平面向量基本定理及坐标表示.doc

1、平面向量基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、 2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设 a ( x1， y1) ， b ( x2， y2) ，则ab ( x1 x2， y1 y2) ， a b ( x1 x2， y1 y2) ，a(1，1)，|a| x2211.x yy(2) 向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 (1，1)， (2，2) ，则

2、(x21，21) ，| ? 21?2 ? 21?2.A xyB xyABxyyABx xy y3. 平面向量共线的坐标表示设 a ( x1， y1) ， b ( x2， y2) ，其中 b b?x1y2 x2y1 0.1. 判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打“”或“” )(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2) ( )在 ABC中，向量 AB， BC的夹角为 ABC.(3) 若 a， b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2. ( )(4) 平面向量的基底不唯一， 只要基底确定后， 平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(5)若a (x1，

3、1)， (x2，2) ，则的充要条件可表示成x1y1( ) .ybya bx2y21(6)已知向量 a (1 sin， 1) ， b ( 2，1 sin ) ，若 ab，则 等于 45.( )2. 已知点 A(6,2)， B(1,14)，则与 AB共线的单位向量为 _.512512答案( 13，13) 或 ( 13， 13)解析因为点 A(6,2)，B(1,14) ， 13，所以 AB (5,12) ， | AB|1AB与 AB共线的单位向量为13( 5,12)| AB|5，12().13133. 已知 A( 3,0)， B(0,2)， O为坐标原点，点C在 AOB内， | OC|22，且 A

4、OC4 ，设 (R)，则的值为 _.OCOA OB答案23解析过C作x轴于点(图略).CEE由 2，知AOC4OE CE所以 OC OEOB OA OB，即，OEOA2所以 ( 2,0)( 3,0) ，故 3.4. 在 ?ABCD中， AC为一条对角线， AB (2,4)， AC (1,3)，则向量 BD的坐标为 _.答案( 3， 5)解析 ABBC AC， BC AC AB( 1， 1) ， BD AD ABBC AB ( 3， 5). 215. 在平面直角坐标系中，| AC|O为坐标原点， A、B、C三点满足 OC OA OB，则 _.33| AB|答案13解析21，OC 3OA3OB 1

5、11 1|AC| 1 OC OA 3OA 3OB 3( OB OA) ， AC 3AB， 3.| AB|题型一平面向量基本定理的应用例1在 ABC中，点 P 是 AB上一点， 且 CP213CA3CB， Q是 BC的中点，AQ与CP的交点为M，又 CM tCP，试求t的值 .思维启迪根据题意可选择AB，AC为一组基底， 将 CM，CP线性表示出来， 通过 CM tCP键立关于t的方程组，从而求出t 的值 .21解 CP 3CA 3CB，3CP 2CACB，即 2CP 2CACB CP，2AP PB，即 P为 AB的一个三等分点( 靠近点 A) ，如图所示 . A，M， Q三点共线， x设 CM

6、 xCQ(1 x) CA 2CB ( x 1) AC，而 ， x ( x 1).CBABACCM2AB2AC 1又 CP AP AC3AB AC，由已知 CMtCP可得，xx1 2AB( 2 1) ACt( 3AB AC) ，xt2 3，解得 t3 .x 1 t42思维升华平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解 .如图，在 ABC中，1AN3NC， P 是 BN上的一点，若 AP2 mAB 11AC，则实数 m的值为 _.3答案11解析 设| y， | | ，BPPNx1x则 AP

7、 AN NP4AC x yBN， y APAB BP AB x yBN，yx得 x y，APx yAB4?x y?ACy283令 4?x y?11，得 y3x，代入得 m 11.题型二平面向量的坐标运算例2已知 A(1 ， 2) ， B(2,1)， C(3,2)，D(2,3) ，(1)求AD 2BD 3BC；(2)设CM 3CA， CN2BC，求 MN及 M、 N点的坐标 .思维启迪(1) 直接计算 、 、 的坐标，然后运算；ADBD BC(2) 根据向量的坐标相等列方程求点M， N的坐标 .解 (1) A(1 ， 2) ，B(2,1) ，C(3,2) ，D( 2,3) ， AD ( 21,3

8、 2) ( 3,5) ，BD( 22,3 1) ( 4,2) ，BC(3 2,2 1) (1,1) ， AD 2BD 3BC ( 3,5) 2( 4,2) 3(1,1) ( 3 8 3,5 4 3) ( 14,6).(2) 3， 2，CMCA CNBC MN CN CM2BC 3CA 2BC 3AC， (1 ， 2) (2,4).由 A、 B、 C、D点坐标可得 AC (3,2) MN 2(1,1) 3(2,4) (4,10).设 M( xM， yM) ， N( xN， yN). ，又 CM 3CA， OM OC 3( OA OC) (M，M) (3,2) 3(1， 2) (3,2) ( 6，

9、 12).x y xM 3， yM 10， M( 3， 10).又 CN 2BC，即 ON OC 2BC， ( xN， yN) (3,2) 2(1,1) ， xN1， yN 0， N(1,0).思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行. 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.已知A( 2,4)， B(3 ， 1) ，C( 3，4). 设AB a，BC b， CAc，且 CM 3c， CN 2b，(1) 求 3a b3c；(2) 求满足 amb nc 的实数 m， n；(3) 求 M、 N的坐标及向量 MN的坐标 .解

10、由已知得 a (5 ， 5) ， b ( 6， 3) ， c (1,8).(1)3 a b 3c3(5 ， 5) ( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 3 24) (6 ， 42).(2) mb nc( 6m n， 3m8n) ， 6m n5，m 1，解得 1.3 8 5，mnn (3) 设 O为坐标原点， CM OMOC 3c， ( 3， 4) (0,20). OM 3c OC (3,24) (0,20).又 2 ，MCN ON OCb 3， 4) (9,2)， ON 2bOC (12,6) ( (9,2). (9 ， 18).NMN题型三向量共线的坐标表示例3(1) 已知梯

11、形 ABCD，其中 AB CD，且 DC 2，三个顶点(1,2)， (2,1)， (4,2)，则点D的坐标为 _.ABABC(2) 已知向量 a (3,1) ， b (1,3) ， c ( k, 7) ，若 ( a c) b，则 k _.思维启迪(1) 根据向量共线列式求相关点的坐标；(2) 根据向量共线求参数 .答案(1)(2,4)(2)5解析(1) 在梯形ABCD中， DC 2AB， DC 2AB.设点 D的坐标为 ( x， y) ，则 DC (4,2)( x， y) (4 x, 2 y) ， (2,1) (1,2) (1 ， 1) ，AB (4 x, 2 y) 2(1 ， 1) ，即 (

12、4 x, 2y) (2 ， 2) ，4 x 2x 2，解得，故点D的坐标为(2,4).2 y 2y 4(2) 依题意得 a c (3,1) ( k, 7) (3 k， 6) ，又 ( a c) b，k 6故 1 3 ， k 5.3思维升华(1) 两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a ( x1， y1) ， b ( x2， y2) ，则 a b 的充要条件是x1y2 x2y1 0；若a b( a0) ，则b a.(2) 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(1) 已知向量a (1,2) ， b (1,0) ，c

13、 (3,4).若为实数， (ab) ，则 _.c(2)，m， 3m) ，若点 A、B、 C能构成三已知向量 OA (34) ，OB(63) ，OC (5角形，则实数m满足的条件是 _.答案(1)1(2) m122解析(1)a (1,2)，b (1,0)， ab (1,2) (1,0) (1 ， 2) ，由于 ( a b) c，且 c(3,4) ，14(1 ) 6 0，解得 2.(2) 因为 OA (3， 4) ，OB (6 ， 3) ， OC (5 m， 3 m) ，所以 (3,1)，( 1， ).ABBCmm由于点 A、 B、C能构成三角形，所以 AB与BC不共线， 311而当 AB与 BC

14、共线时，有 1，解得 m2，mm1故当点 A、 B、C能构成三角形时实数m满足的条件是 m 2.方法与技巧1. 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2. 平面向量共线的坐标表示(1) 两向量平行的充要条件若 a ( x1， y1) ， b ( x2， y2) ，则ab 的充要条件是ab，这与x1y2 x2y10 在本质上是没有差异的，只是形式上不同.(2) 三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范1. 要区分点的坐标和向量的坐标，向

15、量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况 .2. 若 a ( x1，y1) ，b ( x2，y2) ，则 a b 的充要条件不能表示成x1y1，因为 x2，y2 有可能等x2y2于 0，所以应表示为12 2 10.x yx y一、填空题1.( 2012广东改编 ) 若向量 BA (2,3)， CA(4,7)，则 BC _.答案( 2， 4)解析由于 BA (2,3)，CA (4,7) ，所以 (2,3)( 4， 7) ( 2， 4).BCBA AC，则2. 在 ABC中，点 P 在 BC上，且 BP2PC，点 Q是 AC的中点，若 PA (4,3)， PQ(1,

16、5)BC_.答案( 6,21)解析BC3PC 3(2PQPA) (12,9) 6PQ 3PA (6,30) ( 6,21).3. 若三点(2,2) ， (0)， (0，) (0) 共线，则11的值为 _.AB a,Cbabab答案12解析 AB ( a 2， 2) ， AC ( 2， b 2) ，依题意，有 ( a 2)( b2) 4 0，111即 ab 2a 2b 0，所以 a b 2.4. 如图，在 OAB中， P为线段 AB上的一点， OP xOA yOB，且 BP 2，则x_， _.PAy答案2133222 1解析由题意知 OP OB BP，又 BP 2PA，所以 OP OB3BA O

17、B3( OAOB)3OA 3OB，2 1所以 x ， y .3 35. 已知 ( 3,0)， (0 ， 3) ， 为坐标原点，C在第二象限， 且30， ，ABOAOCOCOA OB则实数 的值为 _.答案1解析由题意知 ( 3,0)， (0,3) ，则 ( 3，3) ，OAOBOC由 AOC30知以 x 轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，333tan150 3 ，即3 3， 1.6. 已知向量a(1,2)，b ( x, 1) ，u a 2b，v 2a b，且 uv ，则实数 x 的值为 _.1答案2解析因为 (1,2)， (x,1)， 2 ， 2 ，abu ab va b所以 u

18、 (1,2) 2( x, 1) (2 x 1,4) ，v 2(1,2) ( x, 1) (2 x, 3) ，又因为 u v，所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0，1即 10x 5，解得 x . 2127.( 2013江苏 ) 设 D，E分别是 ABC的边 AB，BC上的点， AD 2AB，BE 3BC. 若DE 1AB12 的值为 _.2AC( 1， 2 为实数 ) ，则答案12解析如图， 1212) 1 (6DE DB BE2AB3BC2AB3AC AB2121AB3AC，则1 6， 23， 1 2 2.8. 在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 p ( a c，

19、b) ，q ( b a，c a) ，且 pq，则角 C _.答案60解析因为 pq，则 ( a c)( c a) b( ba) 0，222a2 b2 c21所以 a b c ab，22，ab1结合余弦定理知， cosC 2，又 0C180， C60.二、解答题9. 已知 A(1,1) 、 B(3 ， 1) 、 C( a， b).(1) 若 A、 B、C三点共线，求 a、 b 的关系式；(2)若 2 ，求点C的坐标 .AC AB解(1)， b 1).由已知得 AB (2 ， 2) ，AC ( a1 A、B、 C三点共线， AB AC，2( b 1) 2( a 1) 0，即 a b 2.2(2 ，

20、 2) ，(2) AC 2AB， ( a 1， b 1)a 1 4a 5，解得，b 1 4b 3点 C的坐标为 (5 ， 3).10. 如图， G是 OAB的重心， P， Q分别是边 OA、 OB上的动点，且P， G， Q三点共线 .(1)设 ，将 用， ， 表示；PG PQOGOP OQ1 1(2)设OP xOA， OQ yOB，证明： x y是定值 .(1)解 ( )OG OP PG OP PQ OP OQ OP (1 ) OPOQ.(2) 证明 一方面，由 (1) ，得OG(1 ) OP OQ (1 ) xOA yOB；另一方面， G是 OAB的重心， 22111 OG 3OM 32(

21、OA OB) 3OA 3OB.?1? 1， x3而 OA， OB不共线，由，得1y3.1x 3 3 ，1 1解得1 3.x y 3( 定值 ).y备用题1. 设向量 a， b 满足 | a| 25， b (2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 _.答案( 4， 2)解析 a 与 b 方向相反， 可设 a b( 0， 0，O为坐标原点，若、 、C三OAOBaOCabA B12点共线，则 ab的最小值是 _.答案8解析据已知得 AB AC，又 AB ( a1,1)， AC ( b 1,2) ，2(a1) ( 1) 0，2 1，ba b1 2 2a b4a 2b ababb4b4a

22、a 4a b 4 2a b 8，b4a11当且仅当 a b ，即 a4， b2时取等号，1 2 ab的最小值是 8.3. 已知 ABC中，点 D在 BC边上，且 CD 2DB， CD rAB sAC，则 r s 的值是 _.答案0解析，DB ABAD 1 CD AB DBAC AB CD AC，2322 2CD AB AC， CD 3AB 3AC.又 ，r2，s 2，CDrABsAC33 r s 0.14. 已知 A(7,1) 、 B(1,4) ，直线 y 2ax 与线段 AB交于 C，且 AC 2CB，则实数a _.答案2x, 4 y) ，解析 设 C( x， y) ，则 AC ( x 7，

23、 y 1)，CB (1x 7 2?1 x?x 3. AC 2CB，解得y 3y 1 2?4 y?1 C(3,3). 又 C在直线 y ax 上，213 2a3， a 2.5. 设 A，A ，A ，A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 A A A A( R) ，A A A A123413121412113412， D( d, 0)( c， d R) 调( R) ，且 2，则称 A，A 调和分割A ， A . 已知点 C( c, 0)和分割点 A(0,0)， B(1,0)，则下面说法正确的是_.( 填序号 ) C可能是线段 AB的中点； D可能是线段 AB的中点； C，D可能同时在线段 AB上； C，D不可能同时在线段AB的延长线上 .答案解析依题意，若，调和分割点， ，则有 ， ，且112. 若CC DA BACABAD AB 11111是线段 AB 的中点，则有 AC2AB，此时 2. 又