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1、七大积分总结一 定积分1. 定积分的定义： 设函数 f(x) 在a,b 上有界，在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点： a=x0x1x2xi-1 xi xi+1 xn-1 xn=b,把区间 a,b分成 n 个小区间： x 0,x 1x i-1 ,x i x n-1 ,x n ，记 xi =xi xi-1 (i=1,2,3, ,n) 为第 i 个小区间的长度，在每个小区间上 x i-1 ,x i 上任取一点 i (x i-1 i i ) ，作乘积 :nf( i ) xi (i=1,2,3,n), 并作合式：Sf ( i ) xii 1记 =maxx1 , x2, 小区间 x i-1 ,x

2、i 上点 i 时我们称 I 为函数 f(x)x3 , xn, 若不论对 a,b 怎样分法，也不论在怎样取法，只要当 0 时， S 的极限 I 总存在，这在区间 a,b 上定积分（简称积分），记做：bnaf (x)dx I limf ( i ) xi0i 1其中 f(x) 称为被积函数， f(x)dx称为被积表达式， x 称为积分变量， a 称为积分下限， b 称为积分上限， a,b称为积分区间，nf ( i )xi 称为积分和。i0如果 f(x) 在a,b上的定积分存在，则称f(x) 在a,b上可积。关于定积分的定义，作以下几点说明：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记

3、法无bbb关，即f ( x)dxf (t )dtf (u)du 。aaa（2）定义中区间的分法与 i 的取法是任意的。（3）定义中涉及的极限过程中要求0，表示对区间 a,b 无限细分的过程，随 0 必有 n，反之 n并不能保证 0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：1nf ( x)dx lim0ni 1f ( i ) 1（此特殊合式在计算中可以作为公式使n n用）2. 定积分的存在定理定理一若函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，则 f(x) 在a,b 上可积。定理二若函数 f(x) 在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。3. 定积分的几何意义对于定义在区

4、间 a,b上连续函数 f(x) ，当 f(x) 0 时，定积分b及 x 轴所围成的曲边梯形的面f ( x)dx 在几何上表示由曲线 y=f(x),x=a,x=ba积；当 f(x) 小于 0 时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分bf ( x) dx 在几a何意义上表示曲边梯形面积的负值。 若 f(x) 在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线 y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。4定积分的性质线性性质（性质一、性质二）性质一bbbg (x)dx和差的积分等于积分的和差；a f ( x) g( x)dxf ( x)dxaa性质二bbkf (

5、x)dxk f ( x) dx （k 是常数）aa性质三对区间的可加性不管 a,b,c 相对位置如何，总有等式性质四如果在区间 a,b上， f(x)1，则bf ( x)dx b aa性质五（保号性）如果在区间 a,b上， f(x) 0，则bf ( x)dx 0a推论一设 f(x) g(x),xa,b ，则 bf ( x)dxb g( x)dxaa推论二bbf (x) dxf ( x) dx (aa，如果极限 limf ( x) dxab存在，则此极限为函数f(x) 在无穷区间 a,+ 上的广义积分，记做f ( x)dx ，这时也称广义积分f (x)dx 收敛，如果上述极限不存在，则称该aa广义

6、积分发散。同理也可得函数f(x) 在无穷区间 - ,b 上的广义积分。对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。几条结论：1（ 1）广义积分 a x p dx ，当 p1 时收敛，当 p1 是发散。（ 2）广义积分 e pxdx 当 p0 时收敛，当 pa ，如果极限 lim tb存在，则称此极限为函数f(x) 在(a,b 上的广义积分，记做f (x)dxt abbbaf ( x)dx ，即 af (x)dx =lim tf (x)dx 。ta这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。同理，可得 f(x) 在区间 a,b）上的瑕积分 , 即bf (

7、 x)dx =tf ( x)dxalim at b对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿- 莱布尼茨公式，如对于f(x) 在区间（ a,b 上的瑕积分有：bf ( x)dx =limbatt a小结论：f ( x)dx =F(b)- lim F (x) =F(x)-F(a+0)xa广义积分11 dx 当 p1 时收敛，当 p1 时发散。0x p对于无界函数的广义积分（瑕积分）的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或a,b),(a,ba,b)的内部一个点上。10. 定积分的应用一、定积分在几何上的应用：（一）平面图形的面积1. 直角坐标情形 :对于有曲线 x=a,x=b,

8、y=f(x),y=g(x)围成的 X 型的曲边梯形，其面积的计算b（）公式为： A= f ( x) g( x) dxaab对于由曲线 y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所围成的 Y 型的曲边梯形的面积计算公式为： Ad(cd)f ( y) g( y) dyc2. 参数方程情形：当曲边梯形的曲边 f(x)(f(x)0,x a,b) 由参数方程x= (t ) ,y=(t) 给出时，若( ) a, ( ) b ，且在 a,b 上 (t ) 具有连续导数，y= (t ) 连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可得曲边梯形的b (t) dt面积为： A= f ( x) dx = (t)a

9、4. 极坐标情形：由曲线A=( )及射线，围成的曲边扇形的面积计算公式为12 ( )d2（二）立体的体积1. 旋转体的体积对于由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转b2 dx一周所成旋转体的体积计算公式为： V= f ( x)a同理可得相似的绕Y 轴和 Z 轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。2. 平行截面面积已知的空间立体的体积若一个立体位于平面x=a,x=b 之间，且知道过 x 且垂直于 x 轴的平面截此物体的截面面积为A(x) ，且 A(x) 为了连续函数，则此立体的体积计算公式是：bV=A( x)dx ，同理可得相似的过Y（Z）且垂直于 Y

10、（Z）轴的平面截得的立体a的体积的计算公式。（三）平面曲线的弧长1. 参数方程情形设曲线由参数方程x= (t) ,y=(t) 给出，且(t ) ，(t ) 在， 上具有一阶连续导数，则其弧长的计算公式为：S= 2 (t ) 2 (t )dt2. 直角坐标情形设曲线由直角坐标方程y=f(x)（axb）给出，其中 f(x) 在a,b上有一阶连续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f(x)，故其弧长的计b 2 dx算公式为： s= 1 ya3. 极坐标情形设弧线由极坐标方程()()给出，其中() 在, 上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=( )cos,y=( ) sin, 故

11、弧长为s=2 ()2 ()d二、定积分在物理上的应用b（一）变力沿直线所做的功W=F ( x)dxa（二）液体压力这个就题论题；（三）引力这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为X轴和 Y州两个方向上分别计算，就题论题；定积分到此结束，在计算的过程中要牢记常见的公式， 特别是积分公式， 这些都与不定积分有关，上边总结的一些积分公式可能不全，见谅。二二重积分这里二重积分的引入 （阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的体积）和定义及概念就不再总结，只声明：当被积函数为常数1 的时候，二重积分的物理意义是被积函数所围区域的面积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时，二重积分的意义有很多，这与

12、二重积分的应用有关。1. 二重积分的性质性质一 ( 线性性质 )和差的积分等于积分的和差；性质二（区域可加性）若区域 D由 n 个不重合的有界闭区域Di (i=1,2,3,n) 组成，则 f ( x, y)dnf (x, y)dDi 1 Di性质四（单调性）若在区域 D上恒有 f(x,y) g(x,y),则f ( x, y)dg(x, y) d，特别的有f ( x, y) df ( x, y) dDDDD性质五（估值定理）设 M，m分别为 f(x,y)在有界闭区域上D上最大、最小值， A 为区域 D的面积，则mAf (x, y)dMAD性质六（积分中值定理）设函数 f(x,y)在有界闭区域 D

13、上连续， A 为 D的面积，则在D上至少存在一点 ( , ) ，使f ( x, y) d=f ( , ) AD2. 二重积分的计算（基本思想：将二重积分转化为二次积分）一、 在直角坐标系下计算二重积分（一） 先对 Y，后对 X 的二次积分设二重积分f ( x, y) d的积分区域 D可以表示为Daxb,( x)1 y2 ( x) 的形式，其中1 (x) ， 2 ( x) 在a,b 上连续，这时程区域 D为 X型区域，这时二重积分的计算公式为b2 ( x）f (x, y) d = adx1 ( x )f ( x, y)dyD（二） 先对 X，后对 Y 的二次积分类似上边，若二重积分f (x, y

14、) d的积分区域 D 可以表示为Dcyd,1 ( y) 2 ( y) 的形式，则称区域 D 为 Y 型区域，这时二重积分的计算公式为 :d2 ( y）f (x, y) d =dyf ( x, y)dxc1 ( y )D二、 在极坐标系下计算二重积分若积分区域 D与圆域有关或者被积函数为f ( x2y 2 ) ， f ( y ) ，f(xy) 等形式，x用极坐标计算更简便。极坐标下的面积微元可以表示为： drdrd()直角坐标与极坐标有如下变换： xr cos, yr sin, 而两个坐标系的积分区域的形状不变，因此有f (x, y) d =f (r cos ,r sin )rdrd= dr2r

15、drr1 (DD)常用的计算技巧：1. 适当的拆分被积函数和积分区域（主要是利用分块积分和对称性）2. 对称性质若区域 D关于 X轴对称：（1）若 f(x,y)是关于 Y 的偶函数，则：f ( x, y)d =2f ( x, y)dDD 1（2）若 f(x,y)是关于 Y 的奇函数，则f ( x, y)d =0；D3. 二重积分的一般换元法设变量变换u u( x, y), v(x, y) ，将 Oxy平面上的闭区域 D一一对应地变到Ouv平面上的闭区域 D，如果函数 u,v 在闭区域 D内有连续偏导数，且uu(u, v)xy 0则，f ( x, y)d=f (x(u, v), y(u, v)

16、(u, v) dudv( x, y)vvDD(x, y)xy三、三重积分三重积分的几何意义（涉及到四维空间，暂不讨论）略去。在特殊情况下，当被积函数恒等于1 时，三重积分表示的为被积空间的体积大小。1三重积分的计算（一）直角坐标系下三重积分的计算方法一：投影法（又称先一后二法，先化三重积分为定积分，计算完定积分后就化为二重积分了）设三重积分f ( x, y, z)dxdydz的积分区域可表示为： z1(x,y) zz2(x,y), (x,y)Dxy其中 D 为在 Oxy平面上的投影区域，它是Oxy平面上的有界闭区域，xyz1(x,y) 和 z2(x,y) 都在 Oxy 上连续，则计算三重积分时

17、， 先将 x,y 看做常数，然后可得：f (x, y, z)dxdydz=z2 ( x, y)f (x, y, z)dz dxdyz1 ( x, y)D xyz2 (x, y )dxdy=z1 ( x,y )Dxyf(x, y, z)dz 先对 Z 积分，转化成关于 X,Y 的一个二重积分（事实上还是化为关于X,Y,Z 的三次积分来计算了），然后在计算二重积分即可（下面不再叙述） 。若区域 Dxy 可以再极坐标系下表示，那么可以将上述公式化为先对 Z，再对 r ，后对的三次积分。方法二：截面法（又称先二后一法，事实上是先化三重积分为二重积分，计算完二重积分后就化为一个定积分了）设空间区域： c

18、1zc2,(x,y)Dz, 其中 Dz 是过点（ 0,0 ，z）且平行于Oxy平面的平面截所得的平面区域，则f (x, y, z)dxdydzc2f ( x, y, x)dxdydz，然后可根据 D是坐标= c1zDz系下的 X 型或 Y 型区域化 X,Y 的二重积分为二次积分，然后转化为Z 的定积分。若 Dz 可以用极坐标系表示，则还可以化为关于先计算r, 的二重积分（化为二次积分计算），再计算 Z 的定积分。（由于这里公式繁杂，故不再详细书写，请谅解）3. 三重积分的换元法设变量变换x x(u,v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w), (u,v, w)将 Ouv

19、w空间中的闭区域 一一对应地变换为 Oxyz 空间中的闭区域，若函数 x,y,z 在 内具有连续的偏导数，且xxxuvwJ ( x, y, z)y y y 0，则三重积分的换元公式为(u, v, w)uvwzzzuvwf ( x, y, z)dxdydz=f ( x(u,v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) J dudvdw4. 柱面坐标下三重积分的计算柱面坐标与直角坐标的变换关系为：x r cos, y r sin , z z, 则易得（代入上边的换元公式中可得） ：J=r0, 所以f ( x, y, z)dxdydz= f (r cos , r sin , z)rdr

20、d dz ，然后计算三重积分。注：当被积函数含有zf(x 2+y2),zf(xy),zf ( y ) 的形式，或者积分区域由圆柱x面（或一部分）锥面、抛物面所围成时，用柱面坐标系计算比较简便。5. 球面坐标下三重积分的计算。直角坐标和球面坐标之间的转换关系如下：则代入上边的换元法的公式中可得 J=r 2sin 0故f ( x, y, z)dxdydz=f (r sin cos, r sinsin , r cos )r 2 sin drdd注：当积分区域是与球面有关的区域时或者被积函数中含有x2y 2z2 等形式时，用球面坐标系计算比较简便。三重积分的对称奇偶性：若关于 Oxy平面对称，则当 f

21、 为关于 z 的奇函数时，f ( x, y, z)dxdydz=0；当 f 为关于 z 的偶函数时，f ( x, y, z)dxdydz=2f ( x, y, z)dxdydz16. 重积分的应用一 计算立体体积V=dv二计算空间曲面面积设： z=f(x,y) 为空间可求面积的曲面，在 Oxy 平面的投影区域为 Dxy, 任取 Dxy 上的小区域 d ，则经过证明可得（证明过程略去，自己看书） ：d=dS1, 故1zx 2zy 2dS= 1zx 2zy 2 d=1zx 2zy 2 dxdy , 故S=1zx 2zy 2 dxdy ，然后计算二重积分。Dxy三、求质心这里只介绍公式，推导过程不再

22、叙述，自个儿看书。设有一个有界闭区域D，它的密度(x, y) 在 D上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：（其中 Mx,My 分别为质点系对对X，Y轴的静距）。M yx ( x, y)dDx( x, y)dMM xy ( x, y)dD， y( x, y)dMDD特别的，当区域D 的面密度为常值时，其质心坐标计算公式为：M yxdxdM xydydDDDDxdSD， ydSDMMDD同理可得空间有界区域的形心的坐标公式：x( x, y, z)dvy (x, y, z)dvz (x, y, z)dvx(x, y, z)dv， y( x, y, z)dv， z( x, y, z)dv特别的，当空

23、间区域所代表的例题均匀为时，其形心坐标公式为：补充：1. 若积分区域关于直线 y=x 对称，则根据 轮换对称性 可得：f ( x, y) d=f (y, x) dDD2. 在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。3. 利用质心、重心公式计算（ 当且仅当积分区域所代表的图形是均匀的）：例如：xdxdxSD （此公式是由质心公式变形得到的，使DD用此公式的前提是已知积分区域的质心坐标）四、计算转动惯量（公式推导过程略去）设一个平面区域D，面密度为(x, y)，下面给出其相对于X,Y,Z轴的转动惯量的计算的公式：I xdI xy2( x, y)d， I ydI yx2( x, y) dDD

24、DD同理也可得到空间区域所代表的例题相对于X,Y,Z轴的转动惯量分别为：I xd2 x(x, y, z)dv( y 2z2 )( x, y, z)dv其中 dx,d y,d z 分别为点 (x,y,z)到 x,y,z轴的距离。五、计算引力（推导过程略去，自个儿看书）某薄片在平面Oxy上所占区域为 D，面密度为(x, y) ，下面给出它对点（ x0,y 0,z 0 ）处单位质点（单位质量的质点）的引力计算公式： （任取 D上的小区域 d ，点 M（x,y,z ）为 d 上任意一点）( x, y)( x x0 )d( x, y)( y y )dFxG， FyG0r3r3DD四、第一类曲线积分（对弧

25、长的曲线积分）引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量（此过程不再叙述）。1.对弧长的曲线积分的定义设函数 f(x,y)在 Oxy平面的光滑曲线弧 L 上有界，将 L 分成任意的 n 段，si表示小狐段本身又表示它的长度， 点 (i , i ) 是si 上任取的一点，令 =maxsi , 则定义第一类曲线积分：nL f (x, y)ds limf ( i , i)si ，同时可定义在空间中的第一类0 i 0limn曲线积分：f ( x, y, z)dsif (i , i , i ) si002. 对弧长的曲线积分的性质性质一ds l ，其中 l 为弧长。L性质二（线性性质）对弧

26、长和差的积分等于积分的和差。性质三（可加性）将曲线弧分成 n 段补充和的小弧段，则性质四（单调性）若在曲线弧 L 上， f(x,y) g(x,y),则Lf ( x, y) dsg( x, y)ds ，特别f ( x, y) dsf ( x, y) dsLLL3. 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。 （变量参数化，小值做下限）设函数 f(x,y) 在光滑曲线弧 L 上连续， L 的参数方程为x= (t ) ,y=(t ) ， (t) ，则对弧长的曲线积分f ( x, y)ds 存在，且Lf ( x, y)dsf (t ),(t)2 (t)2 (t) dt（）L特

27、别的，当曲线弧L 的方程为 y= ( x) ，(a xb) 时，可以将 x 看做参b2 ( x)dx数，故Lf ( x, y)dsf (x,( x) 1a同理也可写出将 Y 看做参数的计算公式。当曲线弧 L 有极坐标方程 rr ()() 时，由极坐标与直角坐标的变换关系 x r ( ) cos , y r ( ) sin,()，将看做参数，则f ( x, y)dsf (r () cos, r () sin) r 2 ()r 2 ()d 以上公式L都给可以推广到空间曲线弧： x(t ), y(t), z(t ), (t)上，此时对弧长的曲线积分公式为：f ( x, y, z)dsf ( (t),

28、 (t),(t)2 (t )2 (t)2 (t) dt 五、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）引例：变力沿曲线做功（在此不再叙述）1. 第二类曲线积分的定义（直接引入定义，不再阐述，实际上阐述过程和前边几种积分很相似）。向量函数P(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标X 的曲线积分，记做P(x, y)dx，L向量函数Q(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标Y 的曲线积分，记做：Q( x, y)dy。L若力F=（P(x,y),Q(x,y)）, 则质点沿曲线弧从起点A到终点B 是变力F 做功可表示为：W=P( x, y)dx+Q(x, y) dy ，同理可推广到空间中的光滑曲线弧，故LLW= LP( x,

29、 y, z)dxLQ( x, y, z)dyLR( x, y, z)dz2. 对坐标的曲线积分的性质性质一（线性性质）对坐标的曲线积分具有线性（和差的积分等于积分的和差）性质二（可加性）对坐标的曲线积分具有积分曲线分段可加性。性质三（有向性）设 L 为有向光滑曲线弧，记L为 L 的反向曲线弧，则L P(x, y)dxQ(x, y)dyL P(x, y)dxQ( x, y)dy ，同理此结论也可推广到空间曲线弧的坐标积分。3. 对坐标的曲线积分的计算（变量参数化，起参值做下限）与对弧长的曲线积分的计算方法一样， 对坐标的曲线积分的计算方法也是将其化为定积分。设函数 P(x,y),Q(x,y)在有

30、向光滑曲线弧L 上连续， L 的参数方程为x= (t ) ,y=(t) ， (t，或 (t) ，其中(t) ，(t) 具有连续的一阶导数，又有当 t 由变到时， L 上的电从起点变到终点，则对坐标的曲线积分存在，且P( x, y)dxQ( x, y)dyP( (t ), (t) (t )Q( (t), (t ) (t ) dtL同理也可写出当X 或 Y 作参数时的公式，还可写出曲线弧在极坐标系下时的公式（这里就不再叙述了） ，且以上公式都可以推广到空间曲线弧中。注：在计算的时候，一定要特别注意曲线弧的方向和积分参变量的上下限。3. 两类曲线积分之间的联系设 L：x= (t ) ,y=(t )

31、，为从点 A 到点 B 的有向光滑曲线弧，其中点A 处 t= 1, 点 B 处 t= 2 , 又 P(x,y),Q(x,y)在 L 上连续，令cos (t ) (t )cos2 (t )2 (t ) 2 (t ) ，2 (t )P( x, y)dxQ( x, y)dy2Q( (t ),(t) (t) dtP( (t ), (t ) (t )L1=P( (t ), (t)2(t)Q( (t ), (t) (t )2 (t)2 (t)dt212 (t)2 (t )2 (t)2 (t)=P(x, y) cosQ( x, y) cos ds同理可得：L=(Pcos Q cosRcos )dsL4. 格林公式及其应用格林公式的定义：若平面有界闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P（x,y ）,Q(x,y) 在 D上具有连续的一阶偏导数，则有Pdx Qdy( QP )dxdy。（证明略）LxyD5. 平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件设 D是单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在 D 内具有连续的一阶偏导数，则下面四个命题 等价：（1）对 D中任一分段光滑闭曲线C，有PdxQdy0 ；C（2）对 D中任一有向分段光滑曲线L，曲线积分PdxQdy 与路径无关，只L与起点、终点有关；（ 3）Pdx+Qdy 在 D 内 是 某 一 函 数 u(x,y)