考研数学一笔记.docx

1、.高等数学常用公式等比数列an a1 qn 1sna1 (1 qn )1 q等差数列ana1( n1)dsn(a1an )n2 122232n 21 n n1)(2n1)(62 132333n3n(n1)2极限nu1 u2un一、对于和式1 1进行适当放缩有两种典型的法当为无穷大时，则当为有限项，且专业资料._二、常用极限：nnm，1. limna1a2ammax ai1,2,3m ) (in2. f (x)dxlimni )xilimnba i ) baf (f (aba0i1ni 1nnbnn(i1)(ba) b af ( x)dxlimf ( i)xilimf (a3n)a0i 1ni1

2、n3. lim na1n4. lim nanb 1（,， a，b为常数）n5. lim x x1x06.若 lim ana，则n . lim a1a2anann .若 an0(n1,2,3)，则 lim n a1a2anan三、常见等价无穷小代换总结常见等价无穷小代换总结专业资料. sin x xx3x5o(x5 )3!5!x2x33o xln(1 x) x)2(3 ln(1 x) ( xx2x 3o( x3 )23 ex1 xx 2x3o( x3 )2!3! cos x 1x2x4x6o(x6 )2!4!6!专业资料.10.四、7 种未定型 （注意正真的0 和 1 与极限为 0 和 1 的区

3、别）设专业资料.五、求渐近线的步骤先求垂直渐近线：lim f ( x)xx0求水平渐近线：lim f (x)Ax专业资料.求斜渐近线： （ lim f ( x)时才需求斜渐近线，因为水平渐近线和斜渐近线不同时存x在）y kx b， klimf (x) ，blim fxkxxx( )x六、极值点的来源： 不可导点：驻点七、需要考虑左右极限的情况式子中含有e x式子中含有arctan x式子中含偶次根 x1 xx lim x 不存在x 0式子中含有取整符号 x含有 | xx0 |分段函数导数专业资料.导数的应用分段函数的分段点；抽象函数：不满足求导法则；求导数求导函数太复杂。可导条件求高阶导数分子

4、一动一静分母有左有右上下同阶或低阶1.公式法2.归纳法3.莱布尼兹公式4.利用 Taylor 公式f ( x0 )f ( x0x)f ( x0 )x步骤写出 Taylor 展开式将 f(x)间接展开利用对应系数相等专业资料.中值定理涉及 f (x) 的中值定理，即连续函数在闭区域a,b 上的性质设 f (x) 在 a,b 上连续 ，则定理一 （有界性）： | f ( x) |k(k0)定理二 （最值定理）： mf (x)M ，其中m ， M分别是f ( x) 在 a， b 上的最小值与最大值。定理三 （介值定理）：当 muM 时，其中 m ，M 分别是f ( x) 在 a ， b 上的最小值与

5、最大值， a,b 使得 f ( )u定理四 （零点定理）：当 f ( a)f (b)0 时，(a,b) 使得 f ( )0涉及导数f (x）的中值定理定理五（费马引理） ：设 f (x) 在的某领域_D_处可导如果对任意的f ( x)f ( x0) （或 f ( x)f ( x0) ），那么f ( x0 )0。补充一 （导数零点定理）设f ( x)在a,b可导，且f ( )() 0，则(a, b) 使得afb,f ( )0定理六 （罗尔定理）：如果函数f (x)在闭区间a,b 上连续 ,在开区间 (a, b) 可导 ,且在区间端点的函数值相等，即f (a) f (b) ,那 末 在 (a, b

6、) 至 少 有 一 点 (ab) , 使 得 函 数 f ( x) 在 该 点 的 导 数 等 于 零 ， 即f ( ) 0 。专业资料.该定理的逆否命题：若 f ( x)0 在 (a,b) 没有实根，即f (x )0 ，则推广： 若 f (n) (x )0 在()D_ f (n) (x )0 ，则定理七 （拉格朗日中值定理） ：如果函数f ( x)在闭区间 a, b 上连续 ,在开区间 (a, b) 可导那么在 (a,b) 至少有一点(ab) ，使等式f (b)f (a)f ()(ba) 成立。定理八（柯西中值定理） ：如果函数f (x) 及 g( x) 在闭区间 a, b 上连续 ,在开区

7、间 (a, b) 可导 ,且 g(x 在 ( a,b) 每一点处均不为零，那末在(a,b) 至少有一点(ab),使等式)f (b)f (a)f ()成立。g (b)g(a)g ()定理九 （ Taylor 公式）：如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间 (a,b) 具有直到 n+1阶的导数，则对任意 x(a,b) ，有f ( x) f ( x0 )f ( x0 )(x x0 )f (x0 ) ( x x0 ) 2f (n ) (x0 ) ( x x0 ) nf ( n 1 ) ( ) ( x x0 ) n 12!n!(n 1)!这里的与 x 之间的某个值。注：Taylor 公式常用

8、于处理含二阶及二阶以上导函数代数式的问题，证明的一般思路如下：专业资料.将 f ( x) 在处展开成比高阶导数低一阶的Taylor 展开式关键在于如确定 x 与 x0 ，一般把题目中已知某点的函数及各阶导数值设为x0 区间端点为 x ，闭区间的中点有时也会用到对得到的式子进行适当运算。b涉及积分af ( x)dx 的中值定理定理十 （积分中值定理）设f ( x) 在D_Dd_使得bxdx fbaf( )(a)推广一 ：设 f ( x) 在b)(b a)_(a, b) 使得f ( x) dx f (a推广二 （第二积分中值定理） ：设 f (x) 与 g(x) 在D_ g( x) 在() a,b

9、 ，使bb得 f ( x) g (x)dxa1.构造辅助函数罗尔定理考点f ( )g (x)dxa逐项还原组合还原(uv )，uv同乘以1）同乘因子两个模型求解微分方程同乘以2)2.找端点值使得专业资料.经典不等式总结三角不等式 ：设 a, b 为实数则 2 | ab |a2b 2 | a b | | a | | b | | a | | b | | ab |推广 ：离散情况：设a1 , a2 , an 为实数，则| a1a2an | | a1 | | a2 | an |连续情况：设f (x) 在 a,b 可积，则bb| f ( x) |dx(ab)f (x)dxaa均值不等式 a, b R ，

10、2aba ba2b2(当且仅当 ab时取等号 )1122aba1 , a2 ,anR，nn a1a2 ana1 a2ana12a22an211nn1a1 a2an(当且仅当 a1a2an时取等号 )推广：设 bi0, m1 , m2 ,mk 是正整数，则m1b1m2 b2mk bkm1mk1m1m2mkb1bkm1m2mk专业资料.氏不等式 ：设 x0, y0, p0, q0, 111 ，则 xyx py qpqpq柯西不等式 ： a 2b2c 2d 2ac bd2施瓦茨不等式：若 f (x), g( x) 在 a,b 可积，且平可积，则b2b2 ( x) dxb2 ( x) dxf ( x)

11、g (x)dxfgaaa其他不等式若 0axb,0c yd ，则cyabxd sin xx tan x(0x), sin xx( x0)21xln(11 )1 ,(0x)1xx积分1. 有理函数积分设有真分式，已被因式分解，若分母中有一个一因子，则分解式对应项为：若分母中有一个因子，则分解式对应项为：专业资料.ex:求积分的法公式法分项积分法第一类换元第二类换元分部积分法万能代换区间再现万能代换：令，则专业资料.区间再现： 在计算很多定积分和某些定积分证明时，有时需要互换积分限。常见互换积分限为：2. 比较广义积分的敛散性比较判别法的极限形式设函数都是在区间非负连续函数，若lim f ( x)

12、l ，则ng (x)当和同时收敛或同时发散；当若收敛，则也收敛；当发散，则也发散。设函数都是在区非负连续函数， lim f ( x)， lin g ( x)x ax alinf (x)l ，则x ag( x)时和同时收敛或同时发散。专业资料.多元函数求具体点的偏导数几何意义偏导数考点求偏导数高阶偏导数偏积分微分f (x, y)f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )dxfy( x0, y0 ) dy lim220x 0( x x0 )( y y0 )y 0在 ( x0 , y0 ) 可微偏导个数 =自变量个数项数 =中间变量个数分线相加，连线相减偏导数的结构仍然是的函数抽象复

13、合函数可以用表示专业资料.微分程二阶线性微分程特解的求法令 dD ，则 dyDy ； d 2D 2，则 d 2 yD 2 ydxdxdx 2dx 2于是 y a1 y a2 yf (x)( D 2a1 D a2 ) yf (x)令 F(D) D2a1Da2 ，则( D 2a1 D a2 ) yf ( x) F (D ) y f (x)y*1f ( x)F (D)1有如下重要性质（注：D 表示微分，1表示积分）DF (D)1ekx1ekx , F (k ) 0F (D)F (k )当F (k) 0时，1ekxx1ekxx1ekx , F ( k) 0F (D)F(D)F (k)当 F (k)0

14、时，1ekxx21ekx1 x 2ekxF (D)F(D)21sin ax1sin ax, F (a2 )0F(D2)F (a 2 )1 2cosax12)cosax, F (a 2 )0F (D)F (a当 F (a 2 )0 时，12)sin axx12sin axF (DF( D)1cosaxx1cos axF ( D2)( D2F)1ekxv( x) ekx1k)v(x)F (D)F (D专业资料.1(b0 x pb1x p 1b p )Q(D )(b0 x pb1 x p 1bp )F (D)其中 Q (D ) 为 1 除以 F ( D ) 按升幂排列所得商式，其D 的最高次数为右边

15、多项式的最高次数 p 。1 除以 F (D) 的运算如下1 a12 Da2 a2a2a1DD 21a11 D 21Da2a2其中 Q(D)1a1Da2a22a1D12a2Da2专业资料.2a12 D 3a1Da12D 2a2a2a2a12a2D2a1D322a2a2一阶线性微分程组的解法x1a11x1a12 x2齐次微分方程组 x2a21 x1a22 x2解题程序：(Da11 ) x1a12 x20d则 (Da11 ) x1a12 x20引入微分算子 Ddta21x2 (D a22 ) x20(D )x10D a11a12(t), x2(t) 满足令 (D)，则 x1a21D a22( D)

16、x20专业资料.求解 (D ) x10 （或( D )x2 0 ）；将求出的 xt或xt代入程中的第一个程，求出x(t ) (或第二个程求出x(t) ）1( （)2()）21注：求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法。x1a11x1a12 x2(t)非齐次微分方程组的解法x2a21 x1a22 x2(t )程的通解 = 对应的齐次程的通解+ 非齐次程的一个特解。一个重要关系tanydd(,)其中表示极径与点(, ) 切线间的夹角。ox概率论常用知识Anmn( n1)( nm1)n!(n m)!C nmn(n1)(nm1)n!m!m! (n m)!专业资料.C nmC nn m

17、mm 1m 1C nCnC n 1分组有序分组n 个 元 素 分 成 A1、 A2、 、 Ak 共 k 组 ， 其 个 数 分 别 为 a1、 a2、 、 ak，a1 a2akn ，则分组法的总数为 Cna1 Cna 2aCna3aaCaak112k无序分组n 个元素分成 k 个组，其中 k1 各组的元素为l1 ， k 2 各组的元素为l 2 个， ，km 各组的元素为 l m 个， k1k2kmk， l1 k1l 2k 2lm kmn 则分组法的总数为k1个k2 个km个Cnl1 C nl1ln ( k11)l1C nl2 klC nl2 k l l2C nl2 k l(k21)l2C klm lC (lkm1)lmC ll m11111 1mmmmAkk1Akk2Akkm12m函数定义()exxs 1,0sdx s0性质(s1)s