)(10*VAfL10nCACACV52 利用对偶原理，可使设计问题大为简化利用对偶原理，可使设计问题大为简化，求解，求解过程如下：过程如下：首先构造首先构造系统式系统式(8-14)的的对偶系统对偶系统 (8-15)然后，根据下式可然后，根据下式可求得状态观测器的反馈阵求得状态观测器的反馈阵L。 LT=acker(AT,CT,P)或或 LT=place(AT,CT,P)其中其中 P为给定的极点，为给定的极点，L为状态观测器的反馈阵。为状态观测器的反馈阵。zBwnCAzTTT53例例8-7 已知开环系统已知开环系

29、统其中其中设计全维状态观测器设计全维状态观测器，使观测器的闭环极点为，使观测器的闭环极点为 -2j23,-5。CxybuAxx 001,100,6116100010CbA54解解 为求出状态观测器的反馈阵为求出状态观测器的反馈阵L，先为原，先为原系统系统构造一对偶系统构造一对偶系统。然后采用极点配置方法然后采用极点配置方法对对偶系统进行闭环对对偶系统进行闭环极点位置的配置极点位置的配置，得到反馈阵，得到反馈阵K，从而可由，从而可由对对偶原理偶原理得到原系统的状态观测器的反馈阵得到原系统的状态观测器的反馈阵L。MATLAB程序为程序为ex8_7.mzBwnCAzTTT55执行后得执行后得The

30、Rank of Obstrabilaty Matrixr0 = 3 3L = 3.0000 3.0000 7.0000 7.0000 -1.0000 -1.0000 由于由于rankr0=3，所以系统能观测，因此可设计全，所以系统能观测，因此可设计全维状态观测器。维状态观测器。562.2.降维观测器的设计降维观测器的设计 前面所讨论的状态观测器的维数和被控系统的前面所讨论的状态观测器的维数和被控系统的维数相同，故称为全维观测器，实际上系统的输维数相同，故称为全维观测器，实际上系统的输出出y总是能够观测的。因此，可以总是能够观测的。因此，可以利用系统的输利用系统的输出量出量y来直接产生部分状态变

31、量来直接产生部分状态变量，从而降低观测，从而降低观测器的维数。假设系统是完全能观测器，若状态器的维数。假设系统是完全能观测器，若状态x为为n维，输出维，输出y为为m维，由于维，由于y是可量测的，因此是可量测的，因此只需对只需对n-m个状态进行观测个状态进行观测，也就是说用，也就是说用(n-m)维维的状态观测器可以代替全维观测器，这样观测器的状态观测器可以代替全维观测器，这样观测器的结构可以大大简化。的结构可以大大简化。5758Matlab程序为：ex8_8598.2.3 带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统 状态观测器状态观测器解决了受控系统的状态重解决了受控系统的状态重构问题

32、，构问题，为为那些状态变量不能直接量测得那些状态变量不能直接量测得到的系统到的系统实现状态反馈创造了条件实现状态反馈创造了条件。带状。带状态观测器的状态反馈系统由三部分组成，态观测器的状态反馈系统由三部分组成，即即原系统原系统、观测器观测器和和控制器控制器，图，图8-13是一是一个带有全维观测器的状态反馈系统。个带有全维观测器的状态反馈系统。60uryBACBACL-+-图8-13 带状态观测器的状态反馈系统-+Kxx +-61设能控能观测的受控系统为设能控能观测的受控系统为 （8-21）状态反馈控制律为状态反馈控制律为 （8-22）状态观测器方程为状态观测器方程为 （8-23）由以上三式可得

33、由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式闭环系统的状态空间表达式为为CxyBuAxx xKruLyBuxLCAx)(CxyBrxBKLCALCxxBrxBKAxx)(62 可以证明，由观测器构成的状态反馈闭环系可以证明，由观测器构成的状态反馈闭环系统，其统，其特征多项式特征多项式等于等于状态反馈部分状态反馈部分的特征多项的特征多项式式|sI-(A-BK)|和和观测器部分观测器部分的特征多项式的特征多项式|sI-(A-LC)|的的乘积乘积，而且两者相互独立。因此，只要系，而且两者相互独立。因此，只要系统统0(A,B,C)能控能观测，则系统的状态反馈阵能控能观测，则系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵和

34、观测器反馈阵L可分别根据各自的要求，可分别根据各自的要求，独立独立进行配置进行配置，这种性质被称为，这种性质被称为分离特性分离特性。 同理，用降维观测器构成的反馈系统也具有分同理，用降维观测器构成的反馈系统也具有分离特性离特性63例例8-9 已知开环系统已知开环系统设计状态反馈使闭环极点为设计状态反馈使闭环极点为 -1.8j2.4，而且状态不，而且状态不可量测，因此设计状态观测器使其闭环极点为可量测，因此设计状态观测器使其闭环极点为-8,-8。解解 状态反馈和状态观测器的设计分开进行状态反馈和状态观测器的设计分开进行，状态观，状态观测器的设计借助于对偶原理。在设计之前，应先判别测器的设计借助于

35、对偶原理。在设计之前，应先判别系统的能控性和能观测性，系统的能控性和能观测性，MATLAB的程序的程序 ex8_9.mxyuxx011006 .201064执行后得执行后得The rank of Controllability Matrixrc = 2The rank of Observability Matrixro = 2K = 29.6000 3.6000L = 16.0000 84.6000658.2.4 离散系统的极点配置和状态观测器的设计离散系统的极点配置和状态观测器的设计 离散离散系统的系统的极点配置极点配置和和状态观测器状态观测器的设计的的设计的求解过程与连续系统基本相同，在求

36、解过程与连续系统基本相同，在MATLAB中，中，可直接采用工具箱中的可直接采用工具箱中的place( )和和acker( )函数函数进行设计，这里不在赘述。进行设计，这里不在赘述。66Matlab程序为程序为ex8_10.m678.2.5 系统解耦系统解耦 在在多变量系统多变量系统中，如果中，如果传递函数阵不是传递函数阵不是对角矩阵对角矩阵，则不同的输入与输出之间存在，则不同的输入与输出之间存在着耦合，即第着耦合，即第i输入不但会对第输入不但会对第i输出有影响，输出有影响，而且还会影响到其他的输出，就而且还会影响到其他的输出，就给控制系给控制系统的设计造成了很大的麻烦统的设计造成了很大的麻烦，

37、故在多变量，故在多变量控制系统的设计中就出现了解耦控制方法。控制系统的设计中就出现了解耦控制方法。68假设控制系统的状态空间表达式为假设控制系统的状态空间表达式为 (8-25) 其中其中 A:nn;B:nr;C:mn;D:mr引入状态反馈引入状态反馈 (8-26)其中其中 R为为r1参考输入向量，在解耦控制中实际还应参考输入向量，在解耦控制中实际还应要求要求r=m，亦即系统的输入个数等于输出个数，这时，亦即系统的输入个数等于输出个数，这时闭环系统的传递函数矩阵可以写成闭环系统的传递函数矩阵可以写成KxHRuHDBBKAsIDKCsRsYsG)()()()(1DuCxyBuAxx 69 若闭环系

38、统的若闭环系统的mr矩阵矩阵G(s)为对角的非奇异矩阵，则为对角的非奇异矩阵，则称该系统是动态解耦的系统称该系统是动态解耦的系统，若，若G(0)为对角非奇异矩为对角非奇异矩阵，且系统为稳定的，则称该系统是静态解耦的。阵，且系统为稳定的，则称该系统是静态解耦的。 在给定的控制结构下，若系统的在给定的控制结构下，若系统的D矩阵为矩阵为0，则，则闭环传闭环传递函数阵递函数阵G(s)可以简化成可以简化成 (8-28)BHBKAsICsRsYsG1)()()()(70 由上式可见，若由上式可见，若H矩阵为奇异矩阵，则矩阵为奇异矩阵，则G(s)矩阵必矩阵必为奇异的，所以为奇异的，所以为使得系统可以解耦，首

39、先应该要求为使得系统可以解耦，首先应该要求H为非奇异矩阵为非奇异矩阵。对于给定系统对于给定系统,状态方程可以状态方程可以写成为可控标准型写成为可控标准型，故，故其中其中HsCBaBBKACCBsBKAsIsGnnn)(|1)(211.|011asasBKAsInnn71 首先这里将给出首先这里将给出能解耦的条件能解耦的条件：可以证明，若按下面：可以证明，若按下面方法生成的矩阵方法生成的矩阵B*为非奇异的为非奇异的，若取，若取H=(B*)-1，则由，则由前面给出的控制格式得出的系统能解耦原系统。前面给出的控制格式得出的系统能解耦原系统。 （8-29） 式中式中 C,C, Cm为为C矩阵的行向量矩

40、阵的行向量，参数，参数d,d,dm是在保证是在保证B为非奇异的前提下任选区间为非奇异的前提下任选区间0,n-1上的整数。若确定了上的整数。若确定了di参数参数，则可以直接获，则可以直接获得得解耦矩阵解耦矩阵BACBACBACBmdmdd21211111mdmdACACHK72例例8-11 对如下系统进行解耦对如下系统进行解耦解解 MATLAB程序为程序为Example8_11.mxyuxx11100133320130002000173执行后可得执行后可得H = 1.0000 0 1.0000 0 -1.3333 0.3333 -1.3333 0.3333K = -1.0000 0 0 -1.0

41、000 0 0 1.6667 1.3333 3.0000 1.6667 1.3333 3.0000n1 = 0 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000d1 = 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 -0.0000 0n2 = 0 0 0 00 0 0 0 0 0.0000 1.0000 0 0 0.0000 1.0000 0d2 = 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.00

42、00 -0.0000 074 亦即系统亦即系统解耦后解耦后的传递函数阵为的传递函数阵为 解耦控制系统的目的是将原模型变换成解耦的模解耦控制系统的目的是将原模型变换成解耦的模型，而并型，而并不必去考虑变换之后的响应品质不必去考虑变换之后的响应品质，因为响，因为响应品质这类问题可以在解耦之后应品质这类问题可以在解耦之后按照单变量系统进按照单变量系统进行设计补偿行设计补偿，单回路的设计当然可以采用单变量系，单回路的设计当然可以采用单变量系统的各种方法，例如可以采用超前滞后补偿，统的各种方法，例如可以采用超前滞后补偿，PI设设计以及计以及PID设计等，并能保证这样设计出来的控制设计等，并能保证这样设计

43、出来的控制器不会去影响其他回路。器不会去影响其他回路。1001001)(223ssssssG758.2.6 状态估计器或观测器状态估计器或观测器假设控制系统的状态空间表达式为假设控制系统的状态空间表达式为函数函数estim( )将生成下述状态和输出估计器将生成下述状态和输出估计器DuCxyBuAxx xICxyxCyLxAx)( 76 在在MATLAB中，函数中，函数estim( )的调用格式如下的调用格式如下est=estim(A,B,C,D,L) 其中其中 A,B,C,D为系统系数矩阵，为系统系数矩阵，L为为状态估计增状态估计增益矩阵益矩阵。状态估计增益矩阵。状态估计增益矩阵L可由极点配置

44、函数可由极点配置函数place( )形成形成，或者由，或者由Kalman滤波函数滤波函数kalman生成。利用以上命令可生成给定增益矩阵生成。利用以上命令可生成给定增益矩阵L下的下的状态空间模型状态空间模型A,B,C,D的输出估计器的输出估计器est。7778例例8-13 利用例利用例8-7所得的状态观测器的反馈阵所得的状态观测器的反馈阵L，求，求其系统的状态估计器。其系统的状态估计器。解解 MATLAB程序为程序为A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0; L=3;7;-1est=estim(A,b,C,0,L)执行后得执行后得est = -3.0000

45、 1.0000 0 -3.0000 1.0000 0 -7.0000 0 1.0000 -7.0000 0 1.0000 -5.0000 -11.0000 -6.0000 -5.0000 -11.0000 -6.0000798.2.7 系统控制器系统控制器假设控制系统的状态空间表达式为假设控制系统的状态空间表达式为利用函数利用函数reg( )可生成下述控制器可生成下述控制器DuCxyBuAxx xKuLyxKLDBLCAx)( 80 在在MATLAB中，函数中，函数reg( )的调用格式为的调用格式为est=reg(A,B,C,D,K,L) 其中其中 A,B,C,D为系统系数矩阵，为系统系数矩

46、阵，K为状为状态反馈增益矩阵，态反馈增益矩阵，L为状态估计增益矩阵。为状态估计增益矩阵。利用以上命令可生成给定状态反馈增益利用以上命令可生成给定状态反馈增益矩阵矩阵K及状态估计增益矩阵及状态估计增益矩阵L下的状态空下的状态空间模型间模型A,B,C,D的控制器的控制器est。假定系统。假定系统的所有输出可测。的所有输出可测。81例例8-14 利用例利用例8-7所得的状态观测器的反馈阵所得的状态观测器的反馈阵L，求，求其系统的控制器。假设状态反馈阵其系统的控制器。假设状态反馈阵K=-1 2 4。解解 MATLAB程序为程序为A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0

47、 0;K=-1 2 4;L=3;7;-1est=reg(A,b,C,0,K,L)执行后得执行后得 est = -3 1 0 -3 1 0 -7 0 1 -7 0 1 -4 -13 -10 -4 -13 -10828.3 最优控制系统设计最优控制系统设计 MATLAB控制系统工具箱中也提控制系统工具箱中也提供了很多函数用来进行系统的最优供了很多函数用来进行系统的最优控制设计，相关函数如表控制设计，相关函数如表8-3所示。所示。83848.3.1 状态反馈的状态反馈的线性二次型最优控制线性二次型最优控制设线性定常系统的状态空间表达式为设线性定常系统的状态空间表达式为 (8-31)式中式中 A:nn

48、;B:nr;C:mn并设目标函数为并设目标函数为二次型性能指标二次型性能指标 (8-32) 式中式中 Q(t)为为nn半正定实对称矩阵，半正定实对称矩阵，R(t)为为rr正定实对称矩阵。一般情况下，假定这两个矩阵正定实对称矩阵。一般情况下，假定这两个矩阵为定常矩阵，它们分别决定了系统暂态误差与控为定常矩阵，它们分别决定了系统暂态误差与控制能量消耗之间的相对重要性。制能量消耗之间的相对重要性。S为对称半正定终为对称半正定终端的加权阵，它为常数。端的加权阵，它为常数。)()()()()(tCxtytButAxtx f0d)()()()()()(21)()(21TTffTttttutRtutxtQt

49、xtSxtxJ85 当当x(tf)值固定时，则为终端控制问题，特别是值固定时，则为终端控制问题，特别是当当x(tf)0 时，则为调节器问题；当时，则为调节器问题；当t0 , tf均固均固定时，则为暂态过程最优控制。定时，则为暂态过程最优控制。 最优控制问题是为给定的线性系统式（最优控制问题是为给定的线性系统式（8-31）寻找一个最优控制律寻找一个最优控制律u*(t)，使系统从初始状态，使系统从初始状态x(t0)转移到终端状态转移到终端状态x(tf)，且满足性能指标式，且满足性能指标式（8-32）最小。它可以用变分法、极大值原理）最小。它可以用变分法、极大值原理和动态规划等三种方法中的任一种求解。这里和动态规划等三种方法中的任一种求解。这里我们采用极大值原理求解我们采用极大值原理求解u*(t)。86 MATLAB的控制系统工具箱中也提供了完整的解决的控制系统工具箱中也提供了完整的解决线性二次型最优控制的函数，其中命令线性二次型最优控制的函数，其中命令lqr( )和和lqry( )可以直接求解可以直接求解二次型调节器二次型调节器问题及相关的问题及相关的Riccati方程，它