苏教必修五基本不等式PPT学习教案

1、会计学1苏教必修五基本不等式苏教必修五基本不等式 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）1指出适用范围：指出适用范围： Rba,2强调取强调取“=”的条件：的条件： ba 重要不等式：重要不等式：（当且仅当（当且仅当a=b 时，式中等号成立）时，式中等号成立） 如果如果a, bR+，那么，那么 abba2基本不等式：基本不等式：第1页/共32页注意：注意：1适用的范围：适用的范围：a, b 为正数为正数. 2语言表述：语言表述：两个正数两个正数的算术平均的算术平均数数不小于不小于它们的几何平均数。它们的几何平均数。称称2ab为为a，b的算术平均数

2、，的算术平均数，3.我们把不等式我们把不等式 (a0,b0)2abab称为基本不等式称为基本不等式称称ab的几何平均数。的几何平均数。为为a，b第2页/共32页2ab把把看做两个看做两个正数正数a，b的等差中项，的等差中项，ab看做看做正数正数a，b的等比中项，的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比它们的等比中项。中项。第3页/共32页练习练习.,3, 6,. 2., 6,. 1nmnmmnnmnmmnnmnm此时值有最则满足若正数此时值有最则满足若正数大大933小小26232第4页/共32页解：设矩形菜园的

3、长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则xy=100 xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m. 2xyxy2 100,xy 2()40 xy等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立，此时时成立，此时x=y=10 x=y=10. . 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m. 40m. 结论结论1 1：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。第5页/共32页解：设矩形菜园

4、的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xymxym2 22xyxy=18/2=9得得 xy 81xy 81当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时，等号成时，等号成立立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，菜园面积最大，时，菜园面积最大，最大面积是最大面积是81m81m2 2结论结论2 2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。第6页/共32页第7页/

5、共32页由容积为由容积为4800m4800m3 3, ,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质, ,可得可得即即 4800z150120(2 3x2 3y)3240000720(xy) 240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z297600当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时, ,等号成立等号成立 所以所以, ,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方的正方形时总造价最低形时总造价最低, ,最低总造价为最低

6、总造价为297600297600元元. .第8页/共32页 重要变形重要变形2220,0,22ababababababab若则，当且仅当时取等号。基础知识基础知识（由小到大）（由小到大）第9页/共32页一利用基本不等式证明不等式一利用基本不等式证明不等式44441. 14;114.0,0,1abcdabcdababab 例 （ ）证明不等式： （2）已知：且， 求证：第10页/共32页第11页/共32页444222222442244224422444222222444222222222222()2222)2()(), ,abca bb cc aabc abcaba bbcb ccaa cabc

7、a bb cc aabca bb cc aa bb cc aabc abca b c成立证明：三式相加得（即同理可证：又互不相等，所以等号不成立所以444222222, ,()a b cabca bb cc aabc abc举一反三：若是互不相等的正数，求证:第12页/共32页122. 10( )3120( )30,0,41,42,2490,0,1,xf xxxxf xxxaba babxxxxyxyxy 例 （）若，求的最小值。 (2)若，求的最大值。 （3）已知且求 的最大值。 （4）已知求的最小值。 （5）已知且求的最小值。二、利用基本不等式求函数的最值二、利用基本不等式求函数的最值第1

8、3页/共32页第14页/共32页第15页/共32页第16页/共32页第17页/共32页例、已知正数例、已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值错解错解: :221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值为的最小值为yx1124过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：第18页/共32页已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值解解:2

9、23当且仅当当且仅当yxxy2即即:xy2时取时取“=”号号122yxxy而222221yx即此时即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23正解是正解是:第19页/共32页1222xxy构造积为定值，利用基本不等式求最值构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数求函数 的最小值的最小值第20页/共32页2、已知、已知则则x y 的最大值是的最大值是 。1、当、当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。21xx1 )0, 0(232 yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小的最小值是（值是（ ） A、10 B、 C、 D、yx,5 yxyx3

10、3 3664318D第21页/共32页4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（ ） A、 B、C、 D、) 0,(55 xRxxxy)101 (lg1lg xxxy)(33Rxyxx )20(sin1sin xxxyC第22页/共32页1 1、设、设 且且a+b=3,a+b=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,3、若，则函数的最小值是、若，则函数的最小值是_。1x11072xxxy2、求函数、求函数f(x)=x2(4-x2) (0 x0， 0，若 是 与 的等比中项，则ab3a3b3ba11得最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理6）B第29页/共32页例例3求函数求函数 的最大的最大值，及此时值，及此时x的值。的值。223( )(0)xxf xxx解：解： ，因为，因为x0，3( )1 (2)f xxx 所以所