含参量积分一致收敛及其应用

1、1引言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分 ，又名反常积分.在讨论定 积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际 问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论 和实际中往往不满足这两个条件因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问 题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从 积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的 瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分 .广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题， 它是高等数学中

2、的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为 其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛但是，反常积分涉及到一个所谓的收 敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要 了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要1.含参量的广义积分和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的 广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分 和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例 讨论其性质。1.1无穷限

3、广义积分的定义定义1:设f(x,y)为定义在D二a,二I ( I为某区间，有界或无界)的二元函数，形如f(x, y)dx的积分称为含参变量y的广义积分。a从定义形式决定研究内容：广义积分是否存在-收敛性问题与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值， 而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还 必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。1.1.2含参量广义积分的收敛和一致收敛。定义2：设f (x, y)定义在D - a, = I ，若对某个y I ，广义积分 f(x, y0 )dx a,-be-be在yo点收敛，则称含参量广义积

4、分.f (x, y)dx在y点收敛；若.f(x, y)dx在I中每 cc一点都收敛，称含参量广义积分-f(x, y)dx在I上收敛.a定义：.f(x, y)dx在I上收敛是指：对每个y I，-； 0, Ao( ;,y) a，使当aAA； A a Ao 时，f f(x, y)dx 名，A(或者 |Af(x, y)dx0A0 (名) a，使当 A； A * A0 时，J f (x, y)dx z，对一切 y IA成立，称af(x, y)dx在I上关于y 致收敛.类似以前学过的相似内容，我们先给出一致收敛性的判断定理，然后分析性质的 研究1.1.3 一致收敛性的判别法定理1( Weistrass判别

5、法)设存在定义于a上的函数F(x)，使.-be-bef(x,y)兰 F( xy, (x ,y ) D a 叩，且 a F(x)dx 收敛，贝叮 f (x, y)dx 在 J 上一致aa收敛。定理2(Abel判别法)设f(x, y),g(x,y)定义在D上且满足：1) f (x, y)dx在I上关于y 致收敛。a2) g(x, y)关于x单调，即对每个固定 厂l,g(x, y)为x的单调函数。3) g(x, y)在 D 上一致有界，即 L，使 |g(x, y)|-L, - (x, D。则a f (x, y)g(x, y)dx关于y 致收敛。a定理3 (Dirichlet判别法)设f(x, y),

6、 g(x, y)定义在D上且满足：A71 )A a, f (x, y)dx关于y 致有界，即 K 0， 使aa、J f ( x, y)兰d xW ,焰A都成立。y ILa2)对固定的y I , g(x, y)关于x单调3) m g(x, y) =0关于 y I 致成立：即-； 0,代 _ a，当 x _ A 时，g(x,y):关于y I 一致成立。则f (x, y)g(x, y)dx关于 匹I 一致收敛。注：上述两个定理的证明和广义积分的收敛性的证明类似， 其出发点都是积分第二中值定理：A(y)AA f (x,y)g(x,y)dx 二 g(A, y) A f (x, y)dx g(A, y)(

7、y)f (x, y)dx三、一致收敛性判别举例。根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行：首先 考虑能否用 Werstrass判别法，其次，考虑用 Abel和Dirichlet判别法，再次，考虑用 Dini判别法，最后，考虑非一致收敛性。但是，上述只是解决此类问题的一般规律。 事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别 法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。例1:讨论jesinxdx在ig 可叫,垃)(ot0 a0) ii) (0,垃)内一致收敛性。解、i)当a eg0,+oc)时，由于esin x兰e，故，利用Werstra

8、ss判别法可得bo esin xdx关于a p0,畑)一致收敛。ii)、当用三(0,=)时，可以考虑非一致收敛性。事实上：取人=2n二，Ansin xdx 空 入 J：xdx 空 e （An-人）J 1 22人2、2-Je445#故，o esinxdx关于(0,=)非一致收敛。例2、证明0在0,二：上一致收敛。x证明：典型的Abel判别法所处理对象。由于#即0,xAJ sin xdx 兰 2），因此,Asdx收敛(广义积分的Dirichlet判别法:0 x关于：.一致收敛。又：e是关于x的单调函数且一致有界，故，由 Abel判别法可知该积分关于0, ：) 致收敛1.1.4 一致收敛积分的性质、

9、lt be , . Abe设f(x, y)dx对每一个 y c,d收敛，记 I (y)二 f(x,y)dx,y c,d,a aa任取严格单调递增数列an /,满足a0 =a,an,记un (y) f (x, y)dx, n = 1,2，则 广f(X, y)dx =迟 Un (y)。an 4引理1：若 f (x, y)dx关于yc,d 致收敛，则E Un(y)关n T于y c,d 一致收敛。连续性定理:设f(x, y)wCa,o;c,d，若 广f(x, y)dx关于y引c,d 致收敛，则 LaI(y) = a f (x,y)dx Cc,d。qQ证明：、Un(y) 致收敛且Un(x,y)连续，由函

10、数项级数的连续性定理，n 4l(y)八 Un(y)连续。可积性:设 f(x, y) Ca,：,c,d，若 f (x, y)dx 关于 y c,d 一致收 敛，则 ad: ：:ddy f (x,y)dx 二 dx f(x,y)dy。c aac证明：利用函数项级数的积分换序定理，则d+d 丫蝌dy a f (x ,y dx 二 c ? Un y( dy n = 1d=? q Un(y)dyd an=?卿 anif ydXdyan dbe d二 a dxc fdy 二 dxc fdy。an i cac注：这仍然是一个积分换序定理。当d =讼时，有下述结论：设 f C a, ： c, ： ， f(x,

11、y)dx 关于 y c,C 一 致收敛(_C c)， a,c f (x, y)dy 关于 X a,A(A a) 一致 收敛，且 乜 d |f(x, y)dy 和Irnij-tJThHlnidy f (x, y) dx 中有一个存在，则dy fdx dx fdy。cacaac可微性：设 f, fy 乏 C a,+ c,d，且 a f (x,y)dx 关于 yc,d 致收敛，fy(x,y)dx 关于 y c,d 一致收敛，贝U I (y) f (x, y)dx 在c,d可微，且 a aI r(y) = ffy(x,y)dx o含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则定义6.1 (含参量反常积分)

12、设函数f( x, y定义在无界区域R =(x,y)|a乞xb,c乞y ：=上，若对每一个固定的x，a,bl，反常积分f (x, y)dy( 1)都收敛，则它的值是x在l.a,b 1上取值的函数，当记这个函数为I(x)时，则有I（x）= jjf （x，y）dy,xw a,b ,（2）称（1）式为定义在la,b 1上的含参量x的无穷限反常积分定义6.2若含参量反常积分（1）与函数I（x）对任给的正数:，总存在某一实数，N . c , 使得当M .N时，对一切X- a,b，都有MJc f （x, y）dy-l（x） s即-boIM f （x,y）dy c，使得当A,AM时，对一切x壬a,bl，都有A

13、2!A f （x, y）dy例6.1证明含参量反常积分严dy （3）0 y在B严上一致收敛（其中6 0），但在（0,址）内不一致收敛证明做变量代换u = xy，得叫y =0yAx:sinu ,duu(4)r sin u其中A 0.由于0 du收敛，故对任给正数；，总存在正数M，使当A M，就0 u有严sinu ,du A u9取A、： . M，则当a M时，对一切x _ 0，由（4）式有6csin xy _Ja 亍dy10#所以（3）式在x_. .0上一致收敛.现证明（4）在（0,=）内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数；o ,使对任何实数M （ .c），总相应地存在某个A .

14、 M及某个la,bl，使得-bofA f(x,y)dy X由于非正常积分;SinUdu收敛，故对任何；0和M，总存在某个x（ 0），使得0 u:sin uMx,”农i nu ,du f0 du 5，u、0u:sin u二sin u:：sin u ,.pdu ；0 ：亦=” 0 =du（5）现令1：snudu，由（4）及不等式（5）的左端就有2 0 u二沁 du 2。- 二 0Mx u所以（3）在（0,；）内不一致收敛7、Cauchy收敛准则在在证明相关定理中的应用7.1 Cauchy收敛准则在证明牛顿一莱布尼茨公式中的运用定理7.1若函数f（x）在l.a,b 1上连续，且存在原函数F（x），即

15、F x fx , x l.a,bl, 则 f在 la,b 1 上可积，且 、（x）dx 二 F（b）-F（a）（ 1）a证 由定积分定义，任给20，要证为0, 当IIT|c6时，有十f (U件-F(b)-F(a)呂，下证满足要求的6存在性，事实上，对于Ia,b的任 一分割T】a =Xo,Xi,人二bl,在每个小区间Xi,Xj 上对F(x)用拉格朗日中值定理， 分别(xi 1，xi)，* =1,2，,n,使得nnnF(b)F(a)-J|F(Xi)-F(Xi丿八 F(尸Xi，f(尸 x*(2)i 丄-7n 士因为f(x)在la,b 上连续，从而一致连续，对上述名 0 0，当 x, xe la, b

16、且 xx时，有f X -f Xb a11#于是当AXi wm务时，任取i E (xjX ，便有I-叫曲，这就证得n三 f(q 紳-F(b)F(a 屮f i -f i-Xi#nnz f() f (q #Xj 弋乏 =名.i ib -a i =i所以f在la,b 上可积，且有公式(1)成立。7.2 Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用定理7.2 一致连续性定理：若函数f (x)在区间l.a,b 1上连续，则f(x)在区间l.a,b】上一 致连续。证明 由f(x)在la,b 1上的连续性，任给；0,对每一点x l.a,bl，都存在：x 0，使 得当X U X；、时，有考虑开区间集合H = U lx,x氐“，显然H是l.a,b】的一个开覆盖,由有限覆盖