人教版高中数学必修第二册课后巩固练习8.6.2《直线与平面垂直》(含解析)

1、8.6.2直线与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交答案C解析取BD的中点O,连接AO,CO,则BDAO,BDCO,故BD平面AOC,BDAC.又BD,AC异面,故选C.2.ABC所在的平面为,直线lAB,lAC,直线mBC,mAC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.不确定答案C解析因为lAB,lAC且ABAC=A,所以l平面ABC.同理可证,m平面ABC,所以lm,故选C.3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是E

2、F的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AHEFH所在平面B.AGEFH所在平面C.HFAEF所在平面D.HGAEF所在平面答案A解析原题图中ADDF,ABBE,所以折起后AHFH,AHEH,FHEH=H,所以AHEFH所在平面.4.已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面,下面命题正确的是()A.若,则B.若m,n,则mnC.若m,n,则mnD.若m,m,则答案B解析选项A中,与平行或相交,故A不正确;选项C中,m,nm与n平行、相交或异面,故C不正确;选项D中,m,m与平行或相交,故D不正确.故

3、选B.5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90答案C解析如图,连接AC.PA平面ABCD,PCA就是PC与平面ABCD所成的角.AC=2,PA=6,tanPCA=PAAC=62=3.PCA=60.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)答案垂直解析ABCD为正方形,ACBO.BB1平面ABCD,AC平面ABCD,ACBB1.又BOBB1=B,AC平面BB1

4、O.EF是ABC的中位线,EFAC,EF平面BB1O.7.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中DPC,则DE与平面PAC的位置关系是.答案平行解析DE平面ABC,PA平面ABC,DEPA.又DE平面PAC,PA平面PAC,DE平面PAC.8.如图,在三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是正三角形,AA底面ABC,且AB=1,AA=2,则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为.答案1510解析如图所示,取AB的中点D,连接CD,BD.底面ABC是正三角形,CDAB.AA底面ABC,AACD.又AAAB=A,CD侧面ABBA,故CB

5、D是直线BC与平面ABBA所成角.等边三角形ABC的边长为1,CD=32,在RtBBC中,BC=BB2+BC2=5,故直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为CDBC=1510.9.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VCAB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)答案VCVA,VCVB(答案不唯一,只要能保证VCAB即可)解析只要VC平面VAB,即有VCAB;故只要VCVA,VCVB即可.10.已知PA垂直于ABCD所在的平面,若PCBD,则ABCD的形状一定是.答案菱形解析因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.因为PCBD,且PC平面PAC,PA平

6、面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.11.如图,ACB=90,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于23 cm,则PC与平面ABC所成角的大小为.答案45解析过P作PO平面ABC于点O,连接CO,则CO为ABC的平分线,且PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为,连接OF,易知CFO为直角三角形.又PC=4,PF=23,CF=2,CO=22,在RtPCO中,cos =COPC=22,=45.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,

7、AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PCBE.证明如图,连接PE,EC,在RtPAE和RtCDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EFPC.又BP=AP2+AB2=22=BC,F是PC的中点,所以BFPC.又BFEF=F,所以PC平面BEF.因为BE平面BEF,所以PCBE.13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D为BB1的中点.求证:AD平面A1DC1.证明AA1底面ABC,平面A1B1C1平面ABC,AA1平面A1B1C1,A1

8、C1AA1.又B1A1C1=90,A1C1A1B1.而A1B1AA1=A1,A1C1平面AA1B1B,AD平面AA1B1B,A1C1AD.由已知计算得AD=2,A1D=2,AA1=2.AD2+A1D2=AA12,A1DAD.A1C1A1D=A1,AD平面A1DC1.14.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,BB1AD,AB=AC,D是BC的中点,ADBC.又BCBB1=B,AD平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(

9、1)AD平面BCC1B1,则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在RtAC1D中,AD=32,AC1=2,sinAC1D=ADAC1=64,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.能力提升1.如果PA,PB,PC两两垂直,那么点P在平面ABC内的投影一定是ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心答案D解析如图,由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP平面PBC,BP平面PAC,CP平面PAB,所以BCOA,ABOC,ACOB,所以点O是ABC三条高的交点,即点O是ABC的垂心,故选D.2.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是()A.B

10、D平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60答案ABC解析由于BDB1D1,BD平面CB1D1,B1D1平面CB1D1,则BD平面CB1D1,所以A正确;因为BDAC,BDCC1,ACCC1=C,所以BD平面ACC1,所以AC1BD.所以B正确;可以证明AC1B1D1,AC1B1C,所以AC1平面CB1D1,所以C正确;由于ADBC,则BCB1=45是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.3.(2019全国高考)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.答案2解析作P

11、D,PE分别垂直于AC,BC,PO平面ABC.连接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60.POCO,CO为ACB平分线,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.4.已知四棱锥P-ABCD,PAPB,PA=PB=2,AD平面PAB,BCAD,BC=3AD,直线CD与平面PAB所成角的大小为4,M是线段AB的中点.(1)求证:CD平面PDM;(2)求点M到平面PCD的距离.(1)证明AD平面PAB,PM平面PAB,ADPM.PA=PB=2,M是线段AB的中点,PMAB,又ADAB=A,AD平面ABCD,AB平面ABCD,PM平面ABCD,又CD平面ABCD,PMCD.取CB上点E,使得CE=13CB,连接AE,ADCE且AD=CE,四边形AECD为平行四边形,CDAE,直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小,又AD平面PAB,BCAD,BC平面PAB,EAB为直线AE与平面PAB所成的角,EAB=4,BE=AB.PA=PB=2,PAPB,AB=2=BE,AD=1,B