近独立粒子的最概然分布习题课讲解

1、第六章 近独立粒子的最概然分布 （习题课）本章题型一、基本概念：1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。2、等概率原理（统计物理学的基本假设） ：平衡态孤立系统的各个微观态出现的概率相等。最概然分布作为平衡态下的分布近似。3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微 观状态数及各分布出现的几率、最概然分布 。1, 2, , l ,12al1, 2, , l ,a1,a2, ,al ,与分布 al 对应的微观状 态数为 al 分布 al 要满 足的条件是：al Nlal l El系统总的微观状态数 总

2、al man almal系统某时刻的微观状态只是其中的一个。 在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的 微观状态al man alm 各态历经假al说。且各微观态出现的概率相等alalmanalmln al0 alml el -玻耳慈曼分布此分布（宏观态）的概率为p almman almman almman alm 1alman almal即：最概然分布几乎就是 孤立系统的平衡态分布。l dal4、热力学第一定律的统计解释：dU dW dQ Ual l dUal d lll 比较可知： dWald ldQl dalll 即：从统计热力学观点看， 做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传

3、热：通过改变粒子分布引起内能变化。 二、相关公式1、分布与微观状态数N! a、 M .B. al lalM .B. lal! l ll、 B.E. al( l al 1)!B.E. l l a!( l 1)!、l!F.D. al l a!( l al)!、cl alN !al!llal ( h0rl )al2、最概然分布玻耳兹曼分布 al l e l玻色 -爱因斯坦分布 al费米 -狄拉克分布 all本章题型、第一类是求粒子运动状态在 空间的相轨迹 :关 键 是 由已 知 条件写 出 广 义坐 标 q 和 广义动 量 p 满 足 的 函数关 系f q, p 0 。、第二类是求粒子能态密度 D

4、；已知粒子的哈密顿量 H 与广义坐标 q 和广义动量 p 满足的函数关系H H q, p ，求粒子能态密度 D 。不同方法有不同步骤，方法有： 方法一：量子力学方法。第一步，解薛定谔方程 H q,p q, p ，求能量本证值 i 第二步，求出粒子能量小于 的量子态数第三步，求出粒子能量在 到 d 范围的量子态数 D d 。方法二：半经典近似法。该方法的依据是：对自由度为 r 的一个粒子，对每一个可能的状态对于 空 间中大小为 hr 的一个相体积元，因此，粒子能量小于的量子态数为dqdphrH q ,p h由此求得粒子能量在到范围的量子态数 D d d d 。d计算步骤：第一步、写出粒子自由度

5、r 和粒子哈密顿 H H q,p 。第二步、由dqdr p求出粒子能量小于的状态数。H q, p h第三步、求出粒子态密度 D d 。例 1 、对于二维自由粒子，在长度 L2内，求粒子在 到 d 的能量范围内量子态数 D d 。方法一：解，量子力学方法 :边长为 L 的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征方程为H 1 P?X2 PY22m设： x,y X xY y 则2222XYXY1 d2X21 d2Y22m22m x2y2XYXYX dx2Y dy2 21 d2 X2 1 d2Y2 2 2 2mX1 ddxX2kx;Y1 ddyY2ky;其中kx ky 2m2解得： x,y X x Y

6、y 1 eikxx kyy 1 e pxx pyy利用周期性边界条件：LL2,yx, Lx, 2x, L2 得：2pxL nx; pyL ny ,nx ;ny 0, 1, 2由上式可知，量子数 nx，ny完全决定了粒子的量子状态。以 nx，ny 为直角坐标轴，构成二维量子数空间，每一组数 nx，ny 对应一个点，它代表个量子态，这种点成为代表点，此空间中边长为 1 的一个正方形（面积为 1）内有 1 个代表点，即相应于 1 个量子态。1 2 2 2由 1 px2 py2 2 2 nx2 n y2 可知，在数空间中能量 的等能线为半径 2mmL21 2 122R nx2 ny2 2 mL2 2

7、的圆，它所包围的面积为 R 2 mL 2 ，而单位面积2 2 2 2 2对应 1个量子态，所以粒子能量小于 的量子态数为 mL 2 ，所以粒2子在 到 d 的能量范围内的量子态数 D d d d 2 L2 mddh 2其中： D2 L2 m 为态密度，显然此情况在数空间态密度是均匀的。h方法二： 解，半经典方法 : 由 1 px2 p y2 可知，在二维动量空间中，2m等能线满足 px2 py2 2m ，等能线为半径等于 2m 的圆，由此求得粒子能量小于 的量子态数：dxdydp xdpy 2 L22 x y 2 L2 mA p x2 py2 2 mh h2 所以粒子在 到 d 的能量范围内的

8、量子态数 D d d d 2 L2 mddh2、第三类确定孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状 态数及各分布出现的几率或求最概然分布。例 2：（1）假设某种类型分子的许可能级为 0、 、 2 、 3 、，而 且都是非简并的，如果体系含有 6 个分子，问与总能量 3 相联系的是什 么样的分布？并根据公式 M.B N!lal 计算每种分布的微观态数 D ,al ! ll并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等） 。（2）、在题（ 1）中，如 0 和 两能级是非简并的，而 2 和3 两个能级分 别是 6 度和 10 度简并。试重复上面的计算。解：（1）粒子的在各能级的分布可

9、以描述如下：能级1, 2 , 3， 4能量值0, ,2 ,3简并度1,1,1，1 ,分布数a1,a2, a4,分布 al 要满足的条件是：a l N 6 ，al l E 3ll满足上述限制条件的分布可以有：D 1 : al 5,0,0,1,0D2 : al 4,1,1,0,0D 3 : al 3,3,0,0,0则各分布所对应的微观态数为：D1 6! 1 6D1 5!D 2 6! 1 30D 2 4!D36! 1 203!3!所以此种情况下体系的总的微观状态数为总12356各分布的几率为：PD1D总1 566 0.107PD2D230 0.53656PDD3200.357562）粒子的在各能级的

10、分布可以描述如下：能级1, 2 , 3， 4能量值0, ,2 ,3简并度1,1,6，10 ,分布数a1,a2, a4,分布 al 要满足的条件是：al N 6 ，al l Ell3满足上述限制条件的分布可以有：D1 : al5,0,0,1,0D2 : al4,1,1,0,0D3 : al3,3,0,0,0则各分布所对应的微观态数为：6! 10 605!6! 64!1806! 13!3!20所以此种情况下体系的总的微观状态数为总 1 2 3 260各分布的几率为：D1 60D 2 1 8 0D3 20PDD10.230 PDD 20.6 9 2 PDD30.0 7 7D1总 260D2 总 2

11、6 0D 3 总 2 6 0例 3： 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和 N.粒子间的相互作 用很弱，可看作是近独立的。 假设粒子可分辨， 处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为： allel 和 all e l其中 l和 l 是两种粒子的能级， l 和 l 是能级简并度。证： 粒子 A 能级，粒子数分布： l al 简并度 l粒子 B 能级，粒子数分布： l al 简并度 l体系两种粒子分布要满足的条件为：al N ， al Nal lal l El l l l分布 al ，对应的微观状态数为N!al!分布 al ，对应的微观状态数为Na!l

12、!l lall则系统的微观态数为 1 2上式表明：当第一类粒子的分布为 al ，而同时第二类粒子的分布为 al时系统的微观态数。在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件al N ， al Nllal lal l E下使 lnln 1 2为极大的分布。利用斯特林公式可得：llln ln 1 2 NlnNallnalalln l N lnNal lnalalln l 由lln 1 2 0 ，得ln 1 2 ln al alllln all al 0而由限制条件可得：al 0 ，al 0lll al l al0l引入拉氏不定乘子 ，得ln 1 2alll alln alllln allln a

13、ll 0ll0all explall expla all all alln ll l l l l根据拉格朗日未定乘子法原理，每个 al 及 al 的系数都等于零，所以得：讨论：（ 1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的 ，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具 有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量， 但不会相互转化。 从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡 时，两子系统有相同的（ 2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统， 则总系统是由两个子系统组 成，在热平衡时，两子系统的温度相等。 由于在热平衡时， 两子系统的温

14、 度相等。从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的 是相同的， 由此可见，参数 是一个与温度有关的量。例 4： 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和 N.粒子间的相互作 用很弱， 可看作是近独立的。 如果粒子玻色子或费米子。 试导出，在平衡 态下两种粒子的最概然分布分别。解： 考虑一般性，系统由 N个玻色子和 N.个费米子组成， 总能量为 E， 体积为 V 时，粒子的分布 al 和 al 必须满足al N ， al Nal lal l El l l l才有可能实现。玻粒子 A 能级，粒子数分布： l al简并度 l费米粒子 B 能级，粒子数分布： l al 简并度 l 玻色子处于分布

15、 al 时，对应的微观状态数为l al 1 ! al ! l 1!费米子处于分布 al 时，对应的微观状态数为al ! l al !则系统的微观态数为 0上式表明：当第一类粒子的分布为 al ，而同时第二类粒子的分布为 al时系统的微观态数。 在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件al N ， al Nll al lal l E 下使 ln 0 ln 为极大的分布。利用斯特林公式可ll得：ln 0 lnlal ln lalalln all ln l lalln lalal ln all ln lll由 ln 0 ，得ln ln l al alln l al al 0la lla l而由

16、限制条件可得：al 0 ，al 0 l a ll a l 0l l l l引入拉氏不定乘子 ， ， ，得lnalall all all l l lln l all alln l all al 0lall l lall l根据拉格朗日未定乘子法原理，每个 al 及 al 的系数都等于零，所以得：ln l alall0lale l 1lnl alall 0al拉 氏 不 定 乘 子 ， ， 由 限 制 条 件 al N ，al Nllal lal l E 确定。ll上式表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中 ， 不同，但相等。第六章 近独立粒子的最概然分布习题解答习题 6.1 试证明，在体

17、积 V 内，在 到 d 的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为： D( )d 2 3V 2m 32 12 dh3证明：P22mdn (P, , )VP 2 sin dPd d1）进行变量代换：1 1 1 1 P (2m ) 2， dP (2m) 2 1 2d2h3代入（ 1）式dn( , , )1 12V 2m sin2d d d2h32m 12对 , 积分mV 1 2 1dn 3 2 d sin d d (2m) 22 3V 2m 2 2d D ( )d 证毕 h习题 6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度 L 内，在 到 d 的能量范围内，量子态数为：D( )d 2L证：一维自由粒子，

18、Px 附近的量子态为LdndPx ；h2Px2Px dPxx d x x 2m m2m 1 dPx2 dPxmmL2于是。 D d dhm而 Px 对应同一能量 ，于是： D 2 L 22L 2x h mh m习题 6.3 试证明，对于二维自由粒子，在长度 L2 内，在 到 d 的能量范围内，量子态数为Dd2 L2md证：二维；在 Px,Py 附近 dPxdPy区间上内的粒子数。SSdn 2 dPxdPy 2 PdPd(s面积 )hh因 P 只与 P 有关( P0) ,故对 积分可得：2mDd2Sh2 PdP2 S P2h22m2 mSm 2 dh22 mS(s=L2)cp 。试求在体习题 6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 积V 内，在 到 d 的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。 解：dn V3 dpxdpydpz V3 p2 sin dpd dhh由于 cp 只与 p 有关，与 、 无关，于是2VD( )dV3 p2 sin dpd d0 0 h34Vp2dp4V2(hc)3以上已经代入了cp d c d p于是，D( )4 V