《建筑力学》_李前程__第十二章_力法

1、sEIMMd P若若EI是常数就可提到积分号的外面是常数就可提到积分号的外面,上式就变为上式就变为: PMM若若 和和 中有一个是直线图中有一个是直线图, , 如图所示如图所示:代入上式有代入上式有: 是常数是常数,可提到积分号的外面可提到积分号的外面 M 图图 BxxC M AByC AdxC形心形心MP dAMP图图 xy0 0sMMEId 1PtanxxM）（xxMEIBAdtan1PtanPM是是 图对图对Y Y轴的面积矩轴的面积矩, ,可写成可写成: : PM-是是 图的形心到图的形心到Y Y轴的距离轴的距离 有有: PM其中其中: : -是是图的面积图的面积 PMM-是是 图形心位

2、置所对应的图形心位置所对应的 图中的竖标图中的竖标 得：得：xxMBAdPcxAAcxtan1cAxEI令令: : ccytanxcyy1d PAEIsEIMM并且略去下标并且略去下标c c 上述积分式计算位移的方法称为上述积分式计算位移的方法称为图乘法图乘法。应用图乘法需注意以下几方面：应用图乘法需注意以下几方面：1.1.满足前提三个条件；满足前提三个条件；2.2.纵坐标纵坐标y y必须取自直线的弯矩图中；必须取自直线的弯矩图中；3.3.同侧为正，反之为负。同侧为正，反之为负。4.y4.y所在图形有若干直线段组成时，需分段求解；所在图形有若干直线段组成时，需分段求解；5.5.当弯矩图面积或形

3、心不易确定时，可将图形分解当弯矩图面积或形心不易确定时，可将图形分解为若干简单的图形，然后分别图乘，最后求和。为若干简单的图形，然后分别图乘，最后求和。23hl123hlhlC2 l/4 3l/4 3l/8 5l/8 C1 1 2 顶点顶点常见图形形心及面积常见图形形心及面积lhC2l/3 l/3 2hl23hlhl/2C顶点顶点2hlabl+b/3 l+a/3 hCl24hl134hlhll/5 4l/5 C2 2l/5 3l/5 C1 1 2 顶点顶点常见复杂图形处理常见复杂图形处理)yy(1d 2211PAAEIxEIMMA2A1y2y1cdba若各段刚度不相同，则应分段若各段刚度不相同

4、，则应分段图乘。图乘。222111Py1y1d AEIAEIxEIMM=+=+复杂图形的处理：复杂图形的处理：pF = 166 m1 0 k N /m6 m2 0 k NBACM = 113 0 04 5例：求例：求A点的转角和点的转角和C点的点的 竖向位移。竖向位移。 解：（解：（1）求）求A点的转角点的转角300 61130023A （2）求）求C点的竖向位移点的竖向位移300 6262232645 366603CV 图图M 图图PMM 图图ABCDEIEI2EIPLLL/2解：解： 1. 1. 作作MMP P图、图、P2PL2PLPLMP图图图M1L；2. 2. 图乘计算。图乘计算。Ay

5、=（）2PL4PLEI yC=EI1(2L L2PL(L 4=16EIPL2)-2EI123L)PL图M求求A A点竖向位移点竖向位移9第十二章第十二章 力法力法本章研究内容 研究超静定结构的内力计算。力法 是求解超静定结构内力的一种基本方法10第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 - 1 - 1 超静定结构的概念超静定结构有多余联系的几何不变体系。 仅用平衡方程不能求解出全部未知量（约束力或内力）,则所研究的问题是超静定问题。这类结构是超静定结构。未知量（约束力或内力）个数大于独立的平衡方程个数！ABC11第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 - 1 - 1 超静定结构的

6、概念与静定结构相比较,超静定结构具有如下性质:2.变形与材料的物理性质和截面的几何性质有关。1.超静定结构是具有多余联系的几何不变体系。求解超静定结构的内力,必需考虑变形条件。3.由于具有多余联系,因支座移动、温度改变等原因,均会使超静定结构 产生内力。 所以,超静定结构的内力与材料的物理性质和截面的几何性质有关。4.由于多余联系的作用,局部荷载作用下局部的较大位移和内力被减小。F1Cw313CFlwEI CC12第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 - 1 - 2 超静定次数的确定1.超静定次数超静定结构中多余联系的数目,称为超静定次数。2.确定超静定结构次数的方法 如果从原结构中

7、去掉 n 个联系后,3.从静力分析的角度看：超静定次数等于与多余联系相对应的 多余约束反力的个数。结构就成为静定的,则原结构的超静定次数就等于n。 4.举例：如何确定超静定次数。（1）超静定次数是：n = 1(a)去掉 1 个链杆支座,相当于去掉 1 个联系。13第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 - 1 - 2 超静定次数的确定（2）超静定次数是： n = 3（3）超静定次数是： n = 4独立平衡方程数：2 23 = 63 = 6约束反力数 = 10 10 - 6 = 410 - 6 = 4（固定端A、D约束） 2 23 = 63 = 6 （B 固定铰支座）2 2（C 铰链）

8、2 2(b)切断 1 根链杆,相当于去掉 1 个联系。(c) 去掉 1 个铰支座或 1 个单铰,相当于去掉 2 个联系。14第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 - 1 - 2 超静定次数的确定（4）闭合框架超静定次数是： n = 3对闭合框架任选一截面切开一切口,暴露出 3 个多余力,即变成为静定结构。重要结论：一个闭合框有 3 个多余联系。(d) 切断 1 个梁式杆,相当于去掉 3 个联系。15第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 - 1 - 2 超静定次数的确定讨论图示两个闭合框架的超静定次数n = 23 = 616第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 -

9、1 - 2 超静定次数的确定（5）平面刚架超静定次数不会因采用不同的静定结构体系而改变。n = 317第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定12 - 1 - 2 超静定次数的确定1.去掉 1 个链杆支座或切断 1 根链杆,相当于去掉 1 个联系。去掉多余联系的数目可如下计算:2.去掉 1 个铰支座或 1 个单铰,相当于去掉 2 个联系。3.去掉 1 个固定端或切断 1 个梁式杆,相当于去掉 3 个联系。4.在连续杆上加 1 个单铰或将固定端用固定铰支座代替,相当于去掉1个联系。超静定次数 等于 去掉多余联系的数目！注意:在去掉超静定结构的多余联系时,得到的静定结构应是几何不变的。不能是瞬变

10、体系。18ABCABC第二节 力法的典型方程力法的基本思想:1.去掉超静定结构的多余联系,使之成为静定结构体系力法的基本结构。2.在基本结构上施加与多余约束相应的多余力力法的基本未知量。3.应用变形条件求解多余力。在基本结构上施加相应的多余力后,它便于与原超静定结构等同。例题：X1变形条件:C 截面处挠度等于零。0C19第二节 力法的典型方程12 - 2 - 1 力法的基本概念ABCABC例题：X1变形条件:C 截面处挠度等于零。10 111()( )XF 令：111111(), ( )FXF 令 11 表示在力 X1=1 作用下，点 C 沿 X1 方向所产生的位移。11111X1111F0X

11、11 和 1F 可由计算静定结构位移的方法求出。如采用单位荷载法、图乘法。20第二节 力法的典型方程12 - 2 - 1 力法的基本概念ABCABC例题：X1若 AB = BC = l/2,EI1111F0XMF 图Fl/2MF 图 l31155222 6 48CFFl llyFlEIEIEIABCF =1MX 图l= 1311123 6Cll lylEIEIEI 331111F150648lFlXXEIEI 158XF21第二节 力法的典型方程ABCABC例题：X1超静定结构上由荷载所引起的内力,就等于在静定基本结构上由荷载和多余力共同作用所引起的内力。158XF由叠加原理，结构的弯矩可表达

12、为：F11MXMM将超静定结构上所有多余力和约束力求出后，可作内力图，并进行强度分析。FAyFAxM22第二节 力法的典型方程用力法求解超静定结构的基本步骤可概述如下:1.去掉多余联系,用多余力代替多余联系的作用,用静定的基本结构代替 超静定结构。2.以多余力为基本未知量,令基本结构上多余力作用点的位移与原超静定结构 的位移保持一致,利用这一变形条件求解多余力。3.将已知外荷载和多余力所引起的基本结构的内力叠加,即为原超静定结构 在荷载作用下产生的内力。注意：全部运算过程都是在静定的基本结构上进行的。23第二节 力法的典型方程12-2-2 力法的典型方程例题2 图所示刚架为三次超静定结构,基本

13、体系在点 B 沿X1 、X2 和X3 方向的位移应与原结构相同,有：000321式中: 1 是基本结构上点 B 沿 X1 方向的位移; 2 是基本结构上点 B 沿 X2 方向的位移; 3 是基本结构上点 B 沿 X3 方向的位移。用1 F 、2 F 和3 F 分别表示荷载单独作用在基本结构上时,点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。用 11 、21 和 31 分别表示力 X1 = 1 单独作用在基本结构上时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。24第二节 力法的典型方程12-2-2 力法的典型方程000321式中: 1 是点 B 沿 X1 方向的位移;2 是点 B 沿

14、 X2 方向的位移; 3 是点 B 沿 X3 方向的位移。用1 F 、2 F 和3 F 分别表示荷载单独作用时,点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。用 11 、21 和 31 分别表示力 X1 = 1 单独作用时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。用 12 、22 和 32 分别表示力 X2 = 1 单独作用时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。用 13 、23 和 33 分别表示力 X3 = 1 单独作用时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。25第二节 力法的典型方程12-2-2 力法的典型方程00032101F3132121

15、111XXX22112222332F0XXX 33113223333F0XXX 三次超静定结构的力法基本方程26第二节 力法的典型方程12-2-2 力法的典型方程01F3132121111XXX22112222332F0XXX 33113223333F0XXX 力法的基本方程这组方程的物理意义是:基本结构在多余力和荷载的作用下,在去掉多余联系处的位移与原结构中相应的位移相等。27第二节 力法的典型方程12-2-2 力法的典型方程1111221nn1F0XXX2112222nn2F0XXXn11n22nnnnF0XXX力法的基本方程为：对于 n 次超静定结构，力法的基本未知量是 n 个多余未知力

16、 X1 , X2 , , Xn ， 称为力法的典型方程典型方程中位于主对角线上的系数 ii 称为主系数。它的物理意义是:当单位力 Xi = 1 单独作用时,力Xi 作用点沿 Xi 方向产生的位移。主系数与外荷载无关,不随荷载而改变,是基本体系所固有的常数。28第二节 力法的典型方程称为力法的典型方程主系数 ii2 diMsEI式中：M i 是单位力 Xi = 1 单独作用下的弯矩值。不在主对角线上的系数 ij 称为副系数，它的物理意义是:副系数与外荷载无关,不随荷载而改变,也是基本体系所固有的常数。当单位力 Xj = 1 单独作用时,力 Xi 作用点沿 Xi 方向产生的位移。副系数 ij di

17、jM MsEIM i 、Mj 分别是单位力 Xi = 1、Xj = 1 单独作用下的弯矩值。1111221nn1F0XXX2112222nn2F0XXXn11n22nnnnF0XXX 29第二节 力法的典型方程称为力法的典型方程系数 ij 的前一个脚标指示位移发生的地点和方向, 后一个脚标指示产生位移的原因。根据位移互等定理,副系数有如下互等关系：jiij其值愈大,表明结构在此方向的位移愈大,即柔性愈大,所以称 i j 为柔性系数。系数 i j 表示单位力 Xj = 1 作用下结构沿 Xi 方向的位移,1111221nn1F0XXX2112222nn2F0XXXn11n22nnnnF0XXX

18、30第二节 力法的典型方程称为力法的典型方程典型方程中系数 i F 称为自由项,它的物理意义是:基本体系在荷载 ( F ) 作用下力 Xi 作用点沿 Xi 方向产生的位移。它与荷载有关,由作用在基本体系上的荷载所确定。sEIMMiid FF i j 或 i F 得正值(负值)说明位移的方向与相应的未知力Xi 的正向相同(相反)。1111221nn1F0XXX2112222nn2F0XXXn11n22nnnnF0XXX 31第三节 用力法计算超静定结构例 12 1 图所示超静定梁, EI = 常量。绘制内力图。解: (1) 选取基本结构属一次超静定问题(2)列力法方程、求系数力法方程为1111F

19、0X绘制 X1 = 1 单独作用下的弯矩图 M1绘制 荷载 单独作用下的弯矩图 MF主系数 11 由 M1 图自乘得到：311112323aaaaEIEI 自由项 1F 由 M1 图与MF图相乘得到：31F112233aFaaFaEIEI32第三节 用力法计算超静定结构例 12 1 图所示超静定梁, EI = 常量。绘制内力图。解:(3) 求多余力、绘内力图由力法方程1111F0X得：311aEI31F3FaEI1F1113FX 按叠加法绘弯矩图：1FMMXM绘制剪力图：FD=F/3FC=2F/333第三节 用力法计算超静定结构排架是工业厂房常用结构形式。 排架由屋架、柱子和基础组成。柱子通常

20、采用阶梯形变截面构件,柱底为固定端。柱顶与屋架为铰接。图示为一排架的结构及其计算简图。34第三节 用力法计算超静定结构例 124 图所示不等高两跨排架,已知EI1 EI2 = 4 3,受水平均布荷载作用。 试作出该排架的弯矩图。解： (1) 选取基本结构该排架是二次超静定结构。(2) 列力法方程、求系数多余未知力分别为：BC 杆的轴力 X1 DF 杆的轴力 X2 变形条件是：基本体系B、C 二点间的相对位移和D、F 二点间的相对位移同时等于零,即1111221F0XX2112222F0XX为求主、副系数和自由项,分别作出相应的 M1 图、M2 图和图 MF 图35第三节 用力法计算超静定结构解： (2) 列力法方程、求系数分别作出相应的 M1 图、M2 图和图 MF 图3111111222233llllEIEI 312111122714233981llllEIEI 3211211481lEI 36第三节 用力法计算超静定结构解： (2) 列