群的基本知识.doc

1、第一章群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称， SU(3) 色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1) 的对称，偶偶核的U(6) 动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。1.1 群定义1.1设 G 是一些元素的集合，G, g, g.在 G 中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四

2、个条件：（1）封闭性。即对任意f , gG ，若fgh，必有hG 。（2）结合律。对任意f , g,hG ，都有fg hf ( gh).（3）有唯一的单位元素。有eG ，对任意fG ，都有effef（4）有逆元素。对任意fG ，有唯一的f1G ，使f1 fff1e则称G 为一个群。e 称为群G 的单位元素，f1 称为f的逆元素。例1空间反演群。设E和I对三维实空间R3 中向量r的作用为E rr , I rr即 E 是保持 r 不变的恒等变换，I 是使 r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对 r作用。集合E, I构成反演群，其乘法表见表1.1.例 2n 阶置换群 Sn ，又称 n 阶对

3、称群。将 n 个元素的集合 X 1,2, n 映为自身的置换为P12n,m1m2mn其中 m1 , m2 , mn 是 1,2, n 的任意排列， P 表示把 1 映为 m1 ，2 映为 m2 ， n 映为 mn 的映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如1234=42314213321。4定义两个置换 P 和 P 的乘积 P P ，为先实行置换P ，再实行置换 P ，如123123123=。213321312容易看出在这乘法定义下，全部n 阶置换构成 Sn 群。 Sn 群共有 n! 个元素。例 3 平面三角形对称群 D 3 ，又称为 6 阶二面体群。考虑重心在原点，底

4、边与x 轴平行的 xy 平面上的正三角形ABC ，见图 1.1（ a ）。保持正三角形不变的空间转动操作有e : 不转， d : 绕 z 轴转 23， f : 绕 z 轴转 43 ，a : 绕轴 1 转， b : 绕轴 2 转， c :绕轴 3 转定义两个转动操作的乘积，如ab 为先实行操作b ，再实行操作a 。由图 1.1 b 可看出，实行操作b 和实行操作ab 后ABC 位置的变化， 且可看出，实行操作ab 和实行操作d 一样，因此abd。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成D3 群。D3 e, d , f , a, b, c 是6 阶群，它的乘法表见表1.2.例 4 定义

5、群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0 是单位元素，素。同理，全体实数在加法下也构成一个群。但实数全体在乘法为数乘时，因为 0 没有逆元素。除去0 以外的实数构成一个群。n 和n 互为逆元并不构成一个群，例5空间平移群T3。设a 是 R3 中的向量，r 是 R3 中任意一向量，定义空间平移Ta 为Tarra定义两个平移Ta 和 Tb 的乘积Ta Tb ，为先实行平移Tb ，再实行平移Ta ，Ta Tb rTa ( rb)rbaTa b r故 TaTb Ta bTb TaT 3群的单位元素是平移零向量T ，即不平移，其中是零向量， Ta 和Ta 是互逆元素。例 6三维转动群 SO(3) 。

6、保持 R3 中点 O 不动，设 k 是过 O 点的任一轴，绕k 轴转角的转动为 C k ( ) 。定义两个转动C k ( ) 和 C ( ) 的乘积 Ck ( )Ck ( ) ，为先实行绕k 轴k转角，再实行绕 k 轴转 角。则绕所有过 O 点轴的一切转动构成SO(3) 群。 SO(3) 群的单位元素是转角0 ，即不转。绕同一轴k ，转角和 2的元素 C k ( ) ， Ck ( )互为逆元素。由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。当群 G 的元素个数有限时，G 称为有限群。 当 G 的元素个数为无限时，G 称为无限群。空间反演

7、群、Sn 群、D 3 群是有限群，例4 至例6 是无限群。有限群G 的元素的个数n 称为群的阶，有时记为n G。反演群是二阶群，D 3 是6 阶群， Sn 是 n! 阶群。群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续两次置换等等。有限群的乘法规则，可以列为乘法表。无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。群的乘法一般不具有可交换性。即对任意f , gG ，一般说来fg 与 gf并不相等。如果对任意 f , gG ，有 fggf ，则称 G 是可交换群或阿贝尔 (Abel) 群。从前面例子还可以看出，群G 的任何元素可以用指标a 标记。当 G 是 n 阶

8、有限群时，指标 a 取 1,2, n ，群元用 ga(a1,2, n) 表示。当 G 是可数的无限群时，如整数加法群， a 可以取所有整数值，a0,1, 2,。当 G 是连续的无限群时，如实数加法群，有时 a 取全体实数，有时a 取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，a 是三个无界的有序实数 (ax , a y , az ) ，aax ia y jaz k又如在转动群中，a 是 3 个有界的有序实数 , ,，其中 , 是转轴 k 的方位角，是转动角度，而且，0,02,0,综上所述，群G 是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数a 标记为 g a ，给出此范围中任一个数a ，就对应群 G

9、 的一个元素。定理 1.1（重排定理）设 G g a , uG ，当 a 取遍所有可能值时，乘积ug a 给出并且仅仅一次给出G 的所有元素。证 明 先 证 G 中 任 意 元 素 g可 以 写 成 ug a 的 形 式 。 因 为 u 1G，所以u 1 ggG ，自然有 gug。再证 ug a 当不同时，给出 G 中不同的元素。用反证法，设ug ，而 ug，两边左乘 u 1 得gg ，这与可以唯一标记 G 中元素矛盾。 故 时，ugug 。于是当改变时， ug a 给出并仅一次给出 G 的所有元素。定理证毕。系 ga u 在 取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群G 的所有元素。重排定理

10、是关于群的乘法的重要定理。它指出每一个群元素，在乘法表的每一行（或每一列） 中被列入一次而且仅仅一次。 乘法表的每一行 （或每一列） 都是群元素的重新排列，不可能有两行（或两列）元素是相同的。1.2 子群和陪集定义 1.2设 H 是群 G 的一个子集，若对于与群 G 同样的乘法运算， H 也构成一个群，则称 H 为 G 的子群。常记为HG 。容易证明，群 G 的非空子集H 是 G 的子群的充要条件为：(1)若 ha , hH ，则 h hH ，(2)若 hH ，则 h 1H 。任意一个群 G ，其单位元素 e 和 G 本身都是 G 的子群，这两种子群称为显然子群和平庸子群。群 G 的非显然子群

11、称为固有子群。若不特别说明，一般说是指固有子群。例 7 在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。例 8在 x 轴方向的平移 Ta xi 全体构成平移群T (3) 的一个子群。例 9绕固定轴 k 的转动 C k ()， 02是 SO(3)群的一个子群。定义 1.3n 阶循环群是由元素a 的幂 ak 组成， k1,2, , n ，并且 a ne，记为zn a, a 2 , , ane .循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。从n 阶有限群 G 的任一个元素 a 出发，总可以构成 G 的一个循环子群zk ,称 a 的阶为 k ， zk 是由 a 生成的 k 阶循环群

12、。 因为当 ae, e 为 G 的一阶循环子群， 这是显然子群。当a,2a,如 a2e， 则 由 a 生 成 2阶循环子群。如e aae, a2e, ak1e, ，用重排定理，知 a, a 2, , a k 1 , a k 为 G 中不同元素。通过增加k ，再利用重排定理， 总可以在 kn 中达到 ake。因此， 从阶有限群的任一元素a 出发，总可以生成一个G 的循环子群。定义 1.4设H 是群 G的子群， H h 。由固定 gG ， gH ，可生成子群H 的左陪集 gHghhH ,同样也可生成H 的右陪集Hgh g hH ,有时也将陪集称为旁集。当H 是有限子群时，陪集元素的个数等于H 的阶

13、。定理 1.2 （陪集定理） 设群 H 是群 G 的子群，则 H 的两个左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。证明 设 u, v G ， u, vH ，考虑由 u, v 生成的 H 的两个左陪集，uHuh hH , vH vh hH 设左陪集 uH 和 vH 有一个公共元素，uhvh则 v 1u h h 1H根据重排定理，v 1uh 当取遍所有可能值时，v 1uh 给出群 H 的所有元素一次，并且仅仅一次，故左陪集v v 1uh uh 与左陪集 vh重合。因此当左陪集uH 和 vH 有一个公共元素时， uH 和 vH 就完全重合。定理证毕。同样的证法，也适用于右陪集。定理

14、1.3（拉格朗日定理） 有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。证明 设 G 是 n 阶有限群，H是G的m 阶子群。取u1G ， u1H,作左陪集u1 H。如果包括子群H的左陪集串H , u1H不能穷尽整个群G ，则取 u2G, u2H , u2u1 H，作左陪集 u2 H 。根据陪集定理，u2 H 与H 和 u1H完全不重合。继续这种做法，由于G 的阶有限，故总存在u j 1 ，使包括子群H的左陪集串H ,u1 H , u2 H ,u j 1 H穷尽了整个 G 。即群 G 的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又没有相重合的元素，故群 G 的元素被分成j 个左陪集，每个陪集有m 个元素

15、。于是群 G 的阶 n =（子群 H 的阶 m ）j定理证毕。系 阶为素数的群没有非平庸子群。上面把群 G 的元素， 分成其子群 H 的左陪集串的作法， 不仅对证明拉格朗日定理有用，而且提供了一种把群 G 分割为不相交子集的方法。这是一种很有用的分割群的方法。同样，也可以把群 G 分割成其子群的右陪集串。例10D3 有子群H 1 e, a, H2 e,b, H 3 e, c和 H 4 e, d, f 。 D 3 可按H1分成左陪集串，H 1 e, a,bH 1 b, f , cH 1 c,d。也可按H 4分成右陪集串，H 4 e, d , f , H 4 a a, b, c 。1.3 类与不变

16、子群定义 1.5 设 f , h 是群 G 的两个元素， 若有元素 gG ，使 gfg 1h ，则称元素 h 与 f 共轭。记为 h f 。共轨具有对称性，当h f ，则 f h 。且 f f。共轨还具有传递性，即当f 1 h, f 2 h, ，则有 f1f 2 。因 f1g1 hg11 , f 2g 2 hg21 , 故f1g1g 2 1 f 2 g 2 g1 1(g1g 2 1 ) f2 ( g1 g2 1 ) 1 ,定义 1.6 群 G 的所有相互共轨的元素集合组成G 的一类。由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被这类中任意一个元素所决定。只要给出类中任意一个元素f ，就可求出f

17、类的所有元素，f 类 f f g fg 1 , gG 。一个群的单位元素e 自成一类， 因对任意 gG ，有 g eg 1e。阿贝尔群的每个元素自成一类，因对任意f , gG ，有 g fg1f 。设元素 f 的阶为 m ，即 f me，则f 类所有元素的阶都是m ，因 (gfg 1 ) mg f m g1e ，对任意 gG 成立。应该指出， 当 g取遍群 G 的所有元素时， gfg1 可能不止一次地给出f 类中的元素。如 fe， gfg 1 永远给出单位元素e 。由共轨关系具有传递性可以知道， 两个不同的类没有公共元素。 因此可以对群按共轨类进行分割。 这种对群按共轨类进行的分割， 每个类中

18、元素个数不一定相同。 而按子群的陪集对群进行的分割， 每个陪集元素的个数是相同的。 按类和按陪集分割群， 是分割群的两种重要方式。定理 1.4 有限群每类元素的个数等于群阶的因子。证明 设G是 n 阶有限群，g 是 G 的任一个元素，看g 类元素的个数。作G 的子群H g ，H g hG hgh1g,H g 由G中所有与g 对易的元素h 组成，即hggh 。对于g1 , g2G, g1 , g2Hg，如果g1 gg11g 2 gg 21 ，则g1, g2 必属于H g的同一左陪集g1Hg。因为按定义，g1g1 Hg。由g1 gg 11g2 gg 21可得( g1 1 g2 ) g( g1 1

19、g2 ) 1g ，故 g1 1 g2 H g , g 2 g1 H g 。反 之 ， 如 果 g1 , g 2 属 于 H g 的 同 一 左 陪 集 g1 H g ， 必 有 g2g1h, h H g 。 于 是 有g2 gg 21g1 hgh 1 g11g1 gg11因此 g类中元素的个数，等于群G 按 H g 分割陪集的个数，也就是群G 的阶的因子。G的阶g 类元素个数= H g的阶定义 1.7设 H 和 K 是群 G 的两个子群，若有 gG ，使K gHg 1 k ghg 1 hH ，则称 H 是 K 的共轭子群。由共轭关系的对称性和传递性，知共轭子群也有对称性和传递性。即若H是K的共

20、轭子群，则 K 也是 H 的共轭子群。若H1 和 H 2是 K 的共轭子群，则H1和 H2 也互为共轭子群。 G 的全部子群可分割为共轭子群类。定义 1.8设 H 是 G 的子群，若对任意 gG ,hH ，有 gh g1H 。即如果 H 包含元素 h ，则它将包含所有与h 同类的元素，我们称H 是 G 的不变子群。定理 1.5设 H 是 G 的不变子群，对任一固定元素f G ，在 h取遍 H 的所有群元时，乘积 fh f1 一次并且仅仅一次给出H 的所有元素。证明 首 先 证 明 H 的 任 意 元 素 h 具 有 fh f1的形式。因为 H 是不变子群，故f 1h fH ，令 f 1 h f

21、h ，则 hfh f 1 。而且当 hh 时， fh f 1fh f1 ，否则必引起矛盾。因此当h取遍所有可能的 H 元素时， fhf1 一次并且仅仅一次给出H 的所有元素。例 11 以加法作为群的乘法时，整数加法群是实数加法群的不变子群。实事上，阿贝尔群的所有子群都是不变子群。不变子群的左陪集和右陪集是重合的。因为对 G 的不变子群 H ，由 gG , gH ，生成 H 的左陪集 gH gh hH 和右陪集 Hg h g hH 而由H 是 G 的不变子群知g 1 h gH。由下式可以看出左陪集的元素g( g1hg)也是右陪集的元素。g( g1 hg )h gHg故 H 的左右陪集重合。因此对

22、不变子群，就不再区分左陪集和右陪集，只说不变子群的陪集就够了。设 H 是 G 的不变子群。考虑没有公共元素的H 的陪集串， H , g1H , g2 H , , gi H , , ，假定陪集串穷尽了群G ，两个陪集 g i H 和 g j H 中元素的乘积。必属于另一陪集。因gh gh ggg1 h ghgigh hgghgh g Hijijjjjijkk其中hg j 1h g j ,hh h , gkg i g j定义 1.9 设群 G 不变子群 H 生成的陪集串为H , g1 H , g2 H , gi H , ，把其中每一个陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘的另一个陪集的元素，

23、定义新的元素间的乘法规则，即陪集串新元素Hf0g1Hf1g 2 Hf 2g iHf i乘法规则gi hg j hg k hfif jfk这样得到的群 f 0 ,f1 , f 2 , f i ,，称为不变子群H的商群，记为G H 。不变子群H对应商群G H的单位元素f0 ，每一个陪集gi H对应商群 G H 的一个元素f i 。陪集gi H和陪 集 g j H 的 乘 积 对 应f i 和f j 的 乘 积 。 事 实 上 ， 群 f0 , f 1, f 2 , fi , 和 群 H , g1 H , g2 H , gi H , 同构，它们都可以作为商群G H 的定义。例 12 D 3 群的元素

24、可以分为三类，即c 类 e ， d 类 d, f ， a 类 a, b, c 。恒等转动 e自成一类，绕z 轴转 23 和 43 是一类，绕角等分线转角是一类。因此 D 3 的子群H 1 e, a, H 2 e,b, H 3 e, c ，是互为共轭的子群， H 4 e, d, f 是不变子群。 H 4的陪集串和商群D 3 H 4 的元素间有以下对应H 4 e, d , f f 0, aH4 a, b, cf1故商群D 3H 4是二阶循环群Z 2 。1.4 群的同构与同态定义 1.10 若从群 G 到群 F 上，存在一个一一对应的满映射，而且保持群的基本运算规律（乘法） 不变；即群 G 中两个元

25、素乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群 G 和群 F 同构，记为 GF 。映射称为同构映射。同构映射可由图1.2 表示：其中: GFgif ig jf jgi g jfif j同构映射，把G 的单位元素g 0 映为F的单位元素f 0 ，因对任意fiG,: g if i 。设: g0f 0 ，则有: g0 gigi g0gif 0 f ifif 0fi故 f0f0 ,f 0 必为F的单位元素f 0 。同构映射，还把G 的互逆元素gi , gi1 映为的互逆元素f j , f j1 。由于同构映射是一一满映射，故逆映射1 恒存在，1 把 F映为G ，而且1 保持群的乘法规律不变，即1fig i

26、f jg jf i f jg i g j所以当群 G 和群 F 同构，必有群 F 与群 G 同构， FG 。两个同构的群， 不仅群的元素间有一一对应关系，而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。 因此从数学角度看， 两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说，两个同构的群本质上没有任何区别。例 13空间反演群E, I和二阶循环群Z 2,a2ae 同构。例 14三阶对称群S3 和正三角形对称群D3 同构。例15 群 G 的两个互为共轭的子群H和 K是同构的。因为存在gG ，使hH与kK有一一对应关系，hgk g1 , kg 1h g以上各个同构的群，有完全相同的乘法表。因此作为抽象的

27、数学群来说，它们是一样的。当然，对同一抽象群， 当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中2+3=5 可以代表不同对象相加是同样的。定义 1.11 设存在一个从群G 到群 F 上的满映射，保持群的基本规律（乘法）不变；即 G 中两个元素乘积的映射，等于两个元素映射的乘积，则称群G 与群 F 同态，记为GF。映射称为从G 到 F上的同态映射。图 1.3 表示从其中: GG 到FF上的同态映射:gif ig jfjgi g jfif j也有定义从群G 到群 F 中的同态映射映射。以后如不特别说明，我们说同态，是指从群，这时保持群的乘法规律不变，G 到群 F 上的同

28、态。但并不是满一般说， 同态映射并不是一一对应的。即对群F中的一个元素f i ， G 中可能不止一个元素g i , gi , 与之对应。因此群G 与群F同态，并不一定有群F与群G 同态。群 F同构是一种特殊的同态，即当同态映射同构，则 G 必与 F 同态。反之，若群是一一映射时， 同态就是同构。 因此若群G 与群 F 同态， G 与 F 不一定同构。G与任何群G 与只有单位元素的群Z1 e同态。这种同态是显然的，一般不考虑这种同态。定义1.12设群G与群F同态，G 中与F的单位元素f 0 对应的元素集合H h ，称为同态核。定理1.6 （同态核定理）设群G 与群F同态，则有（1）同态核H 是

29、G 的不变子群；（2）商群G H与F同构。同态核定理可以用图1.4 表示。证明 先证明同态核H 是 G 的子群。对任意 h , hH ，有 : hf 0 , hf0 ,h hf 0故 h hH 。因此同态核中二元素h hf 0 ，的乘积仍在H 中。而且由于同态映射把单位元素映为单位元素， 故 H 含有 G 的单位元素 g 0 ，因设: g0f0 ，则对任意 g iG ，有: gif i,g0 g ig i g0gif0 f if i f0f i ,f0f 0于是，如果 hH ，必有 h1H 。否则，设 h 1H ，: h 1f 0f0而又有: h1hg 0f 0 f 0f 0这不可能，因此若h

30、属于 H ，必有 h1 属于 H 。这就证明了H 是G的子群。再证同态核 H 是 G 的不变子群。对 hH ，与 h同类的元素为 gi h gi1， g是群 G 的任意元素。同态映射有以下作用。: gif i , gi1f i1 ,gi h gi1f i f 0 f i1f0故所有与 h同类的元素 g i hgi1H 。H是G的不变子群。最后证明商群G H与F同构。包括H的陪集串，H h , g1H g1h, giH gi h ,是商群 G H 的元素。因为同态映射保持群的乘法规律不变， 故只要证明陪集串的元素与F 的元素有一一对应， 就证明了 G H 与 F同构。首 先 ， H 的 一 个

31、陪 集 gi H gi h 对 应 F 的 一 个 元 素 ， 设 : gifi ， 则: gi hfi，对任意 hH 。其次 H 的不同陪集 gi H , g jH ，对应 F 中的不同元素，因为 giH 和 g jH 不同，由陪集定理可知，它们没有公共元素。设: gifi , g jf j ，假设 f if j: gi haf i f0f i ,，则fi1 f j f 0f 0gi 1 g j h得到 gi1 g j hH ， gi H 和 g j H 重合。这与假设矛盾，故f if j因此 H 的陪集与 F 的元素有一一对应关系，商群G H 与 F 同构。定理证毕。从图 1.4可以看到，

32、如群G 与群 F 同态，同态映射为。 G 中对应 F 单位元素 f 0 的元素集合 h 是 G 的一个不变子群H 。 H 陪集串中的每一个陪集gi H ，唯一地对应 F 中的一个元素 fi。 F 中的一个元素f i 也唯一地对应 H 的一个陪集 gi H 。已知各个陪集中元素数目相同，故G 中与 F 的每一个元素对应的元素数目是相同的。同态核定理， 说明同态映射保持群的乘法规律不变，它是关于同态性质的重要定理。在处理各种群的问题中，我们会经常用到它。例16 D3群与二阶循环群Z2 同态。同态核是不变子群 H e,d , f ， 陪 集 是aH a,b, c 。图 1.5 表示这个同态映射。定义

33、 1.13 群 G 到自身的同构映射v ，称为 G 的自同构映射 v : GG 。即 对 任 意 gG 。 有 v( g) gG ,而且保持群的乘法规律不变，v( gg ) v( g)v( g ) 。故自同构映射v 总是把群 G 的单位元素 g0 映为 g0 ，把互逆元素g 和 g 1 映为互逆元素 g 和 g 1 。定义1.14 定义两个自同构v1 和 v2 的乘积 v1v2 ，为先实行自同构映射 v2，再实行自同构映射 v1 。 恒等映射 v0 对应单位元素。每个自同构映射v 有逆 v1存在。于是群 G 的所有自同构映射 v 构成一个群，称为群 G 的自同构群，记为A(G ) 或 Aut(

34、G ) 。 A(G ) 的子群也称为 G 的一个自同构群。如果群 G 的自同构映射，是由 uG 引起，即对任意 gG ，有( g ) ug u 1则称是 G 的内自同构映射。与定义自同构的乘法一样，可以定义内自同构的乘法。于是群G 的所有内自同构构成一个群，称为群G 的内自同构群，记为I (G) 或 In (G ) 。内自同构群 I (G ) 是自同构群A(G) 的一个子群，而且是A(G ) 的不变子群。因为对任意I (G) ，与同类的元素为v v 1 ，其中 vA(G) ，设 v 1 ( g )g ，则vv 1 (g)v (g )vug u1v(u)v( g )v(u 1 ) v(u) g

35、v(u 1 )vg v 1I (G)其中 vv(u)G ，故 I (G) 是 A(G) 的不变子群。例 17三阶循环群 Z3 e, a, a2 的自同构群 A(Z3 ) 有两个元素，v0: e, a, a2 e, a, a2 ,v : e, a, a2 e, a 2 , a,故 A(Z 3 ) v0 ,v 与 Z2 同构。显然A( Z3 ) 不是内自同构群。例 18 三阶对称群 S3 有以下的内自同构映射：0 (g )g , 1 ( g ) (1 2)g (1 2), 2 (g ) (13) g (1 3), 3 ( g ) ( 2 3) g (2 3)4 (g )(1 2 3) g (13

36、2),5 ( g)(1 32) g(12 3)因此 S3 群的内自同构群为I(S3) 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 内自同构群 I (S3 ) 的子群 0, 1,0 ,2, 0 ,3, 0 ,4 ,5 ，也都是 S3 的内自同构群。总之， 同构的群作为抽象的数学群来说，是相同的。群的同态映射，是保持群结构的一种映射，是常用的重要概念。1.5 变换群前面所讨论的都只涉及到抽象群。 而将群论用于物理对称性的研究时， 常常借助变换群来研究被变换对象和变换群之间的关系。 因此变换群提供了把群论用到几何和物理问题中的重要途径。变换与变换群又称为置换与置换群。对置换群的讨论应包括被变换对象和变换群两部分。设被变换对象X 由元素 x, y, z,组成，它是一个非空的集合，X x, y, z,。X 上的置换 f 是