随机变量的均值和方差

1、随机变量的均值和方差自主梳理1.离散型随机变量的均值与方差假设离散型随机变量X的概率分布为XXiX2XiXnPPiP2pPn均值口 = E( X) = 为随机变量 X 的均值或，它反映了离散型随机变量取值的 .方差n2= V(X) =1= 1x?p 口 2为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X与其均值E(X)的，其为随机变量X的标准差，即d = V x .2 均值与方差的性质 E(aX+ b) =.(2) V(aX+ b) =(a, b 为实数)3. 两点分布与二项分布的均值、方差假设 X 服从两点分布，贝U E(X)= , V(X)=假设 XB(n, P)，那么 E(X) =, V(X

2、) =.1.假设 n = aE + b,贝U E( n ) = aE( E) + b, V( n ) = a?V( E ). 2假设 E B(n, p)，那么耳 E ) = np, V( E ) = np(1 P) 别为和n, p的值分3. 2021 课标全国改编某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为 X,那么X的数学期望为4. 2021 浙江某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的，1记x为该毕业生

3、得到面试的公司个数.假设px= 0= 12那么随机变量X的数学期望EX =5. 随机变量E的概率分布如下:-101Pabc1其中a, b, c成等差数列.假设E E )= 3,那么V( E) =3探究点一离散型随机变量的期望与方差的求法1 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0号的有10个，记上n号的有n个(n= 1,2,3,4).现从袋中任取一球，E表示所取球的标号.(1) 求E的概率分布、期望和方差；(2) 假设耳=aE+ b,日 n) = 1, V( n ) = 11，试求 a, b 的值.变式迁移 1 编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位， 每位学生坐

4、一 个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X.(1) 求随机变量X的概率分布；(2) 求随机变量X的数学期望和方差.探究点二二项分布的期望与方差干试验组进行比照试验每个试验组由然后观察疗效.假设在一个试验组中,试验组为甲类组设每只小白鼠服用A B是治疗同一种疾病的两种药，用假设4只小白鼠组成，其中 2只服用A,另2只服用B,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该2 1A有效的概率为3,服用B有效的概率为-.(1) 求一个试验组为甲类组的概率；(2) 观察3个试验组，用 E表示这3个试验组中甲类组的个数，求E的概率分布和数学期望.变式迁移2 (2021 泰州模拟)在一次抗洪抢险中，准备

5、用射击的方法引爆从桥上游漂 流而下的一巨大汽油罐.只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才2能引爆成功，每次射击命中率都是 3,每次命中与否互相独立.(1) 求油罐被引爆的概率；(2) 如果引爆或子弹打光那么停止射击，设射击次数为E,求E的概率分布及 E的数学期望.探究点三 离散型随机变量期望与方差的实际应用3 购置某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，假设投保人在购置保险的一年度内出险，那么可以获得10 000元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购置了这种保险，且各投保人是否出险相互独立保 险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1.(1)

6、 求一投保人在一年度内出险的概率p；50 000 元，为保证盈利的期望不(2) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的本钱为 小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元 ) 80%变式迁移3 (2021 江苏)某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为 等品率为20%乙产品的一等品率为 90%二等品率为10%.生产1件甲产品，假设是一等品那么获得利润4万兀，假设是二等品那么亏损1万兀；生产1件乙产品，假设是一等品那么获得利润6万元，假设是二等品那么亏损 2万元.设生产各件产品相互独立.(1) 记X单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的概率分布；(2) 求生产4件甲

7、产品所获得的利润不少于10万元的概率.练习、填空题(每题6分，共48分)1. (2021 福州质检)某一随机变量E的概率分布如下，且 曰E)=，那么a的值为E4a9Pb2. 设EB( n, p)，假设有E E ) = 12, V( E ) = 4,那么n、p的值分别为 3. 随机变量X的概率分布为X124P贝H E(5X+ 4) =.4. (2021 成都毕业班第一次诊断)抛物线y = ax2 + bx+ c ( a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c 3, 2, 1,0,123,在这些抛物线中，记随机变量E为“丨ab|的取值，贝U E的数学期望E( E) =.5. (2021 上海)马老

8、师从课本上抄录一个随机变量E的概率分布列如下表:x123R E = x)!请小牛同学计算 E的数学期望.尽管“！ 处完全无法看清， 且两个“处字迹模糊,但能断定这两个“处的数值相同据此，小牛给出了正确答案曰E) =.6设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,( X= k) = ak+ b( k= 1,2,3,4) 又X的均值 E(X) = 3,那么 a+ b=.2 37.(2021 辽宁改编)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和二,3 4两个零件是否加工为一等品相互独立，那么这两个零件中恰好有一个一等品的概率为& (2021 重庆)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且

9、在两次罚球中至多命中一次的概率为1625那么该队员每次罚球的命中率为二、解答题(共42分)9. (14分)(2021 江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定 工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.假设4杯都选对，那么月工资定为 3 500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为 2 800元；否那么月工资定为 2 100元令X表示此人选对 A饮料的杯数假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1) 求X的概率分布；(2) 求此员工月工资的期望.10(14分)(2021 山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C进行围棋比赛，甲 对A、乙对B、丙对C各一盘.甲胜 A、乙胜B丙胜C的概率分别为，假设各盘比赛 结果相互独立.(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；(2) 用E表示红队队员获胜的总盘数，求E的概率分布和数学期望日E) 11. (14分)现有甲、乙两个工程，对甲工程每投资十万元，一年后利润是万元、万元、1 1 1万元的概率分别为 召、2、3；乙工程的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是 p(0p1) 设乙工程产品价格在一年内进行2次独立