灰色系统理论及其应用第二章ppt课件

1、6.1 序列算子序列算子(sequence operator)一、冲击扰动系统预测圈套一、冲击扰动系统预测圈套定义定义6.1.1 设设为系统真实行为序列为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为而观测到的系统行为数据序列为其中其中为冲击扰动项为冲击扰动项,那么称那么称X为冲击扰动序列为冲击扰动序列.要从冲击扰动序列要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列出发实现对真实行为序列X(0)的系的系统之变化规律的正确把握和认识统之变化规律的正确把握和认识,必需首先跨越妨碍必需首先跨越妨碍 .假设不事先排除干扰假设不事先排除干扰,而用失真的数据而用失真的数据X 直接建模、预直接建模、预测，那么会因

2、模型所描画的并非由测，那么会因模型所描画的并非由X(0) 所反映的系统所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败。真实变化规律而导致预测的失败。)(,),2 (),1 () 0() 0() 0() 0(nxxxX ) 0() 0(2) 0(1) 0()(,) 2 (,) 1 ()(,),2 (),1 (XnxxxnxxxXn二、缓冲算子公理二、缓冲算子公理(the axioms of buffer operator)定义定义6.1.2 设系统行为数据序列为设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2), ,x(n) ,假设假设k=2,3, ,n ,x(k)-x(k-1)0那么称那么称X 为单调增长

3、为单调增长序列序列;1中不等号反过来成立中不等号反过来成立,那么称那么称X 为单调衰减序列为单调衰减序列;存在存在k,k1 ,有有 x(k)-x(k-1)0 x(k1)-x(k1-1)0那么称那么称X为随机振荡序列为随机振荡序列.设设 M=maxx(k)|k=1,2, ,n,m=minx(k)|k=1,2, ,n称称M-m 为序列为序列X 的振幅的振幅.定义6.1.3 设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列.序列算子的作用可以进展多次,假设D1,D2,D3皆为序列算子,我

4、们称D1D2为二阶算子,并称X D1D2=(x(1)d 1d2, x(2)d 1d2 , ,x(n)d 1d2)为二阶算子作用序列.公理公理6.1.1(不动点公理不动点公理, Axiom of Fixed Points)设设X为系统行为数据序列为系统行为数据序列,D为序列算子为序列算子,那么那么D满满足足 x(n)d=x(n)公理公理6.1.2(信息充分利用公理信息充分利用公理, Axiom on Suffi-cient Usage of Information)系统行为数据序列系统行为数据序列X中的每一个数据中的每一个数据x(k),k=1,2, ,n,都应充分参与都应充分参与算子作用的全过程

5、算子作用的全过程.公理公理6.1.3(解析化、规范化公理解析化、规范化公理, Axiom of Ana-lytic Representations)恣意的恣意的x(k)d，皆可由一个，皆可由一个一致的一致的x(1), x(2), ,x(n)的初等解析式表达。的初等解析式表达。定义6.1.4 称上述三个公理为缓冲算子三公理(three axioms of buffer operators),满足缓冲算子三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二阶、 缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、 缓冲序列(buffer sequences)。定义6.1.5 设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,

6、衰减序列或振荡序列时:假设缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为弱化算子;假设缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,那么称缓冲算子D为强化算子. 三、缓冲算子的性质三、缓冲算子的性质定理定理6.1.1 设设X为单调增长序列为单调增长序列,XD为其缓冲序列为其缓冲序列,那么有那么有D为弱化算子为弱化算子x(k)x(k)dD为强化算子为强化算子x(k) x(k)d 定理定理6.1.2 设设X为单调衰减序列为单调衰减序列,XD为其缓冲序列为其缓冲序列,那么那么有有D为弱化算子为弱化算子x(k) x(k)dD为强化算子为强化算子x(

7、k) x(k)d定理定理6.1.3 设设X为振荡序列为振荡序列,XD为其缓冲序列为其缓冲序列,那么有那么有D为弱化算子为弱化算子maxx(k) maxx(k)dmin x(k) minx(k)d2 D为强化算子为强化算子maxx(k) maxx(k)dmin x(k) minx(k)d四、适用缓冲算子的构造四、适用缓冲算子的构造定理定理6.1.4 设原始数据序列设原始数据序列X=(x(1),x(2), ,x(n),令令XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d) 其中其中那么当那么当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子皆为弱化

8、算子(weakening operator).推论推论6.1.1 对于定理对于定理6.1.4中定义的弱化算子中定义的弱化算子D,令令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)() 1()(11)(nxkxkxkndkx )() 1()(11)(2dnxdkxdkxkndkx 那么D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化算子。定理6.1.5 设原始序列和其缓冲序列分别为X=(x(1),x(2), ,x(n)XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)其中x(n)d=x(n) 那么当X为单调增长序列或单调衰减序列时,D皆为强化算子(strengthening opera

9、tor).推论6.1.2 设D为定理6.1.5中定义的强化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)那么 D2 对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子.12)() 1()2() 1 ()( kkkxkxxxdkx12)() 1()2() 1 ()(2 kdkkxdkxdxdxdkx定理定理6.1.6 设设X=(x(1),x(2), ,x(n),令令XDi=(x(1)di,x(2)di, ,x(n)di)其中其中 x(1)d1=x(1), x(1)d2=(+1)x(1) x(n)di=x(n) i=1,2那么那么D1对单调增长序

10、列为强化算子对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列为强对单调衰减序列为强化算子化算子.推论推论6.1.3 对于定理对于定理6.1.6中定义的中定义的D1,D2,那么那么 , 分别为分别为单调增长单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子单调衰减序列的二阶强化算子.2)() 1()(kxkxdkxi12D22D6.2 均值生成均值生成(Generations Based on Average) 在搜集数据时,经常由于一些不易抑制的困难导致数据序列出现空缺(也称空穴,blank)也有一些数据序列虽然数据完好,但由于系统行为在某个时点上发生突变而构成异常数据,给研讨任务带来很大困难,这时假设剔除异常

11、数据就会留下空穴.因此,如何有效的填补空穴,自然成为数据处置过程中首先遇到的问题,均值生成是常用的构造新数据,填补老序列空穴,生成新序列的方法.定义6.2.1 设序列X= (x(1),x(2), ,x(k),x(k+1), ,x(n) x(k)与x(k+1)为X的一对紧邻值,x(k)称为前值,x(k+1)称为后值,假设x(n)为新信息,那么对恣意k=n-1,x(k)为老信息.定义6.2.2 设序列X在k处有空穴,记为(k),即X=(x(1), x(2), ,x(k-1), (k), x(k+1), ,x(n)那么称x(k-1) 和x(k+1)为(k)的界值, x(k-1)为前界, x(k+1)

12、为后界,当(k)由x(k-1)与x(k+1)生成时,称生成值x(k)为x(k-1) , x(k+1)的内点.定义6.2.3 设x(k)和x(k-1)为序列X中的一对紧邻值,假设有x(k-1)为老信息, x(k)为新信息X*(k)=x(k)+(1- )x(k-1)那么称X*(k)为由新信息与老信息在生成系数下的生成值(generated value).定义6.2.4 设序列X=(x(1), x(2), ,x(k-1), (k), (k+1), ,x(n),为在 k处有空穴(k)的序列,而X*(k)=0.5x(k+1)+0.5x(k-1)为非紧邻均值生成数,用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为

13、非紧邻均值生成序列(generated mean sequence of nonconsecutive neighbors) .定义6.2.5 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),假设X*(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)那么称X*(k)为紧邻均值生成数.由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列(generated mean sequence of consecutive neighbors).在GM建模中,常用紧邻信息的均值生成.它是以原始序列为根底构造新序列的方法.6.3 级比与光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)当序列的起点和终点为空穴

14、,这时,就无法采用均值生成填补空缺,只需转而思索别的方法.级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法.定义6.3.1 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n)我们称)1()()(kxkxk11)()()(kiixkxk为序列的级比(stepwise ratio).称为序列的光滑比(smooth ratio).定义6.3.2 设X为端点是空穴的序列: X=(1), x(2), ,x(n-1), (n)假设用(1)右邻的级比(或光滑比)生成x(1),用(n)左邻的级比(或光滑比)生成x(n),那么称x(1)和x(n)为级比(或光滑比)生成;按级比生成(或光滑比生成)填补空穴所得的序

15、列成为级比生成(或光滑比生成)序列.命题6.3.1 设X是端点为空穴的序列,那么假设采取级比生成,那么 x(1)=x(2)/(3) x(n)=x(n-1) (n-1)2 假设采取光滑比生成,那么)2() 3()2() 1 (2xxxx)1(1)(1()(nnxnx命题6.3.2 级比与光滑比有下述关系:)(1()()1()1(kkkk命题6.3.3 假设X=(x(1), x(2), ,x(n)为递增序列,且有对于k=2,3,n , (k)2对于 k=2,3,n , 1)()1(kk (即光滑比递减)那么对指定的实数0,1和k=2,3, ,n,当(k) 0, 时,必有(k+1) 0,1+ .23

16、 =0, 且x(0)(k) a,b X(r)=(x(r)(1), x(r)(2), ,x(r)(n)为X(0)的r次累加生成序列,那么当r充分大时,对于0,存在N,使k,Nk=0, 且x(0)(k) a,b X(1)=(x(1)(1), x(1)(2), ,x(1)(n)为X(0)的1次累加生成序列 z(1)=(z(1)(1), z(1)(2), ,z(1)(n)为X(1)的紧邻均值生成序列,那么对于0,存在N,使k,Nk0,那么称序列X(0)在第k步是增长的,反之,称X(0)在第k步是衰减的对于k=1,2, ,n,恒有(1) x(0)(k)0,那么称序列X(0)为非动摇增长序列对于k=1,2

17、, ,n,恒有(1) x(0)(k)0, (1) x(0)(k2)0而x(r)为X(0)的r次累加生成序列,那么X(0)必为r阶弱随机序列.,那么当b=0时,称X(t)为齐(homogeneous )指数函数;b0时,称X(t)为非齐次(non-homogeneous )指数函数定义6.5.4 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),假设对于恣意的k , x(0)(1)0,;)(acbcetXat0,;)(accekxak0,;)(bacbcekxak定义6.5.3 设延续函数为那么称X为齐次指数序列,那么称X为非齐次指数序列定理6.5.2 X为齐次指数序列的充分必要条件是,对于k=1,2, ,n,恒有(k)=const成立.定义6.5.5 设序列X=(x(1), x(2), ,x(n),假设 那么称序列X具有负的灰指数规律 那么称序列X具有正的灰指数规律 那么称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律 0