2004年普通高等学校招生全国统一考试理科湖南卷

1、、选择题:共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的2.3.4.复数（1A 4i!）4的值是i如果双曲线13B. 4iC. 4D. 4x2132 y121上一点P到右焦点的距离等于,13，那么点P到右准线的距离51 （x）是函数设ff (a b)的值为A. 1f(x)D. 113Iog2(x 1)的反函数，若1 f 1(a)1 f 1(b) 8，则B. 13C. 5B. 2C. 3D. log 2 3把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成2004年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工类） 第I卷（选择题

2、本大题 共12小题，每小题5分，共60分，的角的大小为A. 90 B. 60C. 45D. 305.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取 7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为。则完成、这两项调查宜采用8.数列an中,a11,ananN*,则 lim (a1x na2an)A.B.C.丄4D.A分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法设函数 f(

3、x)x2 bx c,x0,0,若f( 4)f(0), f ( 2)2,则关于x的方程2,x0.f （x） x解的个数为( )A 1B . 2C . 3D. 4设a 0,b0,则以下不等式中不恒成立.的是1 1A (a b)()4a b3| 3i 2B . a b 2abC. a2 b22 2a 2bD . . | a b |、a . b)6.(7.的抽样方法依次是（9 .设集合 U (x,y)|x R,y R, A ( x, y) | 2x y m 0, B ( x, y) | x y n 0，那么点 P( 2,3)A(J)的充要条件是()A.m1, n5B. m1,n5C.m1, n5D.m

4、1,n510 .从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为()A 56B. 52C. 48D. 4011.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元),预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%勺年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于()A 4200 元 4400 元B. 4400 元4600 元12 .设f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当x 0时，f (x)g(x)f(x)g (x)且g(

5、3)0,则不等式f (x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3,)B. ( 3,0)(0,3)C.(,3)(3,)D. (, 3)(0,3)第n卷(非选择题共90分)C . 4600 元 4800 元D. 4800 元 5000 元二、填空题：本大题 共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。13.已知向量a=(cos ,sin )，向量b=( 3, 1)，则|2 a-b|的最大值是 .14 .同时抛物线两枚相同的均匀硬币，随机变量E=1表示结果中有正面向上，E=0表示结果中没有正面向上,15 .若(x3的展开式中的常数项为贝 y e e =.84,则 n=21 个不同的点 Pi

6、 (i =1, 2, 3，),使 |FP1| , |FP2| ,|FP3| ,组成公差为d的等差数列，则三、解答题：本大题 共6小题，共74分. 17 .(本小题满分12分)1 已知 sin( 2 ) sin( 2 ),444d的取值范围为.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(一),求2sin 216 .设F是椭圆 J 1的右焦点，且椭圆上至少有76tan cot 1 的值.4 218 .(本小题满分12分) 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不1 1是一等品的概率为 丄，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概

7、率为,甲、丙两台机4122床加工的零件都是一等品的概率为一9(I)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(n)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率19 .(本小题满分12分)如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中，/ ABC=60, PA=ACa, PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1. (I )证明PA!平面ABCD(II )求以AC为棱，EAC与 DAC为面的二面角的大小；(川)在棱PC上是否存在一点 F,使BF/平面AEC?证明你的结论D20 .(本小题满分12分)已知函数f(x) x2eax,其中a 0,e为自然对数的底数(I

8、)讨论函数f (x)的单调性；(n)求函数f(x)在区间0,1上的最大值.21 .(本小题满分12分)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点 P (0,m) (m0)作直线与抛物线交于 A, B两点，点Q是点P关于 原点的对称点(I )设点P分有向线段AB所成的比为，证明：qp (QA QB)；(II )设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆 C的方程022 .(本小题满分14分)1 11如图，直线11 : y kx 1 k(k 0, k )与l2 : y x 相交于点P.直线11与x轴交于点P1,过点2 22P1作x轴的垂线交直线丨2于点

9、Q,过点Q作y轴的垂线交直线l 1于点P2,过点P2作x轴的垂线交直线l 2于点Q,，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q、P2、,点Pn(n=1, 2,)的横坐标构成数列xn.1(I)证明 xn 11 (xn 1), nN* ;2k(n)求数列 Xn的通项公式；(川)比较2 | PPn |2与4k2 | PP1 |25的大小.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案(文史类湖南卷)1.D 2.A 3.B4.C 5.B 6.C 7.B 8.C9.A 10.C 11.B12.D13. 4 14.0.7515. 9161. ,0)(0,丄101017 解：由sin(2 ) sin(2

10、)sin(2 )得 cos4-si n(42 25cos( 2 )4-cos 42是 2 si n2tan cot 1cos212 .2 sin2cossin cos5432 cot )(62cos22 cos 2 sin 25 3.2/5(cos 6乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件2.3)P(A B)154P(A)(1P(B)154由题设条件有P(B C)112即 P(B)(1P(C)112P(A C)29.P(A)P(C) i解：(I)设A B、C分别为甲、(cos 22 cot 2 )92由、得 P(B) 1P(C)代入得 27P(C) 51P(C)+22=0.82 11解得

11、P(C) 2或(舍去).3 92 11将 P(C)分别代入、可得 P(A) , P(B) .3 34即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是(n)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件,则 P(D) 1 P(D) 1(1P(A)(1P(B)(1P(C)故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为19 . (I)证明因为底面ABCD是菱形，/ ABC=60 ,所以AB=AD=AC=, 在厶PAB中， 由 PA2+A=2a2=PB2 知 PAL AB.同理，PAL AD,所以PAL平面 ABCD.(n)解 作EG/PA交AD于G 由PAL

12、平面ABCD.知 EGL平面 ABCD作 GHL AC于 H,连结 EH, 则EHL AC, / EHG即为二面角 的平面角.1 2a.又 PE : ED=2 : 1 ，所以 EG a,AG a,GH AGsin 603 3从而 tan EG 3,30 .GH 3（川）解法一 以A为坐标原点，直线 AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建 立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为屈131A(0,0,0), B( a,a,0),C(a, a,0).22222 1 D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a, a).332 1” d 31(0,2a,】a)

13、,AC(丄 aaQ).3 322-、：31(0,0,a), PC ( a, a,2 2所以AEAPa).设点BFBP(-23a,2a,a).F是棱PC上的点，PFBP PF12 a,PCa)(a2(.3(一1,a21,2 aa ),其中01,则ra(亦(Ta(1評1a(111),2a(13a21a21a31)2,解得),a(1).令BF1AC 2 AE2-亦即， 又BF 解法二 证法一1J2F是PC的中点时，EM2BF、1 时，BF2AC、AE共面.1 3 - AC AE.2 2平面AEC所以当F是棱PC的中点时， 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC 取PE的中点 M,连结FM贝U FM/

14、CE.1PE ED,知E是MD的中点.2BD设连结所以 由、知，平面又BF证法二BMBM/OE.BD AC=O贝U O为BD的中点.BFM/平面 AEC.平面BFM 所以BF/平面AEC.BF/平面AEC.因为BF BC 丄 CP AD 丄(CD DP)2 21 3 1 3 AD CD DE AD (AD AC) - (AE AD)2 2 2 23 1AE AC.22所以 BF、AE、AC共面.又BF 平面ABC 从而BF平面AEC.20解：(I) f (x) x(ax 2)eax.(i )当 a=0 时，令 f (x)0,得x 0.若x 0,则f (x) 0,从而f(x)在(0,)上单调递增

15、；若x 0,则f (x) 0,从而f (x)在(，0)上单调递减.2(ii )当 a (x2, y2),则x-i、X2是方程的两根. 所以 x1x24m.由点P (0, m分有向线段 AB所成的比为 ，得空x2 0,即 $.1x2又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是(0, m,从而QP (0,2m).QAQB(兀,ym)QP(QAQB)2my122口乞42m(x1所以QP(QAQB).(X2,y2 m)(为X2,y1Y2(1)m).Y2(1)m%X：x1x2 4m(1-)n2m(xX2)x24x24x24m 4mX2)0.4X2x 2y 120,(n)由 2得点A B的坐标分别是(6, 9)、( 4, 4)x24y,由 x2 y 得 y 1 x2, y 1 x,4 2b91则ab3,(a6)2(b9)2(a4)2(b4)2.解之得a3-,b232,r(a4)2(b4)2125222所以圆