点到平面距离的若干典型求法

1、.点到平面距离的若干典型求法目录1.12.13.33.133.253.373.483.593.6113.7131引言2预备知识(1):(1)PPPPPPP.图 1(2) 点到平面距离定义 : 一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。(3) 四面体的体积公式V 1 Sh3其中 V 表示四面体体积，S 、 h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。(4) 直线与平面垂直的判定定理 : 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 则该直线与此平面垂直。(5) 三垂线定理 : 在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它

2、和这条斜线也垂直。(6) 二面角及二面角大小 : 平面内的一条直线 l 把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2 所示为平面与平面所成的二面角，记作二面角l，其中 l 为二面角的棱。如图在棱l 上任取一点 O ，过点 O 分别在平面及平面上作 l 的垂线 OA 、OB ，则把平面角AOB 叫作二面角l的平面角，AOB 的大小称为二面角l的大小。在很多时候为了简便叙述， 也把AOB 称作与平面所成的二面角。图 2(7) 空间向量内积 :代数定义 : 设两个向量 a ( x1 , y

3、1 , z1 ) ， b ( x2 , y2 , z2 ) ，则将两个向量对应分量的乘积之和定义为向量 a 与 b 的内积，记作 a b ，依定义有 a b = x1 x2 y1 y2 z1 z2.几何定义 :在欧几里得空间中，将向量a 与 b 的内积直观地定义为a b| a | b | cosa, b，这里 | a |、| b |分别表示向量 a 、 b 的长度，a,b表示两个向量之间的夹角。向量内积的几何意义为一个向量的模与另一个向量在这个向量正方向上投影向量模的乘积。当a,b900 ，即 ab 时， a b| a | b | cosa, b| a | b |cos90 00 。下面说明这

4、两种定义是等价的。如图 3 所示，设 O 、 P 、 Q 为空间的三点，令 aOP ， bOQ ， cPQ图 3由余弦定理| c |2| a |2| b |22 | a | b | cosa, b再设 a( x1 , y1, z1 ) ， b(x2 , y2, z2 ) ，则 c ( x2x1, y2y1 , z2z1 )从而有( x2 x1 )2( y2y1 )2(z2 z1 )2 = x2y 2z2x2y2z22| a |b |cos a, b111222即x1x2y1 y2z1z2| a |b | cosa, b这就证得了两个定义是等价的。3 求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到

5、平面距离( 直接法 )定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:.(1) 两平面垂直的性质定理 : 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。(3) 经过一个角的顶点

6、引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。(4) 若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。例 如图 4 所示，所示的正方体 ABCDA B C D棱长为 a ，求点 A 到平面 AB D 的距离。( 注:本文所有解法均使用本例)图 4解法一 ( 定义法 ): 如图 5 所示，连结交 B D 于点 E ，再连结 AE ，过点 A 作 A H 垂直于AE ，垂足为 H ，下面证明 A H平面 AB D 。图 5AA平面 ABCDBDAA又在正方形 ABCD 中，对角线 BDAC ，且 AAACAAA平面 AAE

7、,AC平面 AAE.由线面垂直的判定定理知道 B D平面 AAEA H平面 AAEA HB D又由 AH 的作法知道 AHAE，且有 BDAEE ，B D平面 ABD ， AE平面 ABD由线面垂直的判定定理知道A H平面 ABD根据点到平面距离定义，A H 的长度即为点 A 到平面 AB D 的距离，下面求 A H 的长度。AB D 中，容易得到 ABB DD A2a ，从而 AB D 为正三角形， AB D 600 。进而在 Rt AB E 中， AEAB sinAB D2a sin 6006 a 。2由SAAE 1AA AE1AE AH得到221 A C1AAA EAAa23A H22A

8、EAE6a32从而 A 到平面 ABD 的距离为3 a 。33.2 转化法求点到平面距离有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。转化法依据主要有以下两点：(1) 若直线 l / / 平面，则直线 l 上所有点到平面的距离均相等。(2) 若直线 AB 与平面 交于点 M ，则点 A 、 B 到平面 的距离之比为 AM : BM 。特别地，当 M 为 AB 中点时， A 、 B 到平面的距离相等。下面用转化法重解上面例题解法二 ( 转化法

9、 )如图 6所示，连结 AC、A C、AC 、AB、AB ，AC 交 BD 于点 E ，连结 AE交 AC 于点 H，延长 AC 至点G使得CG 1AC ，连结CG。2.图 6CB平面 AABB从而斜线 AC在平面 AABB 的射影为 ABAB、 AB 为正方形 AABB对角线ABA B ，由三垂线定理知道ABA C同理可以得到 ADA C又ABADA，AB平面 ABD ， AD平面 ABDAC平面 ABDAH平面 ABD ，即点 H 为 A 在平面 ABD 的射影， AH 的长度为所求AC/AC 即AC/EG，且EGECCG1AC 1AC ACAC22四边形 ACGE 为平行四边形AE /

10、/CG在A CG 由等比性质有A HAE1A CEG31A CA H3而在正方体 ABCDABCD 中对角线 ACA A2AB2BC 23aA H3 a3在本例中，未直接计算垂线段 A H 的长度，而是找出了其与正方体ABCD ABCD 中对角线 A C 的数量关系，从而转化为求正方体ABCDABCD 对角线 AC长度，而 AC长度.是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2) 类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。3.3 等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中

11、，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式V1 Sh 求出点到平面的距离 h 。在3常规方法不能轻松获得结果的情况下， 如果能用到等体积法， 则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。 特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时， 首选此方法。下面用等体积法求解上面例子 .解法三 ( 等体积法 ): 如图 7 所示，作 A H 垂直于平面 AB D 于点 H ，则 AB D 长度为所求。对于四面体 A AB D ，易见底面 AB

12、 D 的高为 A H ，底面 A B D 的高为 AA 。对四面体 A AB D 的体积而言有：VAABDVA ABD图7即有 :1AA SABD1AH SAB D33也即 :A HAA S ABDS ABD由 ABB DD A2a ，从而AB D 为正三角形，AB D 600 ，进而可求得S ABD1 ABAD sin AB D1 ( 2a)2 sin 6003 a2222.又易计算得到 Rt A B D 的面积为 S A B D1 a22a1 a23AA S ABD2所以 AH3aS ABD23a2我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平

13、面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。3.4 利用二面角求点到平面距离如图 8 所示， l 为二面角l的的棱，AOB 为二面角l的一个平面角。下面考虑点 B 到平面的距离。作 BHOA ，垂足为 H ，下面证明 BH平面。图 8AOB为二面角l的一个平面角OAl 、 OBl又OAOBOl 平面 AOB又 BH 平面 AOB BH l又BHOA ， OAl =O ， OA平面， l平面BH平面在 Rt OBH 中，有BHOB sinBOH.这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一

14、个二.面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。下面利用二面角法求解上面例子。解法四(二面角法 ): 如图 9 所示，连结 AB、 AB ， AB与 AB 相交于点 O，连结 D O。 A B 与 AB 为正方形 ABB A 的对角线ABAB （即 AOAB ），O为AB 中点图 9又ABD 中 ADBDDOABA OD 为二面角 AABD 的平面角设 A 到平面 AB D 的距离为 d ， OA 是过点 A 的关于平面 AB D 的一条斜线，又上面得到的公式 有d OA sinA OD易见，DA平面 ABBA ，从而 DAOA . 在 Rt A OD 中有ta

15、n A ODA DaOA22 a2从而点 A 到平面 AB D 的距离为2223d OA sin A ODa sin(arctan 2)a3a2233.5 向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论:点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接的向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。证明 : 如图 10 所示， P 为平面外一点， Q 为平面上任意一点， PO平面于点 O ，n.为平面的单位法向量。PQ n| PQ | | n | cosPQ, n| PQ |cosPQ, n图 10| PO | | PQ |cosQPO| PQ | | cosPQ, n| | P

16、Q |cosPQ, n| | PQ n |即| PO | | PQ n |.这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。下面用向量法从新求解上面例子解法五 ( 向量法 )如图 11 所示以 D 点为原点， DA ，DC ，DD 所在的正方向分别x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系。图 11由所给条件知道坐标点A( a,0,0) 、 A (a,0, a) ， B (a, a, a) ， D (0,0, a) ，从而有 AB(0, a, a) ，AD(a,0, a) ， AA(0,0, a) 。设平面 AB D

17、 的任意一个法向量为n0(x, y, z) , 则有n0AB ， n0AD ， 即.n0AB0n0AD0代入已知得到ayaz0axaz0这是一个关于 x, y, z的不定方程，为了方便起见，不妨设z 1 ，这样上式变为aya0axa0解该式得到 x 1, y1这样就得到平面 AB D 的一个法向量为 n1(1,1,1)，将其单位化得到平面ABD 的一个单位法向量为 nn1(1,1,1) 。设点 A 到平面 AB D 的距离为 d ，结合式所给| n1 |333出的结论有d | AA n | | 0101a1 |33333即点 A 到平面 ABD 的距离为3 。3用向量法求解点到平面的距离比之前

18、面提供的几种几何方法而言，这种方法不需要大量的几何证明， 而主要是较为机械地进行代数运算。因而在实际使用这种方法时， 第一步建立空间直角坐标系常常成为最为关键的步骤，如果所建立的坐标系不能确定所给几何图形中关键点（所给平面外点及所给平面上不共线的任意三个点）在建立的坐标系的坐标， 则无法进行后续步骤 ; 如果所建立的坐标系虽然能够表示的关键点的坐标，但在所建立的坐标系中得到关键点坐标的计算过程复杂， 或者得到的关键点坐标表达式复杂，都将会导致繁琐的的计算。因此，选择恰当的直角坐标系对于使用本方法及简化计算都是相当重要的。3.6 利用最值求点到平面距离在介绍最值法之前， 先介绍一个简单的知识，

19、即点到平面的距离是点与平面上任意点连线的最小值。以下对这点做简要说明。如图 12 所示，平面外一点 P 在平面的射影为点 P , Q 为平面上任意一点。.图 12若Q不与 P 重合，则，构成三角形。因 PP平面，平面 ,PP PQ，PQ 0 PPQP Q三角形 PP Q 为直角三角形，从而由勾股定理有PQPP2P Q2PP这样就证得了结论。有了上面这个结论， 那么只要找到平面外一点到平面上任意一点的距离的函数表示， 再求出该函数的最小值， 则由上面结论即可知该最小值即为点到平面的距离。 一般构造函数没有确定的方法，不同的角度构造出的函数表示很可能是不一样的， 不过这并不影响最终结果。下面用常用

20、的向量构造方法构造函数求解上面例子中点到平面的距离.解法六（最值法）如图 13 所示， E 为平面 AB D 上任意一点，以 D 点为原点， DA ，DC ，DD 所在的正方向分别 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系。图 13由所给条件知道A( a,0,0) 、 A (a,0, a) ， B (a, a, a) ， D (0,0, a)从而有 AB(0, a, a) AD(a,0, a) ， A A(0,0,a) 。设点 E 在所建立的坐标系下的坐标为E( x, y, z) ，因 E 在平面 ABD 上，从而向量.AE( xa, y, z) 可由相交向量AB 、 AD 线性表示，

21、不妨设 AEABAD（,R ）则A EA AAEA AABAD( a,a , aaa)因此|AE|( a ) 2(a )2( aa a)2a22222221a 2(1)22(1)22(1)(1)1333333a（当且仅当1 时取等号）33从而 A 到平面 AB D 上点的距离最小值为3 a ，也即点 A 到平面 AB D 的距离为3 a 。33最值方法提供了求解点到平面距离的一种较为新颖的方法，同时这种方法是建立在对点到平面距离的深入理解的基础上的，也有助于加深理解点到平面距离的概念。不过这种方法对使用者的代数知识素养要求较高，要将几何图形中的几何关系转化为代数关系，构造出平面外点到平面上点的

22、函数关系，而且对函数最值的求法也需要较高的变形技巧，否则即使构造出平面外点到平面上点的函数关系也难求出函数最值，故一般这种方法对水平较高的读者比较适用。3.7 利用点到平面的距离公式求点到平面的距离点到平面的距离公式主要是利用解析几何的知识，将所给点及平面均给予代数表式，从而用代数方法得到的点与平面距离的统一的代数表示。点到平面的距离公式的推导方法有相当多，如直接用两点间距离公式推导、利用直线参数方程中参数的几何性质推导、利用球的切平面性质推导、 利用极值法推导等等。 公式法的实质是几何量代数化的结果，因此绝大多数求解点到平面距离的几何方法转化为代数语言都可以得到一般意义上的点到平面的距离公式

23、。限于本文篇幅， 就不对这些方法一一介绍了，下面仅从利用两点间距离公式的角度给出点到平面的距离公式一种推导。如图 14 所示，平面外一点 P 在平面的射影为点 P 。.图 14在某空间直角坐标系下，设平面的代数方程为：AxByCzD0 ，点 P 的坐标为P( x0 , y0 , z0 ) 。将平面的方程改写为A(xx0 ) B( y y0 ) C ( z z0 )( Ax0By0 Cz0 D ) .又由 PP平面及直线 PP 过点 P( x0 , y0 , z0 ) 知道直线 PP 的方程为x x0y y0z z0ABC下面不妨设x x0y y0z z0tABC.将代入中得到Ax0By0Cz0 DtA2B2C 2显然 P 的坐标 P (x, y, z) 在直线 PP 上，从而满足，即有xx0AtA(Ax0By0Cz0D )A2B2C 2yy0BtB( Ax0By0Cz0D )A2B2C 2zz0CtC ( Ax0By0Cz0D )A2B2C 2进而根据两点间的距离公式d | PP | ( x x0 ) 2( y y0 ) 2( y y0 )2( A2B2C 2 )( Ax0By0Cz0D) 2( A2B2C2)2.| Ax0 By0Cz0 D |=B