极坐标与参数方程

1、1. 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x, y)和(p,()，贝Uor? 2. 直线的极坐标方程假设直线过点M(p, Q),且极轴到此直线的角为 a,那么它的方程为 pin( 0 a =psin( 0 a).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1) 直线过极点：0= a；(2) 直线过点M (a,0)且垂直于极轴：pos 0= a;(3) 直线过点M(b,)且平行于极轴：psin0= b.3. 圆的极坐标方程假设圆心为M(p, 0),半径为r的圆的方程为2 2p 2ppc

2、os( 0)+ p r = 0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1) 圆心位于极点，半径为 r:尸r;(2) 圆心位于 M(r,0)，半径为r: p= 2rcos0(3) 圆心位于 M(r,)，半径为r: p= 2rsin04. 直线的参数方程过定点M(xo, yo),倾斜角为a的直线I的参数方程为(t为参数).5. 圆的参数方程圆心在点M(X0, y0)，半径为r的圆的参数方程为(0为参数，0W 00)的参数方程为.真题感悟1. (2021广东)曲线C的极坐标方程为p= 2cos0,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，那么曲线 C的参数方程为.2. (2021江西)设曲线C的参数方

3、程为(t为参数)，假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么曲线C的极坐标方程为 .3. 2021湖北在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，ab0,在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴中，直线I与圆O的极坐标方程分别为 pin0+ = mm 为非零常数与尸b.假设直线I经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，那么椭圆C 的离心率为.4. 2021陕西在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A， B分别在曲线Ci: 0为参数和曲线C2:尸1上，贝U AB的最小值为.5. 2021湖南在直角

4、坐标系xOy中，曲线C仁t为参数与曲线C2：0为参数，a0有一个公共点在x轴上，那么a =.6. 2021广东卷坐标系与参数方程选做题在极坐标系中，曲线C1与C2的 方程分别为2 pos题型与方法题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化【例1】直线I的参数方程：t为参数和圆C的极坐标方程： 尸2sin0为参 数.1将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；2判断直线l和圆C的位置关系.变式训练1直线l的参数方程是t为参数，圆C的极坐标方程为4cos. 将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； 假设圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值.题型二曲线的极坐标方程【例2】

5、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲 线C的极坐标方程为pcos= 1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.1写出曲线C的直角坐标方程，并求 M，N的极坐标；2设M，N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.变式训练2 2021辽宁在直角坐标系xOy中，圆C1: x2 + y2= 4,圆C2: x 22 + y2= 4. 0 = sin 0与pos0 = 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴 为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线 C1与C2交点的直角坐标为7. 2021湖南卷在平面直角坐标系中，曲线 C: t为参数的普通方程为.8. 2021陕西卷C.坐标

6、系与参数方程选做题在极坐标系中，点到直线 pin= 1的距离是1在以0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Ci, C2的极坐标方程，并求出圆Ci, C2的交点坐标用极坐标表示；2求圆Ci与C2的公共弦的参数方程.题型三曲线的参数方程及应用【例32021福建在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线I上两点M , N的极坐标分别为2,0，圆C 的参数方程为B为参数1设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；2判断直线I与圆C的位置关系.变式训练3直线I的参数方程是t是参数，圆C的极坐标方程为p= 2cos 9 + 1求圆心C的直角坐标；2由直

7、线I上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.【典例】10分在直角坐标平面内，以坐标原点 O为极点，x轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系，点 M的极坐标为，曲线C的参数方程为a为参数1求直线OM的直角坐标方程；2求点M到曲线C上的点的距离的最小值.标准解答1 圆C的参数方程为a为参数，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系，直线I的极坐标方程为psi nA 1,那么直线I与圆C的交点的直I角坐标为2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为a为参数在极坐标系与直角 坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以x轴正半轴为极轴中， 曲线C2的方程为Pcos 9 sin 9 + 1 =

8、 0,那么G与C2的交点个数为3 点Px, y在曲线9为参数，9 R上，贝曲勺取值范围是 4.假设直线11： t为参数与直线l2： s为参数垂直，那么k=.6. 2021 广东在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为t为 参数和9为参数，那么曲线C1与C2的交点坐标为专题限时标准训练一、填空题1 曲线C： a为参数，假设以点OO,O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么该曲线的极坐标方程是2 两曲线参数方程分别为OWXn和t R，它们的交点 坐标为3. 曲线C的参数方程是为参数，a0，直线I的参数方程是t为参数，曲线C与直线I有一个公共点在x轴上，那么曲线C的普通方程 为.

9、4. 2021重庆在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.假设极坐标方程为pcosA 4的直线与曲线t为参数相交于A，B两点，那么AB二、解答题5. 设直线li的参数方程为t为参数，直线I2的方程为y= 3x+ 4,求li与l2间的 距离.6 .在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆为参数的右焦点，且与直线 t为参数平行的直线的普通方程.7. 2021江苏在极坐标系中，圆C经过点P,圆心为直线 pin二一与 极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8. 直线的极坐标方程为psin=，圆M的参数方程其中B为参数，极点在直角坐标原点，极轴与x轴正半轴重合.1将直线的极坐标方程化

10、为直角坐标方程；2求圆M上的点到直线的距离的最小值.9. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C: pin2缸2acosOa0，过点P 2，- 4的直线I的参数方程为直 线l与曲线C分别交于M，N两点.1写出曲线C和直线l的普通方程；2假设 PM，MN，PN成等比数列，求a的值.10. 2021福建在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系，点 A的极坐标为，直线l的极坐标方程为pcos9 =a，且点A在直线l上.1求 a的值及直线l的直角坐标方程；2圆C的参数方程为a为参数，试判断直线l与圆C的位置关系.2021、2021年全国高考理

11、科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程 一、选择题.2021年普通高等学校招生统一考试安徽数学理试题纯WOR版在极坐标系中，圆p=2cos二的垂直于极轴的两条切线方程分别为A. v =0:三 R和】cos=2B. j = R和cos=22JTC.二=一心 R和 Pcos=1D. v =0* wR和cos=12、填空题2021年普通高等学校招生统一考试天津数学理试题含答案圆的极坐标方程为P =4COS日,圆心为C,点P的极坐标为，4匸I；那么| CP=.V 3 .丿2021年高考上海卷理在极坐标系中,曲线T = COST - 1与；COST - 1的公共点到极点的距离为2021年高考北京卷理在极坐

12、标系中,点2,二到直线p sin 9 =2的距离等6于.2021年普通高等学校招生统一考试重庆数学理试题含答案在直角坐标系xOyI中,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.假设极坐标方程为lt2Pcos日=4的直线与曲线彳3 为参数相交于代B两点,那么AB =y =t/ 扩 I 1 I I2021年普通高等学校招生统一考试广东省数学理卷纯W0R版坐标系与参数X =适 cost方程选讲选做题曲线C的参数方程为y=勺sint 为参数,C在点 . |1,1处的切线为，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么 的极坐标方程为.2021年高考陕西卷理C.坐标系与参数方程选做题如图

13、,以过原点的直线的倾斜角日为参数，那么圆x2 +y2 -x =0的参数方程为 .2021年高考江西卷理坐标系与参数方程选做题设曲线C的参数方程为1 X = t2 为参数,假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立ly = t极坐标系,那么曲线c的极坐标方程为2021年高考湖南卷理在平面直角坐标系xoy中,假设X , y = t _at为参数过椭圆C:x =3cos : y = 2sin ;：为参数的右顶点,那么常数a的值为 2021年高考湖北卷理 在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为x 二acosy = bsin va b 0 .在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以

14、原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中,直线与圆O的极坐标方程分别为Psin fe +-Lm m为非零常数与P = b.假设直线经过椭圆CI 4丿2丿的焦点,且与圆O相切,那么椭圆C的离心率为.三、解答题.2021年普通高等学校招生统一考试新课标H卷数学理纯WOR版含答案选修44；坐标系与参数方程x -2cos-动点P,Q都在曲线C:. C-为参数上,对应参数分别为与|y =2sin -P =2a0 vet 0,0 9 2n ).2021辽宁卷选修4-4:坐标系与参数方程将圆x2 + y2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1) 写出C的参数方程；(2) 设直线1: 2x + y-2= 0与C的交点为P1, P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且 与I垂直的直线的极坐标方程.2021新课标全国卷n 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半