大学微积分入门PPT学习教案

1、会计学1大学微积分入门大学微积分入门abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 第1页/共98页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）第2页/共98页曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入

2、若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx 第3页/共98页iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 12,()max,(00)nxxxxxx当分割无限加细 记小区间的最大长度或者趋近于零或者时，曲边梯形面积为曲边梯形面积为第4页/共98页实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速

3、直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值第5页/共98页（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值第6页/共98页设

4、设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，定义定义第7页/共98页怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论

5、论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第8页/共98页注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.第9页/共98页 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续

6、续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .且且 只只 有有 有有 限限 个个 第第 一一 类类 的的间间 断断 点点 ， 则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .第10页/共98页, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 第11页/共98页几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数

7、和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 第12页/共98页例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 )小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 第13页/共98页nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0 xn dxx 102ii

8、nix 210lim nnn121161lim.31 第14页/共98页第15页/共98页证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1第16页/共98页 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )

9、(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2第17页/共98页 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3第18页/共98页dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2

10、, 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，第19页/共98页例例 1 1 比较积分值比较积分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 可以直接作出答案可以直接作出答案第20页/共98页性质性质5 5的推论的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba,

11、 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）第21页/共98页dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质5 5的推论的推论：（2）第22页/共98页设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( baba

12、baMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6曲边梯形的面积曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间夹在两个矩形之间第23页/共98页解解,sin)(xxxf 22cossincos (tan )( )0 xxxx xxfxxx2,4x)(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,例例2 不计算定积分不计算定积分 估计估计 的大小的大小dxxx 24sin2424222(),(),42,24

13、42sin22,441sin2.22Mfmfbaxdxxxdxx第24页/共98页如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（Th5.1 Th5.1 定积分第一中值定理）定积分第一中值定理）积分中值公式积分中值公式第25页/共98页使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在区间在区

14、间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。第26页/共98页Th5.2(Th5.2(推广的积分第一中值定理）推广的积分第一中值定理）第27页/共98页 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分

15、上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，第28页/共98页abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x.)()( xadttfx第29页/共98

16、页 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(xx第30页/共98页计算下列导数计算下列导数xtxtxtdtetdxddtedxddtedxdcos1211222) 3()2() 1 (第31页/共98页 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()

17、(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF第32页/共98页例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.第33页/共98页定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上

18、限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.第34页/共98页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知

19、已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证第35页/共98页令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第36页/共98页)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()(

20、)(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.第37页/共98页例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12第38页/共98页例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxx

21、xxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 第39页/共98页, )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有1. 微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼茨公式第40页/共98页定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（3 3）当）当t在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .第41页/共98页证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，)

22、,()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.第42页/共98页a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注意注意 当当 时，换元公式仍成立时，换元公式仍成立.第43页/共98页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第44页/共98页250cossin.xxdx例例1 1 计算计算.ln43eexxdx例例2 2 计算计算第45页/共98页

23、例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx222550060cossincos( cos )cos11(0).666xxdxxdxx 解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。第46页/共98页例例2 2 计算计算解解原式原式)2143(2ln2lnlnln434343eeeeeexxxdxxdx.ln43eexxdx第47页/共98页例例3 3 计算计算解解23xdx第48页/共98页第49页/共98页例例4 4 计算计算解解12122.11dxxx令令,sintx 1x,2t21x6 t,costdtdx 原式原式22222666coscotsin

24、cossin(cotcot)(03)326tdtdttttt 明显换元第50页/共98页证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,第51页/共98页 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 在在 0)(adxxf中中令令tx ,第52页/共98页奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122

25、 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积第53页/共98页总结：总结： 1、定积分公式、定积分公式2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限元要换上下限4、 介绍了积分上限函数介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的

26、导数、计算上限函数的导数第54页/共98页例例 7 7 若若)(xf在在 1 , 0上连续，证明上连续，证明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此计算由此计算 02cos1sindxxxx. 证证（1）设设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t第55页/共98页 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxftx 2第56页/共98页（2）tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 d

27、ttft 由此计算由此计算 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sindxxxx设设第57页/共98页 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf第58页/共98页 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积

28、分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv第59页/共98页例例 计算计算解解.ln1exdx第60页/共98页例例2 2 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则第61页/共98页例例3 3 计算计算解解dxxex10例例4 4 计算计算dxxx10cos第62页/共98页例例5 5

29、 计算计算解解edxxx12ln第63页/共98页定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取ab ，如果极限，如果极限 babdxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积分，记作分，记作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .第64页/共98页类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果

30、极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .第65页/共98页 设设函函数数)(xf在在区区间间),( 上上连连续续, ,如如果果广广义义积积分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收敛敛，则则称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),( 上上的的广广义义积积分分，记

31、记作作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. .第66页/共98页例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx211sinxdx21cosx100cos2cos1coslimxx)()(lim)()()()(aFxFaFFxFdxxfxaa简记为第67页/共98页例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx b

32、bdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 第68页/共98页证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.第69页/共98页第70页/共98页第71页/共98页第72页/共98页第73页/共98页第74页/共98页第75页/共98页回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(曲曲 边边

33、梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 第76页/共98页第77页/共98页第78页/共98页ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 badxxf)(.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素第79页/共98页1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,Oxbay)(xfy xxdxybxa)(2xfy )(1xfy OxxxdxxfxfAbad)()(21xxf

34、xfAd)()(d21右图所示图形，面积元素为第80页/共98页xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 第81页/共98页xxfxfAbad)()(21ybxa)(2xfy )(1xfy Ocxxfxfcad )()(21xxxdxxfxfbcd )()(12yyyAdcd)()(Oxy)(yx)(yxdcyyydxxfxfAd| )()(|d21有时也会选 y 为积分变量yyyAd| )()(|d第82页/共98页例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛

35、物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解（1）作图）作图（2）求出两曲线的交点）求出两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(（3） 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx （4）代公式）代公式 badxxfxfA)()(12第83页/共98页解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy第84页/共98页(2) 求出交点；(3) 选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。(1

36、) 画出草图；第85页/共98页ab12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO aaxxb02d14第86页/共98页设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,1. 已知平行截面面积函数的立体体积已知平行截面面积函数的立体体积第87页/共98页并与底