例1：如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD

1、例1 :如图， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交 AC于点D, CE垂直于BD, 交BD的延长线于点 E。求证：BD=2CE思路分析：1题意分析：此题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2 解题思路：要求证BD=2CE可用加倍法，延长短边，又因为有 BD平分/ ABC的条件，可以 和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长 BA，CE交于点F，在 BEF和 BEC中，/ 1 = / 2，BE=BE，/ BEF= / BEC=90 ，I I BEF A BEC,. EF=EC，从而 CF=2CE。又/ 1+ / F=Z 3+ / F=90，故/ 1

2、= / 3。_I ,-1,.-|* .X 在 A ABD 和 A ACF 中，t/ 1 = / 3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ， A ABDB A ACF，. BD=CF， BD=2CE。y Ji* |* l : I |解题后的思考：等腰三角形“三线合一性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解 题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空 间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。2假设遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利 用的思维模式是全等变换中的“旋转。例2：

3、如图， A ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：A ABC是等腰三角形。思路分析：1题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识。2解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，此题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长 AD至U E，使DE=AD，连接 BE。又因为 AD是BC边上的中线， BD=DC又/ BDE= / CDAA BED A CAD,故 EB=AC，/ E= / 2， AD是/ BAC的平分线/ 仁/ 2，

4、/ 仁/ E， AB=EB从而AB=AC即卩 ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可 得到全等三角形。3遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3:，如图，AC平分/ BAD CD=CB ABAD 求证：/ B+Z ADC=180。思路分析：1题意分析：此题考查角平分线定理的应用。2 解题思路：因为AC是Z BAD的平分线，所以可过点C作Z BAD勺两边的垂线，构造直角三 角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作C

5、EL AB于E，CF丄AD于F。 AC平分Z BAD CE=CF_I jn,*.!*. X在 Rt CBE和 Rt CDF中，vCE=CF CB=CD Rt CBE Rt CDFZ B=Z CDFvZ CDFZ ADC=180， Z B+Z ADC=180。解题后的思考： 关于角平行线的问题，常用两种辅助线； 见中点即联想到中位线。4过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移或“翻转折叠例4:如图， ABC中, AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,假设EB=CF ?求证：DE=DF思路分析：1题意分析：？此题考查全等三角形

6、常见辅助线的知识：作平行线。2 解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形 DEB与 DFC不可能全等，又知 EB=CF，所以需通过添 加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G那么Z EGBZ ACB又 AB=AC：Z B=Z ACB Z B=Z EGB Z EGDZ DCF EB=EG=CFvZ EDBZ CDFDGE A DCF DE=DF解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例 5: ABC中，/ BAC=60，/ C=40 , AP平分/ BAC交 BC于 P,

7、 BC平分/ ABC交 AC于 Q 求 证：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2解题思路：此题要证明的是AB+BP=BQ+A彫势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过0作BC的平行线。得AQO得到OD=O,AD=AQ只要再证出BD=O就可以了。解答过程：证明：如图1,过0作OD/ BC交AB于 D,/ ADON ABC=180 60 40 =80,又/ AQON C+Z QBC=80 ,?/ ADOZ AQO?又 tZ DAOZ QAO OA=AO ? ADO AQO_I jyI .I *,7

8、 X? OD=O,AD=AQ ?又OD/ BP, ?/ PBOZ DOB ?又PBOZ DBO ?/ DBOZ DOB BD=OD又BPAZ C+Z PAC=70 , ?Z BOPZ OBAZ BAO=70 ,Z BOPZ BPO BP=OB? AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=A?+BQ?解题后的思考：1此题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形,即“截长法。2此题利用“平行法的解法也较多，举例如下：如图2,过O作OD/ BC交AC于D,那么厶ADO ABO从而得以解决。如图5,过P作PD/ BQ交AC于D,那么厶ABPA ADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助

9、线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同 的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。 从变换的观点可以看到，不管是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋 转中心的旋转变换构造了全等三角形。5截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6：如图甲，AD/ BC,点 E在线段 AB上,Z ADf=Z CDE Z DCEZ ECB 求证：CD=AE+BC。思路分析

10、：1题意分析：？此题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2解题思路：结论是CBAE+BC,可考虑用“截长补短法中的“截长,即在CD上截取CF=CB 只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而到达简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC,如图乙 FCEA BCE(SAS ,/ 2=Z 1。又 AD/ BC,:丄 AD(+Z BCD：180,/ DC&Z CD=90,/ 2+Z 3=90,/ 1 + Z 4=90,/Z 3=/ 4。在厶 FDEg ADE中, FDEAADE(ASA ,_ 1 1/. DF=DA CD=DF+CF, CD=AE+BC。_I

11、 J-*.I* jZ 弋 。试题答案/ I1、分析：因为平角等于180,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中 缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF丄BC于点F,如图1-2 Rt ADERt CDfHL), / DAE：/DCF又/ BAD/DAE：180, / BAD/DC=180,即/ BAD/BC=1802、分析：与1相类似，证两个角的和是180,可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证 明/BCf=/ EAP因而此题适用“补短进行全等三角形的构造。证明：过点P作PE垂直BA的延

12、长线于点E,如图2-2 Rt APE Rt CPDSAS), / PAE：/PCD又/ BAP/PAE=180。 / BAP+Z BCf=1803、 分析：从结论分析，“截长或“补短都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD或 在AB上截取AF=AG证明：方法一(补短法)延长 AC到 E,使 DC=CE,那么/ CDEZ CED 如图 3-2 AFDAACD(SAS , DF=DC / AFD=Z ACD又/ AC* 2/ B, / FDB=Z B, FD=FB AB=AF+FB=AC+FDAB=AC+C。4、证明：方法一将DE两边延长分别交AB AC于M N,在厶 AMN中, AM+AN

13、MD+DE+NE?在厶 BDM中, MB+MDBD?在厶 CEN中, CN+NECE?由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC方法二：图4-2延长BD交AC于F,延长CE交BF于6在厶ABF GFCffiA GDE中有：丨 AB+AFBD+DG+GF?？GF+FCGE+CE?？DG+GEDE?？由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE七EC5、分析：要证 AB+AC2AD由图想至U： AB+BDADAC+CDAD所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD 左边比要证结论多B

14、D+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD即加倍中线，把所要 证的线段转移到同一个三角形中去 ACDA EBDSAS BE=CA全等三角形对应边相等在 ABE中有：AB+BEAE三角形两边之和大于第三边 AB+AC2AD6分析：欲证AC=BF只需证AC BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有 AC BF的两个 全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个 三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为根底三角形，转移线段 AC使AC BF在三角形BFH中方法一：延长 AD到H,使得DH=AD连结BH证明 ADCP HDB全等，得AC=BH 通过证明/ H=Z BFH得到BF=BH ? ADCA HDBSAS ?AC=BH ?Z H=Z HAC ?EA=EF ?Z HAE2 AFE又 ?Z BFHW AFE BH=BF BF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明 ADCPA HDB全等即可。 小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线？可以得到两个全等三角形。而过一点作直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全