因式分解培优专题

1、把以下各式因式分解2 m2m 1a x abxa(a b)3 2a2(bmm3acx ax a)2 2ab(b a)(1)假设多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一号，使括号内的第初三数学因式分解培优专题(一)一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最根本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式确实定方法是：(1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。(2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式

2、。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1.(1)(2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y和5x 3y看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y和5x 3y的式子，即可求出结果。解：4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n, 3n 2 2n 2 3n 2n一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。解：2.利用提公因式法简化计算过程 例计算987987例：计算123268 -13681368分析：算式中每一项都

3、含有 竺13689875211368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。4569871368解:说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。举一反三：1、分解因式：(1) 4m2 n312m3 n2 2mn3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 2x y 3,5x 3y 2求代数式(2xy)(2x3y)3x(2x y)的值。(2) a2xn 2 abxn 1 acxn adxn 1 (n 为正整数)一项系数是正数，在提出“号后，多项式的各项都要变号。解：(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公

4、因式，如：当n为自然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。解：5、中考点拨：例1。因式分解3x(x 2)(2 x)解：说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，假设没有，看是否能通过变形转换得 到。例 2 .分解因式：4q(1 p)32( p 1)2解：(3) a(a b)3 2a2 (b a)2 2ab(b a)22.计算：(2)11 ( 2)10的结果是()A.2100 B.210C. 2 D. 13. X、y都是正整数，且X(X y) y(y X)仁，求X、。4. 证明：817279913能被45整除。、运用公

5、式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式2 2a b (a b)(a b)完全平方公式2 a2ab b2 (a b)2立方和、立方差公式3 ab3但 b)但2 ab b2)补充：欧拉公式：a3 b3 c3 3abc(ab c)(a2 b2 c2 ab bc ca)2(abc)( ab)2(bc)2(c a)2特别地：1 当 a b c o 时，有 a3 b3 c3 3abc2当c o时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。 但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式

6、分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把a22a b2 2b分解因式的结果是A.(ab)(a 2)(b 2)B (a b)(a b 2)C.(a2 2b)(a b) 2 D. (a2b)(b2a)分析2 a2a b2 2b a2 2a 1 b2 2b 1 (a1)2 (b 1)2。再利用平方差公式进行分解，最后得到a ba b2，应选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2. 在简便计算、

7、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：多项式2x3 x2 m有一个因式是2x 1，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法 即可求出m的值。解：3. 在几何题中的应用。例：a、b、c是abc的三条边，且满足a2 b2 c2 ab bc ac 0，试判 断ABC的形状。分析：因为题中有 a2、b2、ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。解：4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：

8、5、中考点拨：例1:因式分解： x3 4xy2 。说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分 解彻底。例 2 :分解因式： 2x3y 8x2y2 8xy3。说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 题型展示：例1.：1am21,1bm 2, c2 3，求a22abb2 2acc22bc的值。解:3.假设a, b, c是三角形的三条边，求证：a2 b2 c2 2bc 0说明：此题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值, 数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例 2. a b c 0， a3 b3 c30,求证：a5 b5 c50证明

9、：而是把代4：2io，求2001的值。5.a, b，c是不全相等的实数，且(1) a b c 的值；(2) 1 1 1 1 1(2)a( ) b( ) c( b c c a aabc 0， a3 b3 c3 3abc，试求丄)的值。b说明：利用补充公式确定 a，b，c的值，命题得证。例 3.假设 x3 y3 27， x2 xy y2 9，求 x2 y2 的值。 解：因式分解练习题说明：按常规需求出 x，y的值，此路行不通。用因式分解变形条件，简化计 算过程。举一反三：1.分解因式：(1)(a 2)2(3a1)252(2)x (x 2y) x (2y x)(3)a2 (xy)22a(xy)3 (

10、xy)42.：1xx3，求x41的值。x1、假设2 x2(m3)x 16是完全平方式，那么 m=。2、x2()x 2 (x 2)(x)3、12x xx2004 x2005 o,那么 x20064、右16(ab)2M 25是完全平方式M=。2 x6 x_(x 3)2 x29 (x 3)2 ,5、假设9x2k2y是完全平方式，那么k=。6、假设x24x 4的值为0,那么3x212x5的值是。7、假设2 xax15 (x 1)(x 15)那么 a：= 。8、假设x y 4,x2 y26 那么 xy。9、方程x24x0,的解是。二、选择题:(10分)1、多项式 a(a x)(x b) ab(a x)(

11、b x)的公因式是()A、一 a、 B、 a(a x)(x b) C、a(a x) D、 a(x a)2、假设mx2 kx 9(2x 3)2，贝U m k的值分别是()Am= 2, k=6,B、m=2,k=12,C、m= 4,k=12、D m=4,k=12、六、试说明：对于任意自然数n, (n 7)2 (n 5)2都能被动24整除。3、以下名式x2因式的有(A 1 个，By2, x2 y2, x2 y2,( x)2 ( y)2,x4)2个，C、3个 ，D 4个4y中能用平方差公式分解4、计算12分解因式：43x 2x1 1(1 22)(1 33)A(30 分)35x2A)的值是(1r11,D .-10 203、25x 2y)2 4(2y x)245、x5 x6(13x6 3x222x 4xy 1 4y、x322427、3ax+6axy+3ay