(高等数学）第一节函数

1、( (高等数学）第一高等数学）第一节函数节函数2、集合的运算、集合的运算是二个集合，定义是二个集合，定义设设A、BBxAxxBA 或或(A与与B的的并集并集)BxAxxBA 且且(A与与B的的交集交集)BxAxxBA 且且(A与与B的的差集差集)3 3、区间和邻域、区间和邻域Oab,ba设设a, ,bR, ,且且a 0和和0, 使得当使得当 时时, ,有有| |f( (x)|)|M. .,)(lim0Axfxx 00 xx证证 因为因为,)(lim0Axfxx 所以取所以取, 1 则则, 0 当当 时时, ,有有 00 xx 1)(Axf, 1)()( AAAxfxf记记, 1 AM则定理则定

2、理2获得证明获得证明.定理定理3 3 ( (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性) )如果如果Axfxx )(lim0, ,而且而且A0(0(或或A0),0)0（或（或f( (x)0 )00的情形证明的情形证明. ., 0)(lim0 Axfxx取取, 02 A 则则, 0 当当 时时, ,有有 00 xx 2)(AAxf. 022)( AAAxf推论推论: : 如果在如果在x0的去心邻域内的去心邻域内f(x)0（或（或f(x)0），）， 而且而且Axfn )(lim，那么，那么A00（或（或A 0 0 ）准则准则 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(l

3、im,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .)(xhy )(xfy )(xgy A A0 x 0 x 0 x）（）（1 2 A第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用

4、中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, , 那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx

5、 ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:定理定理 1 1 ),()()(lim0 xA

6、xfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数3.无穷小的运算性质无穷小的运

7、算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 , )(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设

8、函数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷

9、小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(

10、0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.第六节第六节 极限运算法则极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(lim

11、BxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 ,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：)()()(limxAxfAxf (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数

12、可推广到任意有限个具有极限的函数 (2)有两个重要的推论有两个重要的推论推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果定理的条件：定理的条件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理中极限号下

13、面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立任何一个过程都成立求极限方法举例求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx3123 .37 例例2 2.3214lim21 xxxx求求解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由

14、无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得.3214lim21 xxxx例例3 3.321lim221 xxxx求求解解.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x)00(型型.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 (消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x33

15、2323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n先变形再求极限先变形再求极限.222221lim)21(limnnnnnnnn 2

16、)1(21limnnnn )11(21limnn .21 思考题思考题1 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题思考题1解答解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误第七节第七节 两个重要极限两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重要的

17、极限公式：要的极限公式：1sinlim0 xxxexxx )11(lim为此先介绍判定极限存在的准则为此先介绍判定极限存在的准则一、两个重要极限一、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx首先注意到首先注意到都有定义都有定义对一切对一切函数函数0sin xxx设法构造一个设法构造一个“夹逼不等式夹逼不等式”，使函数，使函数xxsin在在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数函数 g(x), h(x) 之间，以便应用之间，以便应用准则准则作如图所示的单位圆作如图所示的单位圆AC)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sin

18、ACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注此结论可推广到此结论可推广到1)()(sinlim xxax 有有限限值值，也也可可为为可可为为，其其中中时时条条件件是是axax0)(

19、, 例例.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原原式式 xxxxxxcos1cos1sinlim2011211 (2)exxx )11(lim此结论可推广到此结论可推广到 exxax )(1)(1lim 有有限限值值，也也可可为为可可为为，其其中中时时条条件件是是axax0)(, 注注特别有特别有ettt 10)1(limezzz 10)1(lim例例.)11(limxxx

20、 求求解解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地一般地kxxexk 1lim例例7 求求xxxx 11lim解一解一)121()121(lim221 xxxx原原式式2e 解二解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 第八节第八节 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 观察各极限观察各极限xxx3lim20, 0 ;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0, 1 ;sin大大致致相相同同与与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0

21、 .不不存存在在不可比不可比.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的的的是是就就说说如如果果kkCCk 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(

22、,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代的无穷小代替，