三角形全等之截长补短-(整理)

1、三角形全等之截长补短讲义、知识点睛截长补短：题目中出现，考虑截长补短；截长补短的作用是二、精讲精练1.：如图，在 ABC中，/仁/2,Z B=2/C.求证：AC=AB+BD.2.如图，在四边形 ABCD中，/ A= / B=90点E为AB边上一点，且DE平分/ ADC , CE平分 / BCD.求证：CD=AD+BC.EB3.：如图，在正方形 / B=Z D=Z BAD=90 , 求证：EF=BF+DE.ABCD 中，AD=AB,E, F分别为CD, BC边上的点，且/ EAF=45,连接EF.BFC4.：如图，在 ABC中，/ ABC=60 ABC的角平分线 AD, CE交于点0. 求证：A

2、C=AE+CD.5.：如图，在 ABC中，/ A=90 AB=AC, BD平分/ ABC, CE丄BD交BD的延长线于点 E.1求证：CE -BD.2【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长 AB至U E, 使 BE=BD，连接DE . vZ ABD是厶BDE的一个外角/ ABD = Z E+Z BDE BE=BDZ E=Z BDEZ ABD=2Z EvZ ABD=2Z CA1D Z E=Z C在厶ADE和厶ADC中ADAD ADEADC (AAS ) AE=AC AC=AB+ BE=AB + BD截长法：

3、证明：如图，在AC上截取AF=AB,连接DF .A在厶ABD和厶AFD中AB AF1 2AD AD ABD AFD (SAS)/ B=Z AFD, BD=FD vZ B=2Z C/ AFD=2Z CvZ AFD是厶DFC的一个外角Z AFD = Z C + Z FDCZ FDC = Z C DF=FC BD=FC AC=AF+FC=AB+BD2.证明：如图，在 CD上截取CF=CB.v CE 平分Z CBD Z 1 = Z 2 在厶CFE和厶CBE中CF CB1 2CE CE CFE CBE (SAS) Z CFE=Z BvZ B=90 Z CFE=Z DFE =90 vZ A=90 Z DF

4、E = Z Av DE 平分Z ADC Z 3=Z 4在厶DEF和厶DEA中DFE A34DE DE DEF DEA (AAS ) DF=AD CD=DF+CF=AD+BC证明：如图，延长FB到G,vZ D = ZABC=90 Z ABG=Z D=90在厶ABG和厶ADE中AB=ADABG= DBG=DE ABGAADE (SAS) AG=AE,Z 仁/2vZ BAD=90, / EAF=45/ 2+Z 3=45Z 1 + Z 3=45即 Z GAF=45 Z GAF=Z EAF在厶AGF和厶AEF中AG AEGAF EAFAF AF AGF AEF (SAS) GF=EFv GF=BF+BG

5、 EF=BF+DE4. 证明：如图，在 AC上截取AF=AE，连接OF . v AD，CE ABC的角平分线 Z 1 = Z 2,Z 3=Z 4 在厶AEO和厶AFO中AE AF1 2AO AO AEOA AFO (SAS) Z 5=Z 6vZ ABC=60 Z 1 + Z 2+Z 3+Z 4=180 Z B=180 60=120 Z 2+Z 3=60 Z AOC=180 60=120 Z 5=Z 6=Z 7=Z 8=60 在厶OFC和厶ODC中Z 8 Z 7OC OCZ 3 Z 4 OFCODC (ASA) CF=CD AC=AF+FC=AE+CD5. 证明：如图，延长CE，交TCE丄 BD

6、/ BEF=Z BEC=90vZ BAC=90/ CAF=Z BAD=90vZ 3=Z 4Z 1 = Z 5在厶BAD和厶CAF中15AB ACBAD CAF BADCAF (ASA) BD=CFv BE 平分Z ABC Z 1 = Z 2在厶BEF和厶BEC中1 2BE BEBEF BEC BEFA BEC (ASA) EF=EC1 CE=-CF21-CE= BD2三角形全等之截长补短每日一题1. (4 月 28 日)在厶 ABC 中，AD丄 BC 于 D, Z B=2Z C.求证：CD=AB+BD.2. 4月29日如图，在 ABC中，ABAC,/仁/2, P为AD上任意一点，连接 BP,

7、CP.求证：AB ACPB PC.3. 4月30日：如图，/仁/2, P为BN上一点，且PD 丄 BC 于点 D，/ A+Z C=180求证：BD=AB+CD.4. 5月2日如图，在正方形 ABCD中，E为BC边上任意一点,AF平分Z DAE，连接EF .F求证：AE=BE+DF .【参考答案】1. 证明：如图，在线段 DC上截取DE=BD,连接AE. AD 丄 BC/ ADB=Z ADE=90在厶ABD和厶AED中AD ADADB ADEDB DE ABDAED (SAS)/ B=Z 1, AB=AEvZ B=2Z C/ 1=2Z CvZ 1是厶AEC的一个外角Z 1 = Z C+Z 2Z

8、C=Z 2 AE=CE CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD(如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明)2. 证明：如图，在线段 AB上截取AE=AC，连接PE.贝U AB AC=AB AE=EB在厶AEP和厶ACP中AE AC1 2AP AP AEPA ACP (SAS) PE=PC在厶 PEB 中, PB PEEB PB PCPB PC(延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,也可证明结论)3. 证明：如图，在 BC上截取BE=BA,连接PE.N在厶ABP和厶EBP中BA BE1 2BP BP ABPA EBP ( SAS)/ A=Z 3vZ A+Z C=180, / 3

9、+Z 4=180/Z 4=Z Cv PD 丄 BCZ PDE=Z PDC=90在厶PDE和厶PDC中4 CPDE PDCPD PD PDE PDC (AAS ) DE=DC BD=BE+ED=AB+CD过点P作PF丄BA于F，也可进行证明4. 证明：如图，延长 EB到点G,使BG=DF，连接AG.四边形ABCD为正方形 AB=AD，/ D = Z ABC=Z BAD=90/ ABG=Z D=90在厶ABG和厶ADF中AB ADABG ADFBG DF ABGAADF (SAS)/ 仁/2，Z 5=Z Gv AF 平分/ DAE/ 仁/3vZ 1 + Z 5=90/ 3+Z G=90vZ 1 +

10、 Z 3+Z 4=90Z 2+Z 3+Z 4=90Z 2+Z 4=Z G AE=EGv EG=BE+BG AE=BE+DF三角形全等之截长补短随堂测试6. ：如图，在四边形 ABCD中，BOAB, AD=DC, Z C=60 BD平分Z ABC. 求证：BC=AB+AD.DCB【参考答案】1. 证明略提示：在BC上截取BE=AB，证明 ABDA EBD，再证明CE=AD.三角形全等之截长补短作业1.如图，在 ABC 中，/ BAC=60 / ABC=80 AD 是/BAC 的平分线. 求证：AC=AB+BD.D3a+av=3v ：nWo08L=Q7+a 7 3 9VT39(QVa 74iOV

11、国血乙3.如图，在 ABC 中，/ A=100 Z ABC=40 BD 是/ ABC 的平分线，延长 BD 至 E,使 DE=AD, 连接EC.求证：BC=AB+CE.4.如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, CE丄AB于, BDC为等腰直角三角形，/ BDC=90 BD=CD, CE与BD交于F,连接AF.求证：CF=AB+AF.【参考答案】1. 证明略提示：方法一：在 AC上截取AE=AB，连接DE,证明 ABDA AED, 再证明CE=DE;方法二：延长 AB 至U E, 使 BE=BD，证明 ADEADC .2. 证明略提示：在AE上截取AF=AD，证明 CDACFA,再证明 B

12、E=FE.3. 证明略提示：在BC上截取BF=BA,连接DF,证明 ABD FBD, 再证明 DFCDEC .4. 截长法：CM=BA，连接 DM .BD=CD证明：如图，在CF上截取 BDC为等腰直角三角形 / 仁/ DCB=45CE丄 AB,Z BDC=90/ CEB=Z BDC=90vZ 2=Z 3/Z 4=Z 5在厶ABD和厶MCD中AB MC45BD CD ABDMCD (SAS) DA=DM , Z 6=Z 7v AD/ BCZ 7=Z 仁45Z 6=45 Z 8=45 Z 7=Z 8在厶ADF和厶MDF中DA DM78DF DF ADF MDF (SAS) AF=MF CF=CM+MF=AB+AF补短法：证明：如图，延长BA交CD的延长线于点G. BDC为等腰直角三角形/ GDB=Z B