线性代数练习册附答案

1、第1章矩阵习题1.写出下列从变量X, y到变量X1, yi的线性变换的系数矩阵：x1xx1xcosysinc；y10y1xsinycos2.（通路矩阵）a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况11 1124，求 3AB-2A 和 ATB.3.设 A 111 14. 计算2 1 1(1)310012aia2bix（x, y, 1）ai2a22b?yb1b2c1Xi2yiy3yi3zi Z25.已知两个线性变换X22yi3 y 22y3,y22ziz3 ,写出它们的矩阵表X34yi

2、y25y3y3Z23z3示式,并求从Zi ,Z2, Z3到Xi,X2, X3的线性变换6. 设 f (x)=aoxm+ aixm1+ + am, A 是 n 阶方阵，定义 f (A)=aoAm+ aiAm1+ + amE.当 f (x)=x2- 5x+3, A1时，求f (A).37. 举出反例说明下列命题是错误的(1) 若 A2= 0,贝U A= O.(2) 若 A2= A，贝U A= O 或 A= E.7.设方阵A满足A2-3A-2E=0,证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵.8. 用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:1231(1) A2462123131422B101

3、101213414330101210121002A2312 03320332 =Br2 2rC3 C11121112111319.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式10.设 P 1AP A,其中 P141 0 9,A，求A91 10 240011.设 A030，矩阵002B 满足 AB=A+2B,求 B.10212.设 A212,利用初等行变换求A-1533复习题一(A) ACB = E;(B)CBA=E;(C) BAC=E;(D) BCA=E.aiiai2ai3a2ia22a232.设 Aa21a22a 23 , Baiiai2ai3a31a32a33a31ai1a32

4、ai2a33ai30 1 01 00R10 0,p.2 0 10，则必有().0 0 11 01)1.设A, B, C均为n阶矩阵，且 ABC=E,则必有（(A) APiP2=B ；(B)(C) PiP2A=B ;(AP2Pi=B ；D) P2PiA=B.3.设A为4阶可逆矩阵，将 A的第1列与第4列交换得换得C,设B ,再把B的第2列与第3列交000110000Pi门100c，P20010，则 c-1=（0010010010000001(A) A-1PiP2；(B) PiA-1P2；(C) P2P1A-1；(D) P2A-1Pi.4设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的

5、是（）(A) A-E不可逆;(B) A-2E不可逆;(C) A- 3E可逆；(D) A-E和A-2E都可逆5.设 A=(1,2,3) , B=(1,1/2,1 /3)，令 C=ATB，求 Cn.6.证明：如果 Ak=O，则（E-A）-1=E+A+A2+Ak-1, k 为正整数.07设A, B为三阶矩阵,A0，且 A-1BA=6A+BA，求 B.171O A8设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求B O0ai00000a2009设X(3i323n 0 )，求 X 10000an 1an0000第2章行列式习题1利用三阶行列式解下列三元线性方程组Xi 2X2 X322xi x2 3x31Xi X2 X

6、3031 x2当X取何值时，4x00 .10 x3求下列排列的逆序数: 315624 ;（2）13 （2n-1）24 （2n）.4.证明:a bca a b a b ca 2a b 3a 2b ca35.已知四阶行列式 A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为 3,-4,-2,0 ,求|A|.6计算下列行列式1111111111111111 x y x y y x y xx y x y0 11110 11 110 111102 X!3X1a1(5) Dna2,其中aa2an1 an7 .设n阶矩阵 A的伴随矩阵为 A*，证明:|A*|=|A|n-1, (n 函.8.设A,

7、 B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2, |B|=1,计算 卜2A*B-1|.2 1 19.设A 210 ，利用公式求 A-1.1 1 1复习题二(AB)*= B*A* 1设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*,证明:3400沁4300 “2.设A，求 A-1002000223. 已知 Ai, A2, Bi, B2都是 3 1 矩阵，设 A=( Ai, A2, Bi,), B=( Ai, A2, B2), |A|=2, |B|=3,求|A+2B|.4 设A, B都是n阶方阵，试证:E AB第3章_向量空间习题1. 设 a=(1,-1,1)T, a=(0,1,2)T,

8、 a3=(2,1,3)T,计算 3 a-2 a+ a.2. 设 ai=(2,5,1,3)T, a=(10,1,5,10)T, a=(4,1,-1,1)T，且 3( a-x)+2( a+x)=5( a+x),求向量 x.3. 判别下列向量组的线性相关性：(1) ai=(-1,3,1)T, a=(2,-6,-2)T, a=(5,4,1)T ; B1=(2,3,0)t,住=(-1,4,0)t, g(0,0,2)T .4. 设31=ai,32= ai+ a,33= ai+a+a3，且向量组ai,a,a线性无关，证明向量组31,仪，演线性无关.5. 设有两个向量组ai,a,a和31= ai-a+a3,3

9、2= ai+ a-a,3= -ai+ a2+ a,证明这两个向量组等价6. 求向量组 a=(1,2,-1)T, a=(0,1,3)T, a=(-2,-4,2)T, a=(0,3,9)T 的一个极大无关组，并将其 余向量用此极大无关组线性表示7. 设ai, a，,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量 a, 2,sn能由它们线性表示, 证明：, a,an线性无关.8. 设有向量组a, a,a,a,a, 其中ai,a,a 线性无关，a=aai+b a, a=Ca+d a（a,b, c, d均为不为零的实数），求向量组a, a, a, a的秩.9. 设矩阵 A= (1,2,n), B=(n,n-1

10、,1),求秩 R(ATB).2 111210.设矩阵A1121446224，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式3 697912032042，若A的秩R(A)=2，求参数t的值1t5t 4102111.已知矩阵A2354026412.设 A115，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组3319513.设A为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A,则R(A)+R(A-E)= n.14.已知向量空间R3的两组基为100-110a1 , a1, a31和01 , 01 , 01001011求由基ai, a, a到基0,伦，他的过渡矩阵复习题三k1111k111.设矩阵A，已知A的秩为

11、3,求k的值11k1111k2 设向量组 A： a,as与B：场,什，若A组线性无关且 B组能由A组线性表示为(乩,卩)=(ai,as) K,其中K为S r矩阵，试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩 R(K)= r.3. 设有三个 n维向量组 A : a, a, a; B: ai, a, a, a; C: ai, a, a, a.若A组和C组 都线性无关，而 B组线性相关，证明向量组 ai, a, a, a- a线性无关.4. 设向量组 A： ai=(1,1,0)T, a=(1,0,1)T, a=(0,1,1)T 和 B: 3=(-1,1,0)T,色=(1,1,1)T,色=(0,1,-

12、1)T3(1)证明：A组和B组都是三维向量空间R的基；(2)求由A组基到B组基的过渡矩阵； 已知向量a在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求a在A组基下的坐标._第4章线性方程组x1x251.写出方程组 2x1x2 x3 2x41的矩阵表示形式及向量表示形式5x13x22x3 2x432用克朗姆法则解下列线性方程组bx ay 2ab2cy 3bz be,其中 abc 0ex az 0x1 x2 x303问， 取何值时，齐次线性方程组x1 x2 x3 0有非零解?x12 x2 x30Xix2 k x344.设有线性方程组-Xikx2 x3 k2，讨论当k为何值时，有唯一解？ （2）有无穷Xix

13、2 2x34多解？ （3）无解？Xi8x210X32x405.求齐次线性方程组2xi4X25x3x40的一个基础解系3x18x26x32x40ni, n, n是它的三个解向量，且6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知n=(2,3,4,5)T, n+n=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解.7 .求下列非齐次线性方程组的通解:x1 x252x1 x2 x3 2x415x1 3x2 2x3 2x4312118.设有向量组A :a2, a1, a1及向量33101问向量B能否由向量组A线性表示？9. 设n*是非齐次线性方程组 AX = b的一个解，&,，肝r是它的导出组的一个基础解系

14、, 证明：(1) n*,玄玄,E线性无关；(2) n*, n*+ &, n*+,n*+釦线性无关.复习题四12121.设 A 01aa，且方程组 AX= 9的解空间的维数为2,则 a=.1a012.设齐次线性方程组a1x什a2X2+anXn=O,且a1,a2,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为3.设有向量组na =(a,2,10)T, a=(-2,1,5)T, a=(-1,1,4)T 及向量3=(1,b,-1)T,问a, b为何值时(1) 向量B不能由向量组 n线性表示；(2) 向量B能由向量组n线性表示，且表示式唯一;3)向量B能由向量组n线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.4

15、 设四元齐次线性方程组(I)x1x20x2x40x1x2x3X2X3X4求： 方程组（I）与（n）的基础解系； 方程组（I）与（n）的公共解.5 设矩阵A=（ ai, a, a, a）,其中 a, a, a线性无关， ai=2 a- a,向量 护 ai+ a+ a+ a4, 求非齐次线性方程组 Ax= B的通解.a1b1c16.设a2 -b2，c2a3b3C3ll：a1xSyC11 2:a2xb2yC21 3:a3xb3yc3相交于一点的充分必要条件是向量组证明三直线00a2 b：0, i 1,2,30线性无关，且向量组，线性相关.第5章矩阵的特征值和特征向量习题1. 已知向量ai=（i,-i

16、,i）T，试求两个向量a, a,使al, a, a为R 3的一组正交基.2. 设A, B都是n阶正交矩阵，证明 AB也是正交矩阵.3. 设A是n阶正交矩阵，且 AF-1，证明：-1是A的一个特征值.4求矩阵51 233 的特征值和特征向量5. 已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，计算行列式|A3-5A2+7E|.1245006.设矩阵A2x2与A0y0 相似，求x, y ；并求一个正交矩阵 P,421004使 P -1AP = A.7.将下列对称矩阵相似对角化:220(1) 2 1 2020400(2)0310138.设入是可逆矩阵A的特征值，证明：（1）仝 是A*的特征值.（2）当1,-2,

17、3是3阶矩阵A 的特征值时，求A*的特征值.9.设三阶实对称矩阵A的特征值为入 1=6,苗启=3，属于特征值入 1=6的特征向量为pi=(1,1,1)T，求矩阵 A复习题五4.设A为2阶矩阵 征值为1.设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 2.已知3阶矩阵A, A-E, E+2A都不可逆，则行列式|A + E|=1a10003.设 Aa1b , B010 ，已知A与B相似，则a, b满足1b1002ai, a为线性无关的 2维列向量，A ai=0, A a=2 ai + , a,贝U A的非零特20131x可相似对角化，求x4055.已知矩阵A6. 设矩阵A满足A2-3A+2E=O,证

18、明A的特征值只能是1或2.7.已知P1=(1,1,-1)T是对应矩阵A(1)求参数a, b及特征值;(2)问A能否相似对角化？说明理由.3 28设 A，求 yA)=A10-5A9.232 1 25 a 3 的特征值 的一个特征向量.第6章二次型1写出下列二次型的矩阵表示形式:2X32X42x1x24x32x-|X46x2x34x2 x411 22写出对称矩阵A102所对应的二次型12233.已知二次型 f(Xi,X2,X3)222Xi X2 ax3 4x1X2 6x2X3 的秩为2,求 a 的值. 2 2 24x2X3化成标准形.4求一个正交变换将 f(Xi,X2,X3) 2xi 3x2 3x

19、35用配方法将二次型线性变换.2 2 2x-i 3x2 5x3 2x-|X2 4x1 x3 化成标准形,并写出所用的可逆x Py化成标准形6.设二次型f 2x2 3xf 3x3 2ax2x3 (a 0)，若通过正交变换f y； 2y； 5yf，求 a 的值.7.判别下列二次型的正定性:2 2 2(1) f2冶 6x2 4x3 2x1x2 2x1x3(2)X2 3x29x3. 19x22x1x24x1x3 6x2x412X3X4a的取值范围.8.设 fX2 x； 5x. 2ax1x2 2x1x3 4x2x3 为正定二次型，求复习题六1设A为m n矩阵，b=疋+ata，试证：入0时，矩阵B为正定矩

20、阵.01002设 A1000，写出以A, A-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形002100122 23.已知二次曲面方程 XiX22ax32bx1x2 2x1x35，通过正交变换X=PY化为椭圆柱面方程y： 2y25,求a, b的值.1 0 14.设矩阵AA,使B0 2 0，B （kE A）2，其中k为实数，求对角矩阵设A、B都是四阶正交矩阵,A*为A的伴随矩阵,计算行列式2BAA* 设三阶矩阵A与B相似，且，计算行列式3B2 2E 测试题一一、计算题：2111.计算行列式Dn13111n 111002 设 A0,B033 T5，计算A B20121 020 a25设A,，且A的

21、秩为2,求常数a,b的值.11b142二、解答题：23 T6 设i(1,ti,ti,ti) i 123,4，其中t1,t2,t3,t4是各不相同的数，问4维非零向量能否由1,2,3,4线性表示？说明理由.X12X2X3 X407 求齐次线性方程组3X1 6X2 X3 3X40的一个基础解系.5x1 10 x2 x3 5x4 0x1 x2 kx318.问k取何值时，线性方程组X1 kx2 X3 kkx1 x2 x3 k2(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解.9 已知四阶方阵A =(1, 2, 3, 4 ),其中1, 2,3线性无关，423 3，求方程组Ax4的通解.10 三阶实对称矩阵A

22、的特征值是 1,2,3.矩阵A的属于特征值 1,2的特征向量分别是1( 1, 1, 1)T , 2(1, 2, 1)T ,求A的属于特征值3的所有特征向量，并求A的一个相似变换矩阵P和对角矩阵 ，使得P 1AP .三、证明题：11 设 12 12 ,23 22 3 ,34 33 1，且 1 , 2 , 3 线性无关，证明：1 ,2,3也线性无关.测试题二一、填空题1、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为 2、已知 A为三阶正交矩阵，且 A VO,贝U AA*4、设 P 1AP，其中P，则 a6=1213、设方阵A=3x2 ，若A不可逆，则x5425、若向量组

23、1 , 2 ,3线性无关，向量组2 ,3 ,4线性相关，则4一定能由2, 3线性表示” 该命题正确吗？o二、计算下列各题1 23n1 03n1、计算行列式Dn1 20n1 230132、设 A 2 ,B2，且CAB，求 c5 .311 112 23、利用初等行变换求矩阵A0 2115的秩，并写出矩阵 A的列向量组的一个2 03311 1104极大线性无关组.%X23X3x41三、设非齐次线性方程组3x1X2X39x47X15x211X313x43(1)求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系;(2)求原方程组的通解.四、求一个可逆变换将二次型2x1 3x2 3x3 4X2X3化为标准形，并判别其

24、正定性.a1五、设 11 ,2a11问a为何值时,a2可由1,2 ,3线性表示，且表示式不唯一？并说明不唯一的理由.六、已知矩阵A与B相似，其中A2 0 020 32 ，计算行列式2B 3E0 23七、证明题1、已知1 ,2 ,3是齐次线性方程组 AX 0的一个基础解系，证明12 ,13 ,23也是它的一个基础解系.12、设A、B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且B E A E A，证明测试题三AA*一、填空题已知两个线性变换XiX2yi 2y2y2 5y33y32zi3Z23zi4z2，则2ziZ2yi和 y2y3XiX2X301.已知齐次线性方程组2x13x2ax3 0有非零解，则a应满足

25、的条件4x19x2a2x30A =2,则已知A为三阶矩阵，且从Zi , Z2至U Xi , X2的线性变换为 4 .若二次型 f (x-i , x2, x3) 2x；22X2 X3 2XiX2 kX2X3是正定的，则k的取值范围是5 设A为实对称矩阵，为非零向量，且A2 , A3 ，则二、计算下列各题：0aai 计算行列式Dna0aaa02 设P -AP，其中Pi ii0，计算a11 i i0i、解答题:设向量组 ：111 10i1,21 ,31,43 ,5211231(i)求向量组 的秩,并写出它的一个极大无关组；(2)令 A ( i,四、解答或证明下列各题2?3,4),求方程组Ax5的通解

26、.1 命题一：“若方阵A满足A求矩阵A的特征值； 令B A2 2A 3E，求一个对角矩阵，使B与 相似; 求以A 1为矩阵的二次型. A，则A O或A E ”命题二：“若方阵A满足A2 A，则A 0或A E 0 ” 以上两个命题是否正确？若正确给出证明，若不正确举例说明之.2 设 是四元非齐次线性方程组 Ax b的一个解，1,2是对应的齐次线性方程组的解空间的一组基，证明，1, 2线性无关.0100五、解答题：1设矩阵A00000210012测试题四一、填空题：1. 设 A=(-1,0,1) , B= (1,2, 3)，贝U (Atb)6=；11 a b2 22. 行列式11 a b =;33

27、1 1 a b3. 设四阶方阵 A、B 满足 AB+2B+E = O，且|A+2E| = 2,贝U | B| =;4. 设A为n阶方阵，且| A|=2,| 3E A| =0,则A的伴随矩阵A*必有一个特征值是 11 15.设矩阵A1 1X ,已知齐次线性方程组 AX=0的解空间的维数为 2,则x=2 22二、选择题：1.下列集合中不能构成向量空间的是().(A ) (X1，,xn)TIXi R 且X1+xn = 1；( B ) (X1,Xn)TIXi R 且X1+ +Xn=0 ；( C )(0, X2,Xn)T 1 xa11i R ；a12a13(D) aI a=加 a1 + + s as.a

28、23,入 R, ai为n维向量a23a21a222 .设Aa21a22a23,Ba11a12a13a13,a31a32a33a31a32a33a33010100P100,q010 ,贝U A=().001011(A)Q-1bp-1；(B)P-1BQ-1(C)QBP；(D) PBQ.3. n ( n3)维向量a,2a a线性无关的充分必要条件是( ).(A) a1, a a中任意两个向量线性无关；(B) a1, a, a全是非零向量；(C) 对于任何一组不全为零的数k1, k2, k3,都有k1 a1+k2a2+k3 o3 0；(D) a1, a, a能由单位坐标向量 a, 2, s线性表示.4

29、 .设n阶方阵A、B满足AB = O ,则下列命题中错误的是().(A)若| A| 丰 0,贝U B=O;(B)若 R(A)=r，贝U R(B) n-r;(C) | A|、| B|中至少有一个为零；(D)若B工0,则A=O .5. 设A是MXn矩阵，非齐次线性方程组AX=b的导出组为AX=0 .如果m n,则().(A) AX=b必有无穷多解；(B) AX=b必有唯一解；(C) AX=0必有非零解；(D)AX=0必有唯一解.三、设A为三阶方阵，且|A|=3，计算行列式|(2 A)-1 A*|.23011212四、设A，求矩阵A的秩，并分别写出 A的列向量组和行向量组115 7242 -4的一个

30、极大无关组.110五、设矩阵A120 ,且AB= 2A B,求矩阵B.0001310六、设向量组13, 28 ,33,41 .14mn已知方程组 xi ai+X2 a+X3a3= a有无穷多解，求 m, n的值，并求该方程组的通解.沁0 1k 1AiO七、设A1, A2，已知3是矩阵A的一个特征值1 01 2OA2(1) 求参数k的值；(2) 求A-1，并写出以A-1为矩阵的二次型.计算行列式| B2 3E|，其中B与A相似.八、设三阶实对称矩阵1A的特征值为1 , 1, -1.已知属于特征值1的两个线性无关的特征21 ，求矩阵A及A12 .2向量为1 22, 2811X1312 X2813X

31、30九、设方程组321 X322 X2823X30的系数行列式 det(aj)=0,而A2 0,831X1332 X2833X30证明(A11,A12,A13)t是该方程组的一个基础解系.其中Aj是元素aj的代数余子式.复习题与测试题参考答案或提示复习题一1.(D).2. (C).3. (C).4. (C).5.3n13236.提示:kk2EkAk(E A)(E A A2Ak-1).7.8.9.1.2.013113n提示：利用3254253.72.4.提示：利用0132复习题二A*= |A|A-1.425325121-2E-AB复习题三1 . k= -3.2.必要性利用定理3.12 (2),充

32、分性利用定理3. 利用线性无关的定义及定理3.2.3.7及其证明方法.(1)证明A组及B组线性无关；(2)12121211 ；(3) a在A组基下的坐标为(0,1,2)T.复习题四a=1.2. n-1(1) a= 4且b工0时,不能线性表示;(2) a工一4时，能唯一线性表示;(3) a = 4 且 b= 0 时，表示式不唯一，且a1- (2k-1) a+ a.4. (1)方程组(i )的一组基础解系为&=(-1,1,0,0)T, g=(0,0,1,0)T.方程组(n)的一组基础解系为n1=(0,1,1,0)T,n 2=(1,1,0,-1)t. (2)公共解 x=k(-1,1,2,1)T, k

33、为任意实数.5 .利用方程组的向量表示式及解的结构，可得通解为x=k(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1)T，k为任意实数.复习题五1. n,0,0.2. 1.3. a=b=O .4. A的非零特征值为1.5. x =3.6. 说明A的任意特征值的取值范围.7. (1)a = -3, b= 0, X= -1 ;(2)A不能对角化，因为 A没有3个线性无关的特征向量.8.(A)1.提示:证明二次型2.xT Ax2xxT A 1x2 23x33. a=1, b=0.k24. A(k2)1.n! (1!).iBx正定.2x42x, x22x3x4，其标准形为2 2fy1y22 23x42x1x2

34、-x3x4，其标准形为322,f y1y22k0,k2 时，B为正定矩阵.(k2)2测试题一1002. 000.3.-16. 4.-14. 5，.a=2, b=104016复习题六232y32y3xTl3y：1 23y4.二、6.a1,a, a, a 线性表示.7.2,1,0,0)T ,2(1,0,1,0)T1 (8. 当k詢且k=2时，有唯一解；当 k=1时,9. (0,1, 3, 1)T是导出组的基础解系10. 属于3的所有特征向量为ka=k(1,0,1)T，有无穷多解；当 k=-2时，无解.(1,1,1,1)T是原方程组的特解，通解为,则 P-1AP= A .111$3,62132601132三、12. A2-A-2E=(A+E)(A-2E)=O,所以A的特征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故A 2E 为正定矩阵.测试题二、1 . 10.2. -1.3. -4.4. E .5 .正确.3211. Dn=n!.2. C5=A(BtA)4B =1O4 6429633. R(A)=3,极大无关组为(1,0,2,1)t, (1,2,0,1)t, (2,1,3,0)t.三、一个基础解系为(1,2,1,0)t, (-2,3,0,1)