2021-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课新人教A版选修2-1

1、金版学案】 2021-2021 学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课 新人教 A 版选修 2-1整合网络构建警示易错提醒1几种空间向量之间的区别与联系(1) a 与其相反向量 a 为共线向量 (平行向量 ) (2) 相等向量为共线向量 (平行向量 ) ，但共线向量 ( 平行向量 )不一定为相等向量(3) 假设两个非零向量共线，那么这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任 意两个向量都是共面的，这些概念一定要准确理解2向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点(1) a b= 0 匚 a= 0 或 b = 0.(2) a c = a b c = b.(3) ( a b) c

2、 a ( b c)(4) a b= k- a= k 或b=-.b a3. 向量共线充要条件及注意点(1) 对空间任意两个向量 a, b(b0), a/ b的充要条件是存在实数入，使a= Xb.(2) 注意点：I为经过点A且平行于非零向量 a的直线，对空间任意一点 0,点P在直线I上的充要条件是存在实数t，使01 0阳ta.(3) 坐标表示下的向量平行条件.设 a = (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3)，贝U a/ b? ai = Xbi, a2 =入 b2, a3= Xb3(入 R),ai a2 a3这一形式不能等价于 -=-=-，只有在向量b与三个坐标轴都不平行时才可

3、以这样写.bi b2 b34. 向量共面充要条件及注意点(1) 假设两个向量a, b不共线，那么向量 p与向量a, b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x, y)，使 p= xa + yb.(2) 注意点：f f f 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x, y)，使AP= xAB+ yACf f ff 空间任意一点 O和不共线的三点 A B, C,满足向量关系式OP= xOA yO聊zOQ其中x+ y + z= 1)，那么点P与点A, B, C共面.5. 利用向量法求空间角的考前须知(1) 利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别.例f f如

4、，假设 ABC的内角/ BAC= 0，那么BA与ACM角为n- 0，而非0 .(2) 特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小.(3) 对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，防止出错.专题一 空间向量及其运算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似， 是平面向量的拓展， 主要考 查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的根底ff例1沿着正四面体 GABO的三条棱OA OB OC勺方向有大小等于1、2和3的三个力f 1，f2，f3.试求此三个力的合力 f的大小以及此合力与三条棱所夹角的

5、余弦值.fff解：如下图，用a, b, c分别代表棱OA OB OC上的三个单位向量，那么 f 1= a, f 2 = 2b, f 3= 3c,那么 f = f 1 + f 2 + f 3 = a+ 2b + 3c,2 2 2 2所以 |f| = (a+2b+ 3c)(a+2b +3c)= |a|+ 4|b|+ 9|c|+ 4a- b+6a- c +12b c =14+ 4cos 60 + 6cos 60 + 12cos 60 = 14+ 2+ 3 + 6= 25, 所以 | f| = 5,即所求合力的大小为5.且 cos f, af aI f I ! al2| a| + 2a b+ 3a c

6、710，910.4同理可得：cos f, b= , cos f, c5归纳升华空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法那么、平行四边形法那么、首尾相接的多边形法那么，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，可以用来解决共线、共面、平行、垂直等问题，向量运算是解决数学问题的重要工具，应该熟练掌握， 灵活运用.在不利于建立空间直角坐标系的情况下，选择恰当的基底，通过基向量的运算解决数学问题是十分有效的数学方法，应当高度重视.变式训练如图，在四棱锥 SABCD中，底面ABC是边长为1的正方形，S到A B、C D的距离都等于 2.给出以下结论： SA+ S聊SO SD= 0;S

7、A SB- SC- SD= 0;SASB+ SC- SD= 0 :SA- SB= SC- SDSA- SC= 0.其中正确结论的序号是 .f f f f f f解析：容易推出：SA SB+ SO SA BA DC= 0,所以正确；又因为底面 ABCD是边长f ff f为 1 的正方形，SA= SB= SC= SD= 2，所以 SA SB= 2x 2x cos / ASB SC SD= 2 x 2 x cos /ffffCSD而/ ASB=Z CSD于是SA- SB= SC- SD因此正确，其余三个都不正确，故正确结 论的序号是.答案： 专题二 利用空间向量证明空间中的位置关系用向量作为工具来研

8、究几何， 真正把几何的形与代数中的数有机结合， 给立体几何的研 究带来了极大的便利 利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等例2 正方体 ABCDABCD中，E、F分别是 BB、CD的中点，求证：平面 AEDL平面 AFD.证明： 如图，建立空间直角坐标系 D- xyz .设正方体棱长为1,那么 E1, 1, 1、D(0 , 0, 1), F 0,120、A(1 , 0, 0).ff f所以 DA= (1 , 0, 0) = DA, DE=DF= 0, 1， 1 .设 m= (X1, y1,乙，n= (X2, y2,Z2分别是平面 AED和

9、AFD的一个法向量,m- DA= 0, 由Xi = 0,令 y1= 1,得 m= (0,1, 2)n fDIA1 = 0,X2= 0 ,又由?1n fDF= 02y2 Z2令 Z2= 1,得 n= (0,2, 1).因为 rrr n= (0 , 1,0.m- DE= 01X1+ y1 + 2Z1 = 0.2) X (0 ,2, 1) = 0,归纳升华1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量 2证明线面平行的方法：(1) 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2) 证明平面内存在一个向量与直线的方向向量共线 3证明面面平行的方法：(1) 转化为线线平行或线面平行处理；(2)

10、证明两个平面的法向量是共线向量4证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直 5证明线面垂直的方法：(1) 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2) 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直 6证明面面垂直的方法：(1) 转化为线线垂直或线面垂直处理；(2) 证明两个平面的法向量互相垂直变式训练 如下图， P从平面ABCD ABCD矩形，P AD, M N分别为ABPC的中点求证:MM平面PAD(2)平面PMCL平面PDC证明：(1)如下图，以A为坐标原点，AB AD AP所在的直线分别为 x, y, z轴建立 空间直角坐标系Axyz.设 PA= AD= a, A

11、B= b,那么有RO, 0, a), A(0, 0, 0), D(0 , a, 0) , C(b, a, 0), B(b, 0, 0).因为M N分别为AB, PC中点，所以bbaam2 ,0 ,0,N2 ,2 ,2所以aaMN=0 ,2 ,2 -t法一：AP= (0 , 0 , a) , AD= (0 , a , 0),T 厂 1T所以 MN= 2A 2AR又因为MN平面PAD所以MN/平面PAD法二：易知AB为平面PAD的一个法向量.AB= (b, 0, 0)，所以 AB- MN= 0，所以 ABL MN又MN平面PAD所以 MN/平面 PADb由可知：RO , 0, a), Qb, a,

12、 0) , M?, 0 , 0 , D(0 , a , 0).所以 PC (b , a , - a) , PM= b , 0, a ,TPD= (0 , a, - a).设平面PMC勺一个法向量为 ni = (xi , yi , zi),那么ni - PC= 0? bxi + ayi - azi= 0TPM= 0?b?xi azi = 02aXi = Zi 所以 b ,令 zi = b,那么 ni = (2 a , b , b).yi = zi设平面PDC的一个法向量为 n2= (X2 , y2 , Z2),Tn- PC= 0? bx2 + ay2 az2= 0 那么,Tn2 - PD= 0?

13、 ay2 az2= 0X2= 0 , 所以令 Z2 = i,贝U n2= (0 , i, i),y2= Z2 ,因为 ni - n2= 0 b + b= 0,所以 ni L n2.所以平面PMCL平面PDC专题三 利用空间向量求空间角空间角包括：异面直线所成的角 (线线角)、直线与平面所 成的角(线面角)、二面角(面面角)用向量法求空间角，把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度，是近年来高考的一个方向.例3 如图，在厶 ABC中,/ ABC= 60, / BAC= 90 , AD是 BC边上的高.沿 AD证明：平面 ABDL平面BDC(2)设E为BC的中点，求AE与 D联角的余弦值

14、.证明：因为折起前AD是 BC边上的高，所以当 ABD折起后，ADL DC AM DB又因为DBH DC= D,所以ADL平面BDC因为At?平面ABD所以平面 ABDL平面BDC(2)解：由/ BDC= 90及(1),知DA DB DC两两垂直不妨设| DB = 1,以D为坐标原点，以DB DC DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系，易得 Q0 , 0, 0) , B(1 , 0 , 0) , C(0, 3 , 0) , A(0, 0 , 3) 因为E为BC中点,所以 E；, 2，0 -所以A氐2,DB= (1 , 0, 0) f f故AE与 D联角的余弦值是2222

15、 .归纳升华1. (1)设异面直线丨1,丨2的方向向量分别为mi, ma,贝U I 1与12所成的角0=|cos m, rm|.(2)设直线I的方向向量和平面a的法向量分别为 m, n那么直线I与平面0 满足 sin 0 = |cos m n|.(3)求二面角的大小：如图,AB CD是二面角a-l -卩的两个面内与棱满足cos 0a所成的角I垂直的直ff1AE-DB222ff2222|AEIDB才1所以 cos(AE, DBf f线，那么二面角的大小 0 =弦值为耳5.5fn OA3V?5f、3 x V55I n| OA |即二面角 A-CDB的平面角的余专题四探索性问题探索性问题即在一定条件

16、下论证会不会出现某个结论.这类题型常以适合某种条件的结论“存在“不存在 “是否存在等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合条件进行推理论证.假设导出合理的结论，那么存在性也随之解决；假设导出矛盾，那么否认了存在性.例4如图，四棱锥SABCD勺底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱SD上的点.求证：AGL SD(2) 假设SDL平面PAC求二面角 P-AGD的大小.(3) 在 的条件下，侧棱 SC上是否存在一点 E,使得BE/平面PAC假设存在，求SE： EC 的值？假设不存在，试说明理由.(1)证明：连接BD设AC交BD于点Q由题意知

17、SCL平面ABCD以O为坐标原点，OBQC 0盼别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Qxyz ,如图，设底面边长为a ,那么高SQ= a.于是S0 , 0 ,6a2 a，D 七,0,220 , C 0 , 2 a , 0 , B 2 a , 0 , 0 ,OC= 0,SD=22a，o,f fa , OC SD= 0,故 OCL SD 从而ACL SD解：由题意知，平面fPAC的一个法向量DS=平面DAC的一个法向量 02 0, 0,2 a -f f设所求二面角为0 ，那么 cosOS- DS 0 =f fI OS DS故所求二面角 R AG D的大小为30(3)解：存在假设在侧棱 S

18、C上存在一点 E使BE/平面PACf由 知DS是平面PAC勺一个法向量.且fS= 22a, 0, 26a , fS= 0, ，BC= 22a, 22a, 0 ,f f设 CE= tCS,贝 Ufffff 2 2 6BE= BO CE= BO tCS= 2 a ,2 a (1 t) ,2 atf f由 BE- D2 0 ,f f即当 SE： EC= 2 ：1 时,BE! DS而BE?平面PAC故BE/平面PAC归纳升华在立体几何中， 经常会遇到点、 线、 面处在什么位置时结论成立， 或某一结论成立时需 要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问 题这些问题都属

19、探索性问题， 解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难， 我们借助向量 将“形转化为“数， 把点、 线、面的位置数量化，通过代数式的运算就可得出相应的结 论这样可以把许多几何问题进行类化， 公式化， 使问题的解决变得有“法可依，有路可 寻变式训练 如图所示，直角梯形 ABCDh/ BCD 90, AD/ BC AD= 6, DC= BC =3.过点B作BEL AD于点E, P是线段DE上的一个动点将 ABE沿BE向上折起，使平面 AEBL平面BCDE连结PA PC AC如图.图图 取线段AC的中点Q,问：是否存在点P,使得PQ/平面AEB假设存在，求出PD的长;假设不存在，请说明理由.当El 3

20、ED时，求平面 AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值.3解：存在当P为DE的中点时，满足 PQ/平面AEB如图，取AB的中点M连接EM QM由Q为AC的中点，得MQ BC1且 MQ= 2BC1又 PE/ BC 且 PE= 2BC所以 PE/ MQ PE= MQ所以四边形PEM为平行四边形，故 M/ PQ又PC?平面AEB ME平面AEB所以PQ/平面AEB3从而存在点 P,使得PQ/平面AEB此时PD= 2. 由平面 AEBL平面 BCDE交线为 BE且AE1 BE所以AEL平面BCDE 又 BEL DEf f f以E为原点，分别以EB, ED EA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐

21、标系如图,那么 E0，0，0，氏3，0，0，A0，0，3，P0，2，0，C3，3，0.ff所以 PC= 3 , 1, 0, PA= 0，- 2, 3.平面AEB的一个法向量ni = 0 , 1, 0,设平面APC的法向量为n2= x, y, z,e PC= 03x + y= 0,由得f 2y + 3z = 0.n2 PA= 0,取 y = 3,得 n2= ( 1, 3, 2),所以 cos ni, n23= 3后1X 141414 距离、垂直、平行等问题提供了工具,即平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为专题五转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、因此我们要善于把这

22、些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.将 几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问 题这种“从几何到向量，再从向量到几何的思想方法，在本章尤为重要.例5如下图，在矩形ABCD中, AB= 4, AD= 3,沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求二面角 BAGD的余弦值.解：如下图，作 DGL AC于G, BHL AC于H,在 Rt ADC中,AC= JaD+ cD= 5,AD 3 cos / DA(= ac= 5.在Rt ADG中3 9AG= AtCos Z DA= 3 x =55DG aDaG=:3912同理 cos Z BCA=_ CH= c, BH=555因为 AD- BC= (A曰 ED BC= AE- BO ED- BC= 0,-99 9所以 GD HB= (GAF AD) ( HO CB) = GA HO GA CB AD- HO AD- CB=- CX c+ c x 3 55539 381X 5+ 3X 5X 5+ 0 = 25,又|GD - I HB =礬 所以 cosGD HB = 16,9即所求二面角 BAGD的余弦值为 何归纳升华1 .转化与化归思想在立体几何中的应用.在立体几何中，表达转化与化归思想的问题有：