经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)

1、高等学校财经类专业核心课程教材经济数学基础概率统计习题解答四川出版集团四川人民出版社2001年成都习题一1.写出下列事件的样本空间：(1) 把一枚硬币抛掷一次；(2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为m).解(1) =正面，反面正，反(2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)(3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)，(4) =x；0 x m2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件a“偶数点”，b“奇数点”，c“点数小于5”，d“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解a与b为对立事件

2、，即b；b与d互不相容；ad，cd.3. 事件ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i1，2，3，b表示至少有两个车间完成生产任务，c表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及bc的含义，并且用ai(i1，2，3)表示出来.解表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. bc表示三个车间都完成生产任务 图114. 如图11，事件a、b、c都相容，即abc，把事件ab，abc，acb，cab用一些互不相容事件的和表示出来.解 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件

3、不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中a与d是对立事件，c与d是互不相容事件.6.三个事件a、b、c的积是不可能事件，即abc，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. a、b、c三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图12，事件abc，但是a与b相容.图127. 事件a与b相容，记cab，da+b，fab. 说明事件a、c、d、f的关系.解 由于abaa+b，abaa+b，ab与ab互不相容，且aab(ab). 因此有ac+f，c与f互不相容，daf，ac.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，

4、求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件a表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件a的样本点数目a.而组成试验的样本点总数为，由古典概率公式有p(a)(其中a，分别表示有利于a的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件b表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件的样本点数为.10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件a表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即8，因此 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的

5、概率.解设事件a表示“门锁能被打开”. 则事件发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.从9题11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异；(2)四张中只有两种花色.解设事件a表示“四张花色各异”；b表示“四张中只有两种花色”.13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件a表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：a“三次都是红球” “全红

6、”，b“全白”，c“全黑”，d“无红”，e“无白”，f“无黑”，g“三次颜色全相同”，h“颜色全不相同”，i“颜色不全相同”.解3327，abc1，def238，gabc3，h3！6，ig2415. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件a表示“有4个人的生日在同一个月份”.126，a16. 事件a与b互不相容，计算p.解由于a与b互不相容，有ab，p(ab)017. 设事件ba，求证p(b)p(a）.证bap(b-a)p(b) - p(a)p(b-a)0p(b)p(a)18. 已知p(a)a，p(b)b，ab0 (b0.3a)，p(ab)0.7a，求p(b

7、+a)，p(b-a)，p().解由于ab与ab互不相容，且a(a-b)ab，因此有p(ab)p(a)-p(a-b)0.3ap(ab)p(a)p(b)p(ab)0.7abp(b-a)p(b)-p(ab)b-0.3ap()1-p(ab)1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件a表示“取到废品”，则表示没有取到废品，有利于事件的样本点数目为，因此p(a)1-p()1-0.225520. 已知事件ba，p(a)lnb 0，p(b)lna，求a的取值范围.解因ba，故p(b)p(a)，即lnalnb,ab，又因p(a)0，p(b)1，可得b

8、1，ae，综上分析a的取值范围是：1bae21. 设事件a与b的概率都大于0，比较概率p(a)，p(ab)，p(a+b)，p(a)+p(b)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件a，b，均有abaa+b且p(a+b)p(a)p(b)-p(ab)，p(ab)0，因此有p(ab)p(a)p(a+b)p(a)p(b)22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解设事件a表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于a的样本点数目为a364100，而样本空间中样本点总数为365100，所求概率为 = 0.239923. 从5副不同手套中任

9、取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件a表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.24. 某单位有92的职工订阅报纸，93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：(1)该职工至少订阅一种报纸或期刊；(2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件a表示“任找的一名职工订阅报纸”，b表示“订阅杂志”，依题意p(a)0.92，p(b)0.93，p(b)0.85p(ab)p(a)p(b)p(a)p()p(b)0.920.080.850.988p(a)p(ab)-p(b)0.9880.93

10、0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件a表示数学成绩优秀，b表示外语成绩优秀，若p(a)p(b)0.4，p(ab)0.28，求p(ab)，p(ba)，p(ab).解p(ab)p(ba)p(ab)p(a)p(b)-p(ab)0.5226. 设a、b是两个随机事件. 0p(a)1，0p(b)1，p(ab)p()1. 求证p(ab)p(a)p(b).证 p ( a)p ()1且p ( ab )p()1p ( ab )p (a)p(ab)1-p(b)p( b)p( a)-p( ab)整理可得p(ab)p( a) p( b)27. 设a与b独立，p( a)0.4，p(

11、 ab)0.7，求概率p (b).解p( ab)p(a)p(b)p( a)p() p( b)0.70.40.6p( b )p( b )0.528. 设事件a与b的概率都大于0，如果a与b独立，问它们是否互不相容，为什么?解因p ( a )，p ( b )均大于0，又因a与b独立，因此p ( ab )p ( a ) p ( b )0，故a与b不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事件ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”，i1，2，3，显然a1，a2，a3相互独立，事件a表示“三个元件中最多

12、只坏了一个”，则aa1a2a3a2a3a1a3a1a2，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且p(a1)p(a2)p(a3)0.8p( a)0.8330.820.20.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件a表示“任取一个零件为合格品”，依题意a表示三道工序都合格.p(a)(10.3)(10.2)(10.2)0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次

13、才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).解设事件ai表示“第i次能打通”，i1，2，m，则p(a1)(10.4)(10.3)0.42p(a2)0.58 0.420.2436p(am)0.58m1 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i1,2,3,4. p ( ai )，设事件b表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且a1a2a3a4.p()p(a1a2a3a4)p(aiaj)p(ai)p(ajai)=p(aiajak)

14、=p(ai)p(ajai)p(akaiaj)=（1ijk4）p(a1a2a3a4) =p(a1)p(a2|a1)p(a3|a1a2)p(a4a1a2a3)=33. 在1，2，3000这3000个数中任取一个数，设am“该数可以被m整除”，m2，3，求概率p(a2a3)，p(a2a3)，p(a2a3).解依题意p(a2)，p(a3)p(a2a3)p(a6)p(a2a3)p(a2)p(a3)p(a2a3)p(a2a3)p(a2)p(a2a3)34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中；(3

15、)最少有一人投中.解设事件a、b、c分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然a、b、c相互独立.设ai表示“三人中有i人投中”，i0,1,2,3,依题意， 0.20.30.40.024p ( a3 )=p ( abc )=p ( a ) p ( b ) p ( c ) =0.80.70.60.336p(a2)=p(ab)p(ac)p(bc)=0.80.70.40.80.30.60.20.70.60.452(1) p(a1)1p(a0)p(a2)p(a3)10.0240.4520.3360.188(2) p(a0a1)p(a0)p(a1)0.0240.1880.212(3) p(abc)

16、p()1p (a0)0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件a2n-1b2n分别表示“甲在第2n1次投中”与“乙在第2n次投中”，显然a1，b2，a3，b4，相互独立.设事件a表示“甲先投中”. 计算得知p(a)0.5，p()0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30，京外其他各地考生占70，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80，而京外学生以英语为第一外语的占95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件a表示“任选一名学生为北京考生”，b表示“任选一名

17、学生，以英语为第一外语”. 依题意p(a)0.3，p()0.7，p(ba)0.8，p(b)0.95. 由全概率公式有p(b)p(a)p(ba)p()p(b)0.30.80.70.950.90537. a地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4，2，5，求a地的甲种疾病的发病率.解设事件a1，a2，a3分别表示从a地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见a1，a2，a3两两互不相容，其和为.设事件b表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：p(a1)0.45，p(a2)0.35，p(a3)0.2，p

18、(ba1)0.004，p(ba2)0.002，p(ba3)0.005 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.0050.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件a，其余时间加工零件b，加工零件a时，停机的概率为0.3，加工零件b时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件a表示“机床加工零件a”，则表示“机床加工零件b”，设事件b表示“机床停工”. 39. 有编号为、的3个口袋，其中号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，号袋内装有两个1号球和1个3号球，号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，

19、第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件ai表示“第一次取到i号球”，bi表示第二次取到i号球，i1，2，3.依题意，a1，a2，a3构成一个完全事件组.应用全概率公式可以依次计算出. 因此第二次取到1号球的概率最大.40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件a表示“受检人患有甲种疾病”，b表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知p(a)

20、0.0035，应用贝叶斯公式 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94，90，95，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件a1，a2，a3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，b表示“废品”，应用贝叶斯公式有42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5，15，30，50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100，70，60与90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件a1，a2，a3，a4分

21、别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，b表示“外出人如期到达”. =0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自号袋的概率.解39题计算知p(b1)，应用贝叶斯公式44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件ai表示一箱中有i件次品，i0, 1, 2. b表示“抽取的10件中无次品”，先计算p ( b )45. 设一条昆虫生产n个卵的概率为 n=0, 1, 2, 其中0，又设一个虫卵能孵化为昆

22、虫的概率等于p(0p1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k条虫的概率是多少?解设事件an“一个虫产下几个卵”，n0，1，2.br“该虫下一代有k条虫”，k0，1，.依题意其中q=1p. 应用全概率公式有 由于，所以有习题二1. 已知随机变量x服从01分布，并且px00.2，求x的概率分布.解x只取0与1两个值，px0px0px00.2，px11px00.8.2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数x的概率分布.解x可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知依次计算得x的概率分布如下表所示：x012p3. 上题中若采用重复

23、抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为x件，求随机变量x的概率分布.解x的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数x的概率分布.解x可以取1, 2, 可列个值. 且事件x = n表示抽取n次，前n1次均未取到优质品且第n次取到优质品，其概率为. 因此x的概率分布为5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数x；(2)取到的旧球个数y.解

24、(1)x可以取1,2,3,4各值.(2) y可以取0, 1, 2, 3各值 .6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目x的概率分布.解x可以取0, 1, 2, 3各值.7. 已知pxnpn，n1, 2, 3, , 求p的值.解根据,有解上面关于p的方程，得p0.5.8. 已知pxn=pn， n2, 4, 6, ，求p的值.解解方程，得p=/29. 已知pxn=cn, n=1, 2, , 100, 求c的值.解解得 c1/5050 .10. 如果pncn2，n=1, 2, , 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解 由于级数收敛, 若记=a,只要取, 则有=1, 且pn

25、0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变量x只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求x的概率分布.解设px2a，px1ad, px=3=a+d. 由概率函数的和为1，可知a=, 但是ad与a+d均需大于零, 因此d, x的概率分布为x123pd+d其中d应满足条件：0d12. 已知,m =1, 2, , 且0, 求常数c.解由于, 所以有解得 13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)二人投篮总次数z的概率分布；(2)甲投篮次数x的概率分布；(3)乙投篮次数y的概率分布

26、.解设事件ai表示在第i次投篮中甲投中，j表示在第j次投篮中乙投中，i=1, 3, 5, , j=2, 4, 6,且a1, b2, a3, b4，相互独立.(1) (0.60.5)0.4= 0.4(0.3) k=1, 2, 0.50.6(0.60.5)=0.3k k=1, 2, (2) (3) 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目x的概率分布(不计其他因素停车).解x可以取0,1,2,3,4.px00.4px10.6

27、0.40.24px20.620.40.144px30.630.40.0864px40.640.129615.问f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1)解 在0,与0,上，sinx0,但是而在上,sinx0.因此只有(1)中的a,b可以使f (x)是一个概率密度函数.16.其中c0，问f(x)是否为密度函数，为什么?解易见对任何x(,),f(x)0，又f(x)是一个密度函数.17.问f(x)是否为密度函数，若是，确定a的值；若不是，说明理由.解如果f(x)是密度函数，则f(x)0，因此a0，但是，当a0时，由于不是1，因此f(x)不是密度函数.18. 设随机变量xf(x)确定常数a的值

28、，如果paxb0.5，求b的值.解解方程=1得a= 0解关于b的方程：arctanb=0.5得b=1.19. 某种电子元件的寿命x是随机变量，概率密度为3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件a表示“线路正常工作”，则20. 设随机变量xf(x)，f(x)ae|x|，确定系数a；计算p|x|1.解解得a21. 设随机变量y服从0,5上的均匀分布，求关于x的二次方程4x24xy+y+2=0有实数根的概率.解4x2+4xy+y+2=0

29、. 有实根的充分必要条件是b24ac=16y216(y+2)=16y216y320设事件p(a)为所求概率.则 =0.622. 设随机变量xf(x)，确定常数c，计算解c=23. 设随机变量x的分布函数f(x)为确定系数a，计算，求概率密度f(x).解连续型随机变量x的分布函数是连续函数，f(1)f(10)，有a1.24. 求第20题中x的分布函数f(x).解当t0时，当t0时，25. 函数(1+x2)1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因f()10.26. 随机变量xf(x)，并且,确定a的值；求分布函数f(x)；计算.解因此a=1 27. 随机变量x的分布函数f(x

30、)为：确定常数a的值，计算.解由f(20)f(2)，可得0.7528. 随机变量xf(x)，f(x)确定a的值；求分布函数f(x).解因此a，29. 随机变量xf(x)，其他确定a的值并求分布函数f(x).解因此，a=当0x时，30. 随机变量x的分布函数为求x的概率密度并计算.解当x0时，x的概率密度f(x)0；当x0时，f(x)f(x) 31. 随机变量x服从参数为0.7的01分布，求x2，x22x的概率分布.解x2仍服从01分布，且px20px00.3，px21px10.7x22x的取值为1与0,px22x0px00.3px22x11px00.732. 已知px10npx10-ny=lg

31、x，求y的概率分布.解y的取值为1,2,py=n=plgx=n=px=10n=py=n=plgx=n=px=10-nn1,2,33. x服从a , b上的均匀分布，y=ax+b (a0)，求证y也服从均匀分布.证设y的概率密度为fy(y)，x的概率密度为fx(x)，只要a0，y=ax+b 都是x的单调函数. 当a0时，y的取值为a2+b , ab+b,当时，fy(y)=0.类似地，若a0，则y的取值为ab+b,a2+b因此，无论a0还是a0，ax+b均服从均匀分布.34. 随机变量x服从0,上的均匀分布y=cosx,求y的概率密度fy(y).解y=cosx在0, 上单调，在(0,1)上，h(y

32、)=x=arccosyh(y)=, fx(x)=, 0x.因此35. 随机变量x服从(0,1)上的均匀分布，y=ex,z=lnx，分别求随机变量y与z的概率密度fy(y)及fz(z).解y=ex在(0,1)内单调,x=lny可导，且xy=,fx(x)=10x1,因此有在(0,1)内lnx0lnx=-lnx单调，且x=e，xze，因此有36. 随机变量xf(x)，y=,z=x2,分别计算随机变量y与z的概率密度fy(y)与fz(z).解当x0时，y=单调，其反函数为x=y2,xy=2y当x0时zx2也是单调函数，其反函数为x=,xz=37.随机变量xf(x)，当x0时,y=arctanx,z=,

33、分别计算随机变量y与z的概率密度fy(y)与fz(z).解由于y=arctanx是单调函数，其反函数x=tany,xy=sec2y在内恒不为零，因此，当0y时，即y服从区间(0,)上的均匀分布.z=在x0时也是x的单调函数，其反函数x=,xz=.因此当z0时，即z=与x同分布.38. 一个质点在半径为r，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横坐标x的密度函数fx(x).解如图，设质点在圆周位置为m，弧的长记为l，显然l是一个连续型随机变量，l服从0，r上的均匀分布.图2-1m点的横坐标x也是一个随机变量，它是弧长l的函数，且xrcosrcos函数x=rcosl/r是l的单调函数(0lr

34、),其反函数为lrarccos当rxr时，lx0，此时有当xr或xr时，fx(x)0.39. 计算第2,3,5,6,11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的x概率分布，有亦可从x服从超几何分布，直接计算在第3题中亦可从x服从二项分布(2，)，直接用期望公式计算：在第5题中(1) (2) 在第6题中，在第11题中， 40. px=n=,n=1,2,3,4,5,确定c的值并计算ex.解41. 随机变量x只取1,0,1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算ex.解设px1a，则px02a, px13a(a0)，因a+2a+3a=1,故a1/642. 随机变量x服从参数为0.8的0

35、1分布，通过计算说明ex2是否等于(ex)2?解expx10.8，(ex)20.64ex210.80.8(ex)243. 随机变量xf(x)，f(x)0.5e-|x|，计算exn，n为正整数.解当n为奇数时，是奇函数，且积分收敛，因此当n为偶数时， 44. 随机变量xf(x)，其他计算exn(n为正整数).解45. 随机变量xf(x)，其他b,c均大于0，问ex可否等于1，为什么?解而由于方程组无解，因此ex不能等于1.46. 计算第6，40各题中x的方差dx .解在第6题中，从第39题计算知ex，dxex2(ex)20.46在第40题中，已计算出ex, =dx=ex2-(ex)21.7747

36、. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f(x)（0x1）,因此dx=ex2(ex)2=在第29题中，由于f(x) (0x),因此dxex2(ex)2=48. 计算第34题中随机变量y的期望和方差.解ey=ey2=dy=49. 已知随机变量x的分布函数f(x)为：f(x)=计算ex与dx.解依题意，x的密度函数f(x)为：解exex2=dx=50. 已知随机变量x的期望ex，方差dx2，随机变量y=, 求ey和dy.解ey=(ex)0dy= =151. 随机变量ynb(n,),分别就n=1,2,4,8,列出yn的概率分布表，并画出概率函数图.解y101y2012pp

37、y30123py401234py8012345678p6561a17496a20412a13608a5670a1512a252a24aa其中a=1/65536.图略.52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为x，求x的概率分布.解x可以取值0,1, 2, 3, 4 .相应概率为p(xm) (m=0, 1, 2, 3,4)计算结果列于下表x01234p0.40960.40960.15360.02560.001653. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率.解记x为10次投篮中命中的次数，则 xb(10,0.7). =10.310100

38、.70.39450.720.380.998454掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6点”出现次数为x，则xb（4，）.ex=np=由于np+p=，其x的最可能值为np+p=0若计算，显然概率更小.55已知随机变量xb（n,p），并且ex=3，dx=2，写出x的全部可能取值，并计算.解根据二项分布的期望与方差公式，有解方程，得q=，p=，n=9.x的全部可能取值为0, 1, 2, 3, , 9 .=10.999956随机变量xb（n，p），ex=0.8，ex2=1.28，问x取什么值的概率最大，其概率值为何?解由于dx=ex

39、2(ex)2=0.64, ex=0.8, 即解得q=0.8，p=0.2，n=4.由于np+p=1，因此x取0与取1的概率最大，其概率值为57随机变量xb（n,p），y=eax，计算随机变量y的期望ey和方差dy.解随机变量y是x的函数，由于x是离散型随机变量，因此y也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量x，y分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求x，y的概率分布以及期望和方差.解x服从超几何分布，y服从二项分布b（4，）.具体计算结果列于下面两个表中.x01234p46/833208/83332

40、5/833208/83346/833y01234p1/164/166/164/161/1659. 随机变量x服从参数为2的泊松分布，查表写出概率并与上题中的概率分布进行比较.01234p0.13530.27070.27070.18040.090260从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为x，它是一个随机变量且x服从n=100000，=100，n=500的超几何分布.由于n相对于n较小，因此它可以用二项分布b（500，0.001）近似.又因在二项分布b（500，0.001）中，n=500比较大，而p=0.001非

41、常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数=np=0.5.61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解 设x为一件产品表面上的疵点数目，（1）（2）设一件产品的产值为y元，它可以取值为0，8，10.62设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解 设一页书上印刷错误为x，4页中没有印刷错误的页数为y，依题

42、意，即 解得=2，即x服从=2的泊松分布.显然yb63每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率.解 设x为粮仓内老鼠数目，依题意解得=1.64上题中条件不变，求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解 接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为y，则yb（10，p），其中 65设随机变量x服从上的均匀分布，计算e(2x)，d（2x），.解 ex=2.5，dx=e(2x)=5，d(2x)=4dx=，66随机变量x服从标准正态分布，求概率p.解 67随机变量x服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a的数值：（1）；（2）（3）

43、（4） 解（1），查表得a=1.28（2），得（a）=0.95，查表得a=1.64（3），查表得a =2（4），得 (a)= 0.55，查表得a = 0.1368. 随机变量x服从正态分布，求概率,.解 p=0.682669随机变量x服从正态分布，若,，计算和的值，求.解 查表得： 解以和为未知量的方程组，得 =5.08，=2.=0.322870已知随机变量，确定c和d的值.解 = ，查表得 查表得 71假定随机变量x服从正态分布，确定下列各概率等式中a的数值：（1）（2）（3）解 =2(a) -1（1）2 (a)-1=0.9， (a)=0.95，a=1.64；（2）2 (a)-1=0.95，

44、 (a)=0.975,a=1.96；（3）2 (a)-1=0.99， (a)=0.995，a=2.58.72某科统考的考试成绩x近似服从正态分布, 第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分?解 设参加统考人数为n，则=0.8413，n=设第20名成绩约为a分，则查表得 a=79.6因此第20名的成绩约为80分.习 题 三1袋内有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从中任取一张，不放回地抽取两次，记x、y分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值，求（x，y）的概率分布.解 （x，y）可以取值为（1，2），（1，3），(3，4).事件是两个互不相容事件“第一次取到数字1且第二

45、次取到数字2”与“第一次取到数字2且第二次取到数字1”的和，其概率为1/6，类似地可以计算出其他pij的值（见下表）.x y234pi.120300p.j2求上题中随机变量x与y的边缘分布.并计算期望ex，ey与方差dx，dy.解 在（x，y）的联合分布表中，将每一行对各列求和，得到x的边缘分布pi.（i=1，2，3）.类似地，可以得到关于y的边缘分布，其具体结果见上题联合分布表.ex=3一个袋内有10个球，其中有红球4个，白球5个，黑球1个，不放回地抽取两次，每次一个，记x表示两次中取到的红球数目，y表示取到的白球数目，求随机向量（x，y）的概率分布及x、y的边缘概率分布.解 显然（x，y）

46、的全部取值为（0，1），（0，2），（2，0）.类似地可以计算出其他pij的值（见下表）：xy01200102004上题中试验条件不变，若记i=1，2，求随机向量的概率分布，计算两次取到的球颜色相同的概率.解 易见的全部可能取值为（0，0），（0，1），（2，1）. 应用乘法公式不难计算出pij的全部值（见下表）：x2x101201205第3题中袋内球的组成及抽取次数不变，但是改为有放回抽取，求第4题中定义的随机向量的概率分布.解的取值为(0，0)，(0，1)， (2，2)且，因此，的联合概率分布为下表所示：x2x101200.160.20 0.0410.200.250.0520.040.050.016将3个球随机地放入四个盒子，记表示第i个盒子内球的个数，i=1，2，求随机变量与的