D定积分的定义PPT学习教案

1、会计学1D定积分的定义定积分的定义1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及 x以及两直线bxax,所围成 ,求其面积 A .?A机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah第1页/共29页1xix1ixxabyo1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)

2、()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共29页niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限.令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabyo1xix1ixi第3页/共29页设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分

3、点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为第4页/共29页iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共29页abxo,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确

4、定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共29页baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共29页Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd

5、)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共29页o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略)例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解:将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32ni第9页/共29页o1 xyniiinixf)(1ni

6、in1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注注 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共29页,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n第11页/共29页121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iixninnin111

7、lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 x01ni 1ni第12页/共29页机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn

8、21第13页/共29页baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyix1ix公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.第14页/共29页(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端

9、ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共29页bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共29页abc,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共29页0)(1iinixf则.

10、0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共29页xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共29页.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在)

11、,0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共29页, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共29页oxbay)(x

12、fy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn第22页/共29页计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01T机动 目录 上页 下页 返回 结束 otgv vTt221TgS 第23页/共29页1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理机动 目录 上页 下页 返回

13、 结束 矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算第24页/共29页01xn1n2nn 11. 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1( 0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共29页如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共29页3. P23