高等教育自学考试复习专题：线性代数（经管类）讲义-第三部分向量空间

1、第三部分向量空间本章将把三维向量推广，建立n维向量的概念和运算，研究向量组的线性相关、无关性，进而引入向量组的极大无关组和向量组的秩。这些是研究线性方程组的重要工具。3.1n维向量的概念及其线性运算3.1.1n维向量的概念在解析几何中，已知二维向量和三维向量在实际问题中，光有二维，三维向量还不够，如要刻画一个球的位置，需四个数。推广二维，三维向量，有下面n维向量的定义。定义3.1.1由n个有顺序的数组成的数组称为一个n维向量，数称为该向量的第i个分量n维向量既可以用一行n列的行矩阵来表示，也可以用n行一列的列矩阵来表示。我们分别称它们为行向量，列向量。定义3.1.2称所有分量都为零的向量0=（

2、0,0,0）为零向量。称为的负向量。定义3.1.3如果n维向量的对应分量都相等，即则称向量,相等，记为=。3.1.2n维向量的线性运算一、向量线性运算的定义定义3.1.4 设定义为 的和（差）向量。定义3.1.5 设k为一个数。则定义为数k与向量的数乘。二、向量线性运算的性质设,都是n维向量，k、1是数，则加法与数乘满足：（1）加法交换律 +=+（2）结合律 （+）+=+（+）（3）零向量满足 +0=0+=（4）负向量满足 +（-） =0（5）1=（6）分配律 k （+）=k+k（7）（k+1） =k+1（8）k（1）=（k4）=1（k）例1.设=（2,1,3）, =（-1,3,6）,=（2,

3、-1,4）,求2+3-。【答疑编号12030101】例2.设=（1,0,-2,3）, =（4,-1,-2,3），求满足2+3=0的。【答疑编号12030102】解：3.1.3向量的线性组合一、定义定义3.1.6 设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为该线性组合的组合系数。设是一个n维向量，若存在一组数使得则称是的线性组合，也称能由线性表出（或线性表示）。称为组合系数或表出系数。因为所以零向量可以由任意向量组线性表出。例3.设n维向量组（称为基本单位向量组）是任意n维向量。则即任意n维向量组都能由基本单位向量组线性表示。【答疑编号12030103】二、线性组合的几何意义三、

4、组合系数的求法 例4.设问能否表示成的线性组合？【答疑编号12030201】由此例可见，问能否由线性表示的问题就是问相应的线性方程组是否有解的问题。请同学们务必掌握这二者之间的转化方法。事实上，对任意一个线性方程组若令则线性方程组的向量表示法为方程（这是方程组的第三种表示法，其系数矩阵，增广矩阵是什么样?）则线性方程组是否有解的问题就是能否由向量组线性表示的问题，表示法是否惟一的问题就是方程组的解是否惟一的问题。例5.问能否由线性表示？表示法是否唯一？【答疑编号12030202】解：此例说明能由线性表示，且表示法不惟一。小结： 1.n维向量及其线性运算的定义和性质;2.向量组的线性组合，向量由

5、向量组线性表示的概念3.线性方程组的三种表示方法：矩阵表示法：AX=B向量表示法：作业 p86 习题3.1 1，2，3（2），63.2线性相关与线性无关3.2.1线性相关与线性无关的定义定义3.2.1设是一组n维向量。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。即如果必有则称向量组线性无关。事实上，线性无关，就是零向量由线性表示的表示法惟一。所以，向量组线性相关即齐次方程组有非零解；向量组线性无关即齐次方程组只有零解，没有非零解。例1.一个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是=0。因为10=0。所以，=0时，向量组线性相关；反之，如果向量组线性相关，据定义存在0

6、，使得，k=0，必有=0。【答疑编号12030301】例2.讨论的线性相关性。【答疑编号12030302】解：例3.n维基本向量组必线性无关【答疑编号12030303】下面的定理说明向量组线性相关的实际含义。定理3.2.1向量组线性相关的充分必要条件是存在一个，使得它能由该向量组的其它向量线性表示。例4.向量组，线性相关的充分必要条件是存在数k，使得=k或=k。【答疑编号12030304】重要结论（1）n个n维向量线性无关的充分必要条件是其构成的行列式其中为列向量。（2）一个向量线性相关的充分必要条件是=0，两个向量线性相关的充分必要条件是存在数k，使得=k或=k。3.2.2向量组线性相关性的

7、若干基本定理这部分的重点是准确地理解和叙述定理，而不是证明。定理3.2.2设向量组线性无关，向量组线性相关，则能由向量组线性表出，且表示法惟一。定理3.2.3设向量组线性相关，是任意一个n维向量。则向量组必线性相关。推论1含有零向量的向量组必线性相关。推论2设线性相关，则任意扩充后所得的向量组必线性相关。（部分相关，则整体相关）推论3设向量组线性无关，则它的任何一个部分组必线性无关。（整体无关，则部分无关）定理3.2.4设向量组线性无关。则由它生成的接长向量组必线性无关，其中推论4若接长向量组线性相关，必有原向量组线性相关。例5.向量组线性无关，知必线性无关。【答疑编号12030401】例6.

8、 由前例知线性相关，所以必线性相关。请注意区分“接长向量组与截短向量组”和“向量组（扩充向量组）与向量组的部分组（向量组）”。【答疑编号12030402】小结：1.向量组线性相关性与齐次方程组有非零解的关系2.线性相关性的几个定理3.请总结判断向量组线性相关性的方法。作业 p94 习题3.2 1.（1）（2），2。3.3向量组的秩 这一节主要讨论向量组的极大无关组和向量组的秩的概念及其求法3.3.1两个向量组的关系定义3.3.1（向量组的线性表出） 设有两个向量组若向量组R中的每个向量都能由向量组线性表出，则称向量组R能由向量组S线性表出。例1 。则向量组R能由向量组S线性表出。【答疑编号12

9、030501】例2 向量组A的任何一个部分组都能由该向量组线性表示。【答疑编号12030502】定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。例3 ，则向量组R与S等价。【答疑编号12030503】证：显然，R中的每一个向量都能由向量组S线性表出。容易看出等价关系具有：反身性；对称性；传递性。3.3.2向量组的极大无关组 设是所有3维向量的全体。，我们已知线性无关，对于任意一个三维向量,能由线性表示。所以,就线性相关了。我们称为的极大线性无关组，简称极大无关组。一般，有定义3.3.3设A是一组n维向量。如果A中存在一

10、组向量满足：（1）线性无关；（2）在A中，任取一个向量，则，必线性相关。则称为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。例4 是的一个极大无关组。【答疑编号12030504】定理3.3.1 是向量组T的一个极大无关组，则R与T等价,从而它的任意两个极大无关组也等价。定理3.3.2 向量组A含有r个n维向量，向量组B含有s个n维向量，向量组A能由向量组B线性表示，且向量组A线性无关，则rs。 推论1两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等。推论2向量组的两个极大无关组所含向量个数相等。推论3设A是一个n维向量组。则它的极大无关组的向量个数不超过n （即n）。证 因为是的一个极大无关组，所以任给A

11、，都能由线性表示，所以A的极大无关组也能由线性表示。故它的极大无关组的向量个数不超过n。推论4 如果向量组A所含向量个数大于其维数n,则向量组A必线性相关。3.3.3向量组的秩定义3.3.4（向量组的秩）设A是一个向量组。称A的极大无关组所含向量个数为该向量组的秩，记为r(A)（我们规定只含零向量的向量组的秩为0）。容易看出，当向量组A所含向量个数= r(A)时，A线性无关；若当向量组A所含向量个数r(A)时，A线性相关。定理3.3.3 如果向量组S可以由向量组T线性表出，则r(S)r()。推论5 等价的向量组必有相等的秩。在矩阵一章，我们讨论过矩阵的秩。一个自然的问题是矩阵的秩和向量组的秩之

12、间有何关系？有下面的定理。定理3.3.4矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。（今后统称为矩阵A的秩。）于是我们可以通过求矩阵的秩来求向量组的秩。例5 求向量组的秩。【答疑编号12030601】3.3.4求向量组的极大无关组的方法注意：对于列向量组构成的矩阵因为初等变换不改变矩阵的秩,所以向量组与向量组的线性相关性相同。若线性无关,线性相关,则以为增广矩阵的线性方程组与为增广矩阵的线性方程组同解,所以,若。于是有下面的求极大无关组的方法,并能把其余向量由极大无关组线性表示。例6 求的极大无关组。并将其余向量由该极大无关组线性表示。【答疑编号12030602】方法: （1）用列

13、向量做成矩阵A；（2）对A做初等行变换使。例7 （1）求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（2）这个向量组有几个极大无关组？【答疑编号12030701】例8 用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明：【答疑编号12030702】证 设A为mn阶矩阵，为nk阶矩阵。其中这表明向量组C能由向量组A线性表出。所以R（AB）R（A）。因为。命题得证。小结 向量组的秩的概念以及如何根据秩与向量个数的关系判断向量组的线性相关性。重点是例6,7给出的求极大无关组的方法。作业 p103 1(2)(5)(6),2,4,6,73.4向量空间3.4.1向量空间的概念定义3.4.1 n维实向量

14、的全体构成的集合称为实n维向量空间，记作。定义3.4.2 设V是的一个非空子集，且满足（1）若则；（1）若，则则称V是的子空间。例1 的一个子空间，称为零子空间。【答疑编号12030801】例2 都是的子空间。但都不是的子空间。其中属于实数。【答疑编号12030802】类似的，不难证明也是的子空间。类似的，不难证明也不是的子空间。3.4.2生成子空间定义3.4.3对任意的一组n维向量，由它们的全体线性组合组成的集合生成的子空间，记为下面证明确实是的子空间。3.4.3基，维数，坐标定义3.4.4设V是的一个向量空间（子空间）。若V中的向量组；（1）线性无关；（2）V中的任意一个向量，都能由线性表出（,线性相关，且表示法惟一），即存在惟一一组数，使得。则称向量组为V的一个基，称r为向量空间V的维数，称为向量在这个基下的坐标。 没有基，定义为0维。例3 中是的一个基，所以，是n维。【答疑编号12030803】例4 任取，则在基下的坐标为【答疑编号12030804】例5 证明： 构成的一个基。并求出在这组基下的坐标。【答疑编号12030805】 例6 求中由向量组生成的子空间的基和维数。【答疑编号12030806】小结1.子空间的定义和判断的一个子集是子空间的方法。2.关于向量空间的基，坐标和维数的概念，