《弧长和扇形面积》教案-05

1、弧长和扇形面积教案教学内容1. n, 一 n n n二 R的圆心角所对的弧长 L=-1802.扇形的概念;23.圆心角为n n二 R 的扇形面积是 S扇形=360 ；4.应用以上内容解决一些具体题目.教学目标了解扇形的概念，理解n?。的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的 应用. n二 R2 一180通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n。的圆心角所对的弧长 L=和扇形面积S2并应用这些公式解决一些题目.扇=吧1_的计算公式, 360重难点、关键21 .重点：n。的圆心角所对的弧长 L=n，扇形面积$扇=上且及其它们的应用.1803602 .难点：两个公式的应用.3 .关键：由

2、圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程.教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板.教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题.1 .圆的周长公式是什么？2 .圆的面积公式是什么？3 .什么叫弧长？4 师点评：（1）圆的周长 C=2冗R2（2）圆的面积$图=nR2（3）弧长就是圆的一部分.二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R,则：1. 圆的周长可以看作 度的圆心角所对的弧.2. 1。的圆心角所对的弧长是 .3. 2。的圆心角所对的弧长是 .4. 4。的圆心角所对的弧长是 .5. n的圆心角所对的弧长是（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得

3、到:nr: Rn。的圆心角所对的弧长为 360例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料,?试计算如图所示的管道的展直长度，即 AB的长（结果精确到 0.1mm）.c分析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可.解：R=40mm, n=110-的长=-=1140 J76.8 （mm） 180180因此，管道的展直长度约为76.8mm.问题：（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m?的绳子,绳子的另一端拴着一头牛，如图所示：（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过 n角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老

4、师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A （柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积.（2）如果这头牛只能绕柱子转过 n。角，那么它的最大活动区域应该是n0圆心角的两个半径的n0圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图 ：.c像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. （小黑板），请同学们结合圆心面积 S=n R2的公式，独立完成下题：1 .该图的面积可以看作是 度的圆心角所对的扇形的面积.2 .设圆的半径为 R, 1。的圆心角所对的扇形面积S扇形=.3 .设圆的半径为 R, 2。的圆心角所对的扇形面积S扇形=.4 .设圆的半径为 R, 5的圆心角所对的扇形面积

5、S扇形=5 .设圆半径为 R, n。的圆心角所对的扇形面积S扇形=.老师检察学生练习情况并点评12225 二 R2n 二 R21. 360 2. S 扇形=%nR2 3- S 扇形= 6nR2 4. S 扇形=6。5- S 扇形=一鼠因此：在半径为 R的圆中，圆心角n。的扇形_ _2nn RS扇形=360例2.如图，已知扇形 AOB的半径为10, /AOB=60 ,求AB的长(？结果精确到0. 1) 和扇形AOB的面积结果精确到 0. 1)O分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足.解：AB 的长二；( 兀 X 10=?冗=10.55,2-102=100-52.3

6、 3606因此，AB的长为25.1cm,扇形AOB的面积为150.7cm2.三、巩固练习课本P122练习.四、应用拓展例3. (1)操作与证明：如图所示，。是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在。处，并将纸板绕 O点旋转，求证：正方形 ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.B(2)尝试与思考：如图 a、b所示，？将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为 a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度

7、也为定值a.(a)(b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕 O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a,这日正n?边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定 值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由.解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 结 OA、 OD.四边形ABCD是正方形AB、AD?分别交于点 M、N,连，OA=OD , / AOD=90又/ MON=90 . AMO DNO.AM=DNAM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点

8、M与点A （点B）重合时，点 N必与点 为定值a.（出A）重有此时AM+AN 仍故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(2) 120 ;360 70正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是n五、归纳小结本节课应掌握:（学生小结，老师点评）1.n 二 Rn的圆心角所对的弧长 L=1802.扇形的概念.3.2_ 一n 二 R圆心角为n的扇形面积是 S扇形=3604.运用以上内容，解决具体问题.六、布置作业1 .教材P124 复习巩固2 .选用课时作业设计.1、2、3 P125 综合运用 5、6、7.第一课时作业设计一、选择题1.已知扇形的圆心角为120。，半径为6,则扇形的弧长是（

9、).B. 4nC. 5nD. 6nL上，按顺时针方向绕点2 .如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线D旋转到如图的位置，则点 B运动到点B所经过的路线长度为（）A. 1c. V2B. nD. T2 nBA/ID03 .如图2所示，实数部分是半径为 9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（A . 12 nm B . 18nm二、填空题C. 20 nm)D . 24 nm1.如果一条弧长等于JiR,它的半径是4R,那么这条弧所对的圆心角度数为当圆心角增加30时，这条弧长增加4 .如图3所示，OA=30B ,则AD的长是BC的长的 倍.三、

10、综合提高题冗1 .已知如图所示， AB所在圆的半径为 R, AB的长为R,。0和OA、OB分别相切于点C、E,且与。内切于点D,求。的周长.2 .如图，若。O的周长为20冗cm,。A、。B的周长都是 4n cm, O A在O O?内沿。O 滚动，O B在O O外沿。O滚动，。B转动6周回到原来的位置，而。 A只需转动4周 即可，你能说出其中的道理吗？.c3 .如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD , AB=1 , AD= J3 ,将画刷以B为中心，按顺时针转动 A B C D位置（A 点转在对角线 BD上），求屏幕 被着色的面积.答案：一、1.2.1.45D 3.1-二 R6

11、2. 3、1.连结 OD、OC,则O在OD上由 1AB = R,解得：/ AOB=60AB 3R,所以。的周长为2冗 r=2 n R.31由RtOO C?解得。O的半径r=-32 . O O O A 。B 的周长分别为 20ncm, 4ncm, 4n cm, 可求出它的半径分别为10cm、？2cm、2cm,所以 OA=8cm , OB=12cm ,因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，所以。A滚动回原位置经过距离为2nx8=16冗=4兀X 4,而O B滚动回原位置经过距离为2nx 12=24冗=4n X 6.因此，与原题意相符.3 .设屏幕被着色面积为S,则 S=SaaBD +S 扇形 B

12、DD +$ BCD =S 矩形 ABCD +S 扇形 BDD ,连ZBD ,在 RtAA BD 中，A B=1 , A D =AD= J3 ,24.4弧长和扇形面积（第2课时）教学内容1 .圆锥母线的概念.2 .圆锥侧面积的计算方法.3 .计算圆锥全面积的计算方法.4 .应用它们解决实际问题.教学目标了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用 公式解决问题.通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它 解决现实生活中的一些实际问题.重难点、关键1 .重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式.2 .难点：探索两个公式的由来.3 .关

13、键：你通过剪母线变成面的过程.教具、学具准备直尺、圆规、量角器、小黑板.教学过程一、复习引入1 .什么是n。的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点.2 .问题1： 一种太空囊的示意图如图所示，？太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组 成的.老师点评：（1） n圆心角所对弧长：L= n-R , S扇形=nn R ,公式中没有n ,而是n； 180360弧长公式中是 R,分母是180;而扇形面积公式中是 R,分母是360,两者要记清，不能混淆.（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上

14、的侧面积，？圆柱的侧面积和底圆的面积.这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，？但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它.二、探索新知我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点 和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.（学生分组讨论，提问二三位同学）问题2:与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L, ?底面圆的半径为r, ?如图24-115所示，那么这个扇形的半径为 ,扇形的弧长为 , ?因此圆锥的侧面积为 ,圆 锥的全面积为.老师点评：

15、很显然，扇形的半径就是圆锥的母线， ？扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因, 2_ . 2此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=nL,其中 n 可由 2n r=1L 求得：n=360r360180l360r ,2l?，扇形面积 S= -1= n rL ;全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积360=n rL+r2.例1.圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为 58cm,高为20cm,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）分析：要计算制作 20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积.解：设纸帽的底

16、面半径为rcm,母线长为Lcm ,则22.0358 r=S纸帽侧=rL = _ X 58X 22.03=638.87 (cm)638.87X 20=12777.4 (cm2)所以，至少需要12777.4cm2的纸.例2.已知扇形的圆心角为120 ,面积为300n cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少?分析：(1)由S扇形=嘿求出R再彳弋入L=nA 求得.(2)若将此扇形卷成一个圆锥,?圆锥母线?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径, 为腰的等腰三角形.解：(1)如图所示：P120 二 R2 一” ：.300 二

17、= /.R=30弧长L=360120 二 30 =20 n (cm)180(2)如图所示：. 20 二=20 二 r.r=10, R=30AD= 900 -100 =20 2.-.S 轴截面=1 X BCX AD2=-X2X 10X20 ,2 =200 ,2 (cm2)2因此，扇形的弧长是 20ncm卷成圆锥的轴截面是 200&cm2 三、巩固练习教材P124 练习1、2.四、应用拓展例3.如图所示，经过原点O(0,0)和A(1,-3),B(-1 , 5) ?两点的曲线是抛物线 y=ax2+bx+c (aw0).(1)求出图中曲线的解析式；(2)设抛物线与 x轴的另外一个交点为 C,以OC为直

18、径作。M,被口果抛物线上一点 P作。M的切线PD,切点为D,且与y轴的正半轴交点为 E,连结MD,已知点E的坐标为(0, m),求四边形EOMD的面积(用含 m的代数式表示).(3)延长DM交。M于点N,连ZON、OD,当点P在(2)的条件下运动到什么位置时, 能使得S四边形EOMD =SaDON请求出此时点P的坐标.解：(1) O (0, 0), A (1, -3) , B (-1 , 5)在曲线 y=ax2+bx+c (a0)上0 = c，* -3 =a +b +c5 = a b +c解得 a=1, b=-4 , c=0，图中曲线的解析式是 y=x2-4x(2)抛物线y=x2-4x与x轴的

19、另一个交点坐标为c (4, 0)连ZEM,O M的半径为2,即OM=DM=2.ED、EO都是。M的切线EO=ED EOM EDMS 四边形 eomd=2S4ome=2X - OM - OE=2m 2(3)设点D的坐标为(x0, y)Sdon =2Sdom =2 X OM X y0=2y02二. S四边形ecmd =Sadon 时即 2m=2y, m=y1 .- m=y0ED / x 轴又 ED为切线 D (2, 2) 点P在直线ED上，故设P (x, 2). P在圆中曲线y=x2-4x上2=x2-4x解得：x=46亘=2土石2 Pi (2+而，0), P2 (2-76 , 2)为所求.五、归纳小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1 .什么叫圆锥的母线.2 .会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题.第二课时作业设计一、选择题1 .圆锥的母线长为13cm,底面半径为5cm,则此圆锥的高线为()A . 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm2 .在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，？用剩余部分制作成一个底面直径为80cm,母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为()A . 228B. 14