江苏省2012届高考数学二轮复习：第10讲　等差数列与等比数列

1、数列等差数列与等比数列1. 理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式2. 数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题1. 在数列an中，an4n，a1a2anan2bn，nN*，其中a，b为常数，则ab_.2.已知等差数列an中，a26，a515.若bna2n，则数列bn的前5项

2、和等于_3.设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项和为_4.已知等比数列an满足a10，a1 0062，则log2a1log2a2log2a3log2a2 011_.【例1】等差数列an的各项均为正数，且a11，前n项和为Sn，bn为等比数列，b11 ，前n项和为Tn，且b2S212，b3S381.(1) 求an与bn; (2) 求Sn与Tn；(3) 设cnanbn，cn的前n项和为Mn，求Mn.【例2】等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1) 求数列an的通项an与前n项和Sn；(2) 设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比

3、数列【例3】设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足aaaa，S77.(1) 求数列an的通项公式及前n项和Sn; (2) 试求所有的正整数m，使得为数列an中的项【例4】已知数列an中，a11，anan12n(nN*)，bn3an.(1) 试证数列是等比数列，并求数列bn的通项公式(2) 在数列bn中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由(3) 试证在数列bn中，一定存在满足条件1rs的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系1. (2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则

4、k_.2.(2011辽宁)若等比数列an满足anan116n，则公比为_. 3.(2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升4.(2010天津)设an是等比数列，公比q，Sn为an的前n项和记Tn，nN，设Tn0为数列Tn的最大项，则n0_.5.(2011湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1) 求数列bn的通项公式；(2) 数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列6.(2009广东)已知点是函数f(x

5、)ax(a0，a1)的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1(n2)(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 若数列前n项和为Tn，问Tn的最小正整数n是多少？ (2011辽宁)(本小题满分12分)已知等差数列an满足a20，a6a810.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求数列的前n项和解：(1) 设等差数列an的公差为d，由已知条件可得(2分)解得(4分)故数列an的通项公式为an2n(nN*)(5分)(2) 设数列的前n项和为Sn，即Sna1，故S11. (7分).所以，当n1时，得a111，(9分)所以Sn，n1

6、适合，综上数列的前n项和Sn. (12分)专题三数列第10讲等差数列与等比数列1. 若数列an，bn的通项公式分别是an(1)n2007a，bn2，且anbn对任意nN*恒成立，则常数a的取值范围是_【答案】2,1解析： a0时，an的最大值为a(n取奇数)，bn的最小值为1，a0，bn0，anbn恒成立，a0时，an的最大值为a(n取偶数)，bn2，a2，综上，a2,1)2. 已知无穷数列an中，a1，a2，am是首项为10，公差为2的等差数列；am1，am2，a2m是首项为，公比为的等比数列(其中 m3，mN*)，并对任意的nN*，均有an2man成立(1) 当m12时，求a2 010；(

7、2) 若a52，试求m的值；(3) 判断是否存在m(m3，mN*)，使得S128m32 010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由解： (1) m12时，数列的周期为24. 2 010248318，而a18是等比数列中的项， a2 010a18a1266.(2) 设amk是第一个周期中等比数列中的第k项，则amkk. 7， 等比数列中至少有7项，即m7，则一个周期中至少有14项 a52最多是第三个周期中的项若a52是第一个周期中的项，则a52am7. m52745；若a52是第二个周期中的项，则a52a3m7. 3m45，m15；若a52是第三个周期中的项，则a52a5m7. 5m

8、45，m9；综上，m45，或15，或9.(3) 2m是此数列的周期， S128m3表示64个周期及等差数列的前3项之和 S2m最大时，S128m3最大 S2m10m(2)m211m12，当m6时，S2m3130；当m5时，S2m30；当m7时，S2m(7)22930. 当m6时，S2m取得最大值，则S128m3取得最大值为6430242 007.由此可知，不存在m(m3，mN*)，使得S128m32 010成立基础训练1. 1解析：an为等差数列，则Sn2n2n， a2，b.2. 90解析：an3n，bn6n.3. 1274. 2 011解析：log2a1log2a2log2a3log2a2

9、011log2(a1a2a3a2 011)log2(a1a2 011)(a2a2 010)(a1 005a1 007)a1 006log2(22)1 0052log222 0112 011.例题选讲例1解：(1) 设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an1(n1)d，bnqn1.依题意有解得或(舍去)故an12(n1)，an2n1，bn3n1.(2) Sn135(2n1)n2，Tn.(3) cn(2n1)3n1，Mn133532(2n1)3n1，3Mn13332533(2n1)3n，得2Mn12323223n1(2n1)3n，Mn(n1)3n1.变式训练等比数列an的前n项和为Sn，

10、已知S1，S3，S2成等差数列(1) 求an的公比q；(2) 若a1a33，求Sn.解： (1) 依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0，又q0，从而q.(2) 由已知可得a1a123，故a14.从而Sn.例2解：(1) 由已知得 d2，故an2n1，Snn(n)(2) 由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r) (q2pr)(2qpr)0, p，q，rN*， 2pr, (pr)20, pr.这与pr矛盾故数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列变式训练设Sn为数列an

11、的前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数(1) 求a1及an；(2) 若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值解： (1) 当n1，a1S1k1，n2，anSnSn1kn2nk(n1)2(n1)2knk1，(*)经检验，n1，(*)式成立， an2knk1(nN*)(2) am，a2m，a4m成等比数列， aama4m，即(4kmk1)2(2kmk1)(8kmk1)，整理得：mk(k1)0，对任意的mN*成立， k0或k1.例3解：(1) 设公差为d，则aaaa，由性质得3d(a4a3)d(a4a3)，因为d0，所以a4a30，即2a15d0，又由S77得7a1d7，

12、解得a15，d2，所以an的通项公式为an2n7，前n项和Snn26n.(2) (解法1)，设2m3t，则t6, 所以t为8的约数因为t是奇数，所以t可取的值为1，当t1，m2时，t63,2573，是数列an中的项；当t1，m1时，t615，数列an中的最小项是5，不符合所以满足条件的正整数m2.(解法2) 因为am26为数列an中的项，故为整数，又由(1)知：am2为奇数，所以am22m31，即m1,2，经检验，符合题意的正整数只有m2.例4解： (1) 证明：由anan12n，得an12nan，所以1.又因为a1，所以数列an2n是首项为，公比为1的等比数列所以an2n(1)n1，即an2

13、n(1)n，所以bn2n(1)n.(2) 假设在数列bn中，存在连续三项bk1，bk，bk1(kN*, k2)成等差数列，则bk1bk12bk，即2k1(1)k12k1(1)k122k(1)k，即2k14(1)k1. 若k为偶数，则2k10,4(1)k140，所以，不存在偶数k，使得bk1，bk，bk1成等差数列 若k为奇数，则当k3时，2k14，而4(1)k14，所以，当且仅当k3时，bk1，bk，bk1成等差数列综上所述，在数列bn中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列(3) 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1bs2br，即32s(1)s22r(1)r，即2s2r1(1)s2

14、(1)r3，() 若sr1，在()式中，左端2s2r10，右端(1)s2(1)r3(1)s2(1)s33(1)s3，要使()式成立，当且仅当s为偶数时又sr1，且s，r为正整数，所以当s为不小于4的正偶数，且sr1时，b1，br，bs成等差数列 若sr2时，在()式中，左端2s2r12r22r12r1，由(2)可知，r3，所以r14，所以左端2s2r116(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“”)；右端(1)s2(1)s30.所以当sr2时，b1，br，bs不成等差数列综上所述，存在不小于4的正偶数s，且sr1，使得b1，br，bs成等差数列. 高考回顾1. 102. 43. 解析：设该数列为an，首项为a1，公差为d，依题意即解得则a5a14da17d3d.4. 4解析：不妨设a11，则an()n1，an1()n，Sn，S2n，Tn，因为函数g(x)x(x0)在x4时，取得最小值，所以Tn在an14时取得最大值此时an1()n4，解得n4.即T4为数列Tn的最大项，则n04.5. 解：(1) 设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad；则adaad15a5；数列bn中的b3、b4、b5依次为7d,10,18d，则(7d)(18d)100；得d2或d13(舍)，于是b35，b410bn52n3.(2) 证明：数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n22，因