电路分析基础(马颖 西电版)第5章 正弦交流电路ppt课件

1、第5章正弦交流电路1 1第5章 正弦交流电路 5.1 正弦交流电的根本概念正弦交流电的根本概念 5.2 正弦交流电的相量表示正弦交流电的相量表示 5.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容正弦交流电路中的电阻、电感和电容 5.4 基尔霍夫定律的相量方式基尔霍夫定律的相量方式 5.5 阻抗串联电路的分析阻抗串联电路的分析 5.6 导纳并联电路的分析导纳并联电路的分析 5.7 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率 第5章正弦交流电路2 25.8 功率因数的提高功率因数的提高 5.9 交流电路中的谐振交流电路中的谐振 本章小结本章小结 阅读资料：示波器简介阅读资料：示波器简介 实验实验8 典型电信号的

2、察看与丈量典型电信号的察看与丈量 实验实验9 日光灯功率因数的提高日光灯功率因数的提高 第5章正弦交流电路3 35.1 正弦交流电的根本概念正弦交流电的根本概念交流电交流电(AlternatingCurrent)也称也称“交变交变电流，简称电流，简称AC，普通指大小和方向随，普通指大小和方向随时间作周期性变化的电压或电流。交流电可时间作周期性变化的电压或电流。交流电可以有效传输电力，它的最根本的方式是正弦以有效传输电力，它的最根本的方式是正弦交流电，但实践上还有其他的波形，例如三交流电，但实践上还有其他的波形，例如三角波和方波。生活中运用的市电就是具有正角波和方波。生活中运用的市电就是具有正弦

3、波形的交流电。弦波形的交流电。第5章正弦交流电路4 45.1.1 正弦交流电量的三要素正弦交流电量的三要素大小与方向均随时间按正弦规律作周期性变化的电流、大小与方向均随时间按正弦规律作周期性变化的电流、电压、电动势分别称为正弦交流电流、电压、电动势。在电压、电动势分别称为正弦交流电流、电压、电动势。在某一时辰某一时辰t的瞬时值可用三角函数式的瞬时值可用三角函数式(解析式解析式)来表示，即来表示，即 )sin()()sin()()sin()(emumimtEtetUtutIti第5章正弦交流电路5 5式(5-1)中，u、i、e分别为电压、电流和电动势的瞬时值；Im、Um、Em分别叫做交流电流、电

4、压、电动势的最大值(也叫做峰值或振幅)；叫做交流电的角频率；i、u、e分别叫做电流、电压、电动势的初相位或初相。以电流为例，其波形如图5-1所示。由于角频率、最大值和初相可决议一个正弦量，因此将它们称为正弦量的三要素。第5章正弦交流电路6 6图5-1 正弦量波形表示图 第5章正弦交流电路7 71.最大值及有效值最大值及有效值正弦交流电量瞬时值中的最大值称为振幅或峰值。它正弦交流电量瞬时值中的最大值称为振幅或峰值。它阐明了正弦量振动的幅度。在公式中分别用阐明了正弦量振动的幅度。在公式中分别用Im(单位为安培单位为安培A)、Um、Em(单位为伏特单位为伏特V)表示。表示。正弦量的瞬时值大小是随时间

5、变化的，这给计量正弦正弦量的瞬时值大小是随时间变化的，这给计量正弦量的大小带来了困难。电路的一个重要作用是电能转换，量的大小带来了困难。电路的一个重要作用是电能转换，正弦量的瞬时值不能确切反映电路在能量转换方面的效果，正弦量的瞬时值不能确切反映电路在能量转换方面的效果，为此，我们引入正弦交流电有效值的概念，它是根据热效为此，我们引入正弦交流电有效值的概念，它是根据热效应定义的。应定义的。第5章正弦交流电路8 8有效值的定义为：让交流电流i和直流电流I分别经过两个阻值相等的电阻R，假设在一样的时间T内，两个电阻耗费的能量相等，那么称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。有效值用大写字母表示，如I

6、、U等。由此可知，在一样时间T内电阻R耗费的能量为即交流电流的有效值为 tRiRTIWTd022TtiTI02d1第5章正弦交流电路9 9将正弦交流电流的瞬时值表达式代入上式，可得 由此得出正弦量有效值和最大值的关系为mm2m002m02m022m707. 02)0(2)d2cosd(2d22cos1dsin1IITTItttTIttTIttITITTTTmmmm7070270702U.UUI.II(5-2) (5-3) 第5章正弦交流电路10 10【例5-1】 日常所说的照明电压为220V，其最大值是多少？解 在日常生活和消费中常提到的220V、380V电压指的是交流电的有效值，用于丈量交流

7、电压和交流电流的各种仪表所指示的数字以及电气设备铭牌上的额定值也是有效值。该当留意，并非在一切场所中都用有效值来表征正弦交流电的大小。例如，在确定交流电气设备的耐压值时，就应思索电压的最大值。V311V22202mUU第5章正弦交流电路11 11【例5-2】 一个电容器的耐压值为250V，能否用在220V的单相交流电源上？解 由于220V的单相交流电源为正弦电压，其振幅值为311V，大于电容器的耐压值250V，电容器能够被击穿，所以不能接在220V的单相电源上。留意：各种电气元件和电气设备的绝缘程度(耐压值)要按最大值思索。第5章正弦交流电路12 122.角频率、周期与频率角频率、周期与频率角

8、频率：表征正弦电量每秒内变化的电角度，用角频率：表征正弦电量每秒内变化的电角度，用表示，表示，单位为弧度单位为弧度/秒秒(rad/s)。周期：正弦电量变化一周所需的时间称为周期，通常周期：正弦电量变化一周所需的时间称为周期，通常用用T表示，单位为秒表示，单位为秒(s)。常用单位有毫秒。常用单位有毫秒(ms)、微秒、微秒(ms)、纳秒纳秒(ns)。频率：正弦电量每秒钟变化的周期数称为频率，用频率：正弦电量每秒钟变化的周期数称为频率，用f表表示，单位为赫兹示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互为倒数，即。周期和频率互为倒数，即Tf1(5-4) 第5章正弦交流电路13 13我国和世界上大多数国家一样，

9、电力工业的规范频率即所谓的“工频是50Hz，其周期为0.02s，少数国家(如美国、日本)的工频为60Hz。在其他技术领域中也要用到各种不同的频率，例如：声音信号频率约为20Hz20000Hz，广播中波段载波频率为535Hz1605Hz，电视用的频率以MHz计。、T、f三者都反映了正弦量变化的快慢。在一个周期T内，正弦量所阅历的电角度为2弧度，如图5-2所示。由角频率的定义可知，角频率与频率及周期间的关系为 Tf22(5-5) 第5章正弦交流电路14 14图5-2 角频率与周期及频率间的关系 第5章正弦交流电路15 15我国运用的工频电信号其周期频率f=50Hz，T=1/f=0.02s，那么角频

10、率为=100rad/s=314rad/s3.初相及相位相位是反映正弦交流电任一时辰形状的物理量。正弦交流电的大小和方向是随时间变化的，它的表达式是i(t)=Imsin(t+i)，其中的t+i相当于角度，它反映了交流电任一时辰所处的形状，是在增大还是在减小，是正的还是负的等，因此把t+i叫做相位或者相位角。第5章正弦交流电路16 16初相位指t=0时所对应的相位角0，它反映了计时起点的形状，取值范围在180+180 。图5-3给出了几种不同计时起点的正弦电流的解析式和波形图。由波形图可以看出：(1)假设正弦量波形起点就在坐标原点，那么初相i=0，如图5-3(a)所示。(2)假设正弦量波形起点在坐

11、标原点左侧，那么初相i0，如图5-3(b)所示。(3)假设正弦量波形起点在坐标原点右侧，那么初相i0，且120因此，这两个正弦量的相位差是30，u1超前u2。第5章正弦交流电路2828【例5-6】 分别写出图5-7中电流i1、i2的相位差，并阐明i1与i2的相位关系。解 (1)由图5-7(a)可知1=0，2=，12=12=0，阐明i1超前于i2。2222434343第5章正弦交流电路29295.2 正弦交流电的相量表示正弦交流电的相量表示前面引见的两种正弦量表示方法：瞬时前面引见的两种正弦量表示方法：瞬时值表达式及波形图表示法中，都具有最大值、值表达式及波形图表示法中，都具有最大值、角频率及初

12、相这三个主要特征，而这些特征角频率及初相这三个主要特征，而这些特征量还可以用其他方法来描画。不同的描画方量还可以用其他方法来描画。不同的描画方法之间可以相互转换，它们都是分析与计算法之间可以相互转换，它们都是分析与计算正弦交流电路的必要工具。其中，用复数表正弦交流电路的必要工具。其中，用复数表示正弦电量，即相量表示法，可以大大简化示正弦电量，即相量表示法，可以大大简化电路的分析与计算。电路的分析与计算。第5章正弦交流电路30305.2.1 正弦量的旋转矢量表示法正弦量的旋转矢量表示法假设有一个正弦电流假设有一个正弦电流i=Imsin(ti)，用旋转矢量表示，用旋转矢量表示该正弦电流的方法如下：

13、在一个直角坐标系中，过原点做该正弦电流的方法如下：在一个直角坐标系中，过原点做一条有向线段，它与横轴的夹角等于正弦量的初相位一条有向线段，它与横轴的夹角等于正弦量的初相位i，线，线段的长度等于正弦量的最大值段的长度等于正弦量的最大值Im，并以角速度，并以角速度绕原点逆绕原点逆时针旋转，旋转中的线段在纵轴上的投影，与正弦量在该时针旋转，旋转中的线段在纵轴上的投影，与正弦量在该时辰的瞬时值坚持一一相等的对应关系，如图时辰的瞬时值坚持一一相等的对应关系，如图5-8所示。像所示。像这样旋转的有向线段称为旋转矢量，它不仅表示了正弦量这样旋转的有向线段称为旋转矢量，它不仅表示了正弦量的瞬时值，还表示了正弦

14、量的三要素。的瞬时值，还表示了正弦量的三要素。第5章正弦交流电路31 31图5-8 旋转矢量表示图 第5章正弦交流电路3232对于恣意时辰t，各旋转矢量之间的相对位置不变。这样，即可用一个长度等于正弦量最大值，与横轴夹角为初相角的静止矢量来表示正弦量。这种静止在t=0时辰的旋转矢量称为相量，相量的表示方法为在大写字母上方加一个“。图5-8所示的旋转矢量对应的相量如图5-9所示。正弦量的相量是用复数来表示正弦量的最大值和初相位的，因此学习相量法之前，应首先复习稳定一下有关复数的概念及其运算法那么。第5章正弦交流电路3333图5-9 相量图 第5章正弦交流电路34345.2.2 复数及复数运算复数

15、及复数运算一个复数是由实部和虚部组成的。设一个复数是由实部和虚部组成的。设A为一复数，为一复数，a和和b分别为其实部和虚部，那么分别为其实部和虚部，那么A=a+jb取不断角坐标系，其横轴称为实轴，以取不断角坐标系，其横轴称为实轴，以+1为单位；纵轴称为单位；纵轴称为虚轴，单位是为虚轴，单位是 (在数学中虚轴单位用在数学中虚轴单位用i表示，这里为表示，这里为了与电流符号了与电流符号i相区别而用相区别而用j表示表示)，这两个坐标轴所在的平，这两个坐标轴所在的平面称为复平面。每一个复数都可以在复平面上用一有向线面称为复平面。每一个复数都可以在复平面上用一有向线段来表示，如图段来表示，如图5-10所示

16、。所示。1j第5章正弦交流电路3535图5-10 用矢量表示复数 第5章正弦交流电路3636图中原点指向A的有向线段长度称为复数A的模，用r表示；模r与正向实轴的夹角称为复数A的幅角，用表示，模r与幅角的大小决议了该复数的独一性。复数A在实轴上的投影是它的实部数值a；复数A在虚轴上的投影是它的虚部数值b。1.复数的表示复数有代数式、三角函数式、指数式及极坐标式四种表示方式。(1)代数方式：A=a+jb第5章正弦交流电路3737式中为虚部单位。a、b均为实数，分别为复数A的实部和虚部，用符号表示为：取复数A的实部ReA=a；取复数A的虚部ImA=b。(2)三角函数方式：A=r(cos+jsin)

17、式中r为复数A的模；为复数A的幅角。(3)指数方式：A=rej指数方式是将三角函数方式用数学中的尤拉公式ej=cos+jsin替代得来的。1j第5章正弦交流电路3838(4)极坐标方式：A=r在以后的运算中，代数方式和极坐标方式是最常用的，因此对它们之间的换算应非常熟练。由图5-10可知，复数几种方式之间的相互转换关系为实部a=rcos 虚部b=rsin复数的模复数的幅角22barabarctan第5章正弦交流电路3939【例5-7】 写出复数A1=4j3，A2=3+j4的极坐标方式。解 A1的模为辐角为 那么A1的极坐标方式为 A1=5375)3(4221r3743arctan1(在第四象限

18、) 第5章正弦交流电路4040A2的模为辐角为那么A2的极坐标方式为A2=512754)3(222r12734arctan2(在第二象限) 第5章正弦交流电路41 41【例5-8】 写出复数A=100120的三角函数方式和代数方式。解 三角函数方式为A100(cos120jsin120)代数方式为A100(cos120jsin120)50j50 3第5章正弦交流电路42422.复数的四那么运算复数的四那么运算设有两个复数：设有两个复数：A1=a1+jb1=r11， A2=a2+jb2=r22加、减运算运用代数方式计算较为方便：加、减运算运用代数方式计算较为方便：A=A1A2=(a1+jb1)(

19、a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2)(5-7) 也可经过图像法来求解，如图也可经过图像法来求解，如图5-11所示，运用平行四边形所示，运用平行四边形法那么分别实现复数的加、减法。法那么分别实现复数的加、减法。乘、除法运算运用极坐标方式计算较为方便：乘、除法运算运用极坐标方式计算较为方便：A=A1A2=r1r2(1+2) (5-8)( 212121rrAAA(5-9) 第5章正弦交流电路4343图5-11 用平行四边形法那么求和、差的方法 第5章正弦交流电路4444【例5-9】 知复数A1553，A23。求A1A2和A1A2，并在复平面内画出矢量图。解 A15533j4A1A23j436

20、j4=6.333.7A1A23j43490矢量图如图5-12所示。第5章正弦交流电路4545图5-12 例5-9图 第5章正弦交流电路46465.2.3 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法1.正弦量的相量表示正弦量的相量表示与正弦量相对应的复数方式的电压和电流称为相量。与正弦量相对应的复数方式的电压和电流称为相量。如正弦交流电流如正弦交流电流i、电压、电压u的瞬时值表达式分别为的瞬时值表达式分别为 它们的有效值、最大值相量分别表示为和，它们的有效值、最大值相量分别表示为和，即即 留意：相量是一个表示正弦电流的复数，但它不等于正弦留意：相量是一个表示正弦电流的复数，但它不等于正弦量。量。)si

21、n(2)sin()sin(2)sin(uumiimtUtUutItIim、IIm、UUummuimmiUUUUIIII第5章正弦交流电路4747【例5-10】 知工频条件下，两正弦电压的相量分别为，。试求这两个正弦电压的瞬时值表达式。解 由题可知，频率f50Hz，那么角频率为=2f=250=100rad/s两正弦电压的最大值分别为VU602201VU302202V 402220 V, 22202mm1UU第5章正弦交流电路4848初相分别为1=60，2=-30所以两正弦电压的瞬时值表达式为V)60100sin(22201tuV)45100sin(402tu第5章正弦交流电路49492.相量图及

22、相量的运算正弦量的相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，相量的长度是正弦量的有效值，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相0。这种表示相量的图形称为相量图。但是，只需同频率的多个正弦量对应的相量画在同一复平面上才有意义，把不同频率的正弦量相量画在同一复平面上是没有意义的。因此，只需同频率的正弦量才干运用相量运算，运算方法可按复数的运算规那么进展。第5章正弦交流电路5050【例5-11】 知同频率正弦量的瞬时值表达式分别为i=10sin(t+30)A，分别写出电流和电压的有效值相量，并绘出相量图。解 由瞬时值表达式可得相量图如图5-13所示。 V)45sin(2220tuV45220A3025A3

23、02102uimUUII第5章正弦交流电路51 51例5-11相量图 第5章正弦交流电路5252【例5-12】 电路如图5-14所示，知i1、i2分别为i1=5sin(t+37)Ai2=10sin(t53)A试求电流i，并绘出相量图。解 将i1、i2用相量表示为=537A=(4+j3)A =1053A=(6j8)A 根据KCL，有i=i1+i2， m1Im2Im2m1mIII第5章正弦交流电路5353那么 所以电流i=11.8sin(t26.6)A，相量图见图5-15。 m2m1mIII=(4+j3)+(6j8)=10j5=11.826.6A 第5章正弦交流电路5454图5-14 例5-12图

24、 第5章正弦交流电路5555图5-15 例5-12相量图 第5章正弦交流电路56565.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容正弦交流电路中的电阻、电感和电容在在正弦交流电路中，由电阻、电感和电容正弦交流电路中，由电阻、电感和电容中任一个元件组成的电路，称为单一参数正中任一个元件组成的电路，称为单一参数正弦交流电路。工程实践中的一些电路可以以弦交流电路。工程实践中的一些电路可以以为是由单一电路元件组成的交流电路，因此，为是由单一电路元件组成的交流电路，因此，单一参数电路的电压、电流关系是分析交流单一参数电路的电压、电流关系是分析交流电路的根底。电路的根底。 5.3.1 电阻元件电阻元件纯电阻电路

25、是最简单的交流电路，它由纯电阻电路是最简单的交流电路，它由交流电源和电阻元件组成。人们平常运用的交流电源和电阻元件组成。人们平常运用的电灯、电炉、电热器、电烙铁等都属于电阻电灯、电炉、电热器、电烙铁等都属于电阻性负载，它们与交流电源衔接构成纯电阻电性负载，它们与交流电源衔接构成纯电阻电路。路。第5章正弦交流电路57571.电阻元件上电压与电流的关系电阻元件上电压与电流的关系如图如图5-16(a)所示，当线性电阻所示，当线性电阻R两端加上正弦电压两端加上正弦电压uR时，电阻中便有电流时，电阻中便有电流iR经过。经过。如图如图5-16(a)所示，电阻元件上的电压和电流为关联参所示，电阻元件上的电压

26、和电流为关联参考方向时，在任一瞬间，电压考方向时，在任一瞬间，电压uR和电流和电流iR的瞬时值仍服从的瞬时值仍服从欧姆定律，即欧姆定律，即设电压的瞬时值表达式为设电压的瞬时值表达式为uR=Umsin(t+u)，代入式，代入式(5-10)得得RuiRR(5-10) )sin(umRRtRURui第5章正弦交流电路5858图5-16 纯电阻电路模型 第5章正弦交流电路5959将上式与电流的瞬时值表达式iR=Imsin(t+i)相对比，可知它们具有如下关系：(1)数值关系。电压与电流的最大值关系为两边同除以，可得有效值关系为阐明电阻元件的最大值和有效值关系与瞬时值一样，都遵照欧姆定律。RUImm2R

27、UI (5-11) 第5章正弦交流电路6060(2)相位关系。根据推导的电流瞬时值结果，有电压与电流的相位关系为t+u=t+i，即u=i(5-12)阐明电阻元件的电流和电压之间为同频、同相关系。相应的波形图如图5-17(a)所示。(3)相量关系。由瞬时值表达式，得电流有效值相量为)(2)sin(iimtItIii II第5章正弦交流电路61 61将式(5-11)和式(5-12)代入上式，可得 式(5-13)同时表示了电压与电流之间的数值与相位关系，称为欧姆定律的相量方式，相应的相量图如图5-17(b)所示。RURUIIuiRUImm或 第5章正弦交流电路6262图5-17 纯电阻电路电压、电流

28、波形图及相量图 第5章正弦交流电路63632.纯电阻电路的功率1)瞬时功率电阻在任一瞬间所吸收的功率，等于电阻元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积。瞬时功率用小写字母p表示，即p=ui。电阻元件经过正弦交流电时，在关联参考方向下，瞬时功率为 0)2cos1 ()2cos1 (2sinsinsinRRRmRm2RmRmRmRmRRRtIUtIUtIUtItUiup第5章正弦交流电路6464图5-18画出了电阻元件的瞬时功率曲线。由上式和功率曲线可知，电阻元件的瞬时功率是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的两倍。电压和电流为关联参考方向时，在任一瞬间，电压与电流同号，所以瞬时功率恒为正值，即

29、p0。阐明电阻元件在每一瞬间都耗费电能，所以电阻元件是耗能元件。 第5章正弦交流电路6565图5-18 电阻元件的功率波形图 第5章正弦交流电路66662)平均功率P(或称有功功率)电阻元件耗费功率的大小在工程上都用平均功率来表示，用大写字母P表示，单位为瓦(W)，也常用千瓦(kW)表示。周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时功率在一个周期内的平均值，即正弦交流电路中电阻元件的平均功率为 TtpTP0d1RRRR00RRR00R)0()d2cosd1(d)2cos1 (1d1IUTTIUtttTIUttIUTtpTPTTTT第5章正弦交流电路6767因IRUR/R或URIRR，代入上式可得由于平

30、均功率反映了电阻元件实践耗费电能的情况，因此又称有功功率。习惯上常把“平均或“有功二字省略，简称功率。例如，60W的灯泡，1kW的电炉等，其瓦数都是指平均功率。RURIIUP2R2RRR(5-14) 第5章正弦交流电路6868【例5-13】 电阻R100，其两端的电压。试求：(1)经过电阻R的电流IR和iR；(2)电阻R的有功功率PR；(3)作的相量图。解 (1)根据有效值的欧姆定律可知由于纯电阻的电流、电压同频率、同相位，所以 A1100100RRRUIV)30sin(2100Rtu)A30sin(2Rti第5章正弦交流电路6969(2)有功功率为PR=URIR=1001=100W(3)由题

31、意知电压的相量为因此 相量图如图5-19所示。 V 30100RUA 30110030100RRRUI第5章正弦交流电路7070图5-19 例5-13图 第5章正弦交流电路71 71【例5-14】 一只额定电压为220V、额定功率为100W的电烙铁，误接在380V的交流电源上，问此时它耗费的功率为多少？能否平安？假设接到110V的交流电源上，它的功率又为多少？解 由电烙铁的额定值可求出电烙铁的等效电阻为当电源电压为380V时，电烙铁耗费的功率为 48410020022RPUR W100 W29848438022RRUP第5章正弦交流电路7272实践耗费功率大于额定功率，电烙铁将被烧坏。当接到1

32、10V的交流电源上时，电烙铁耗费的功率为 W100 W2548411022RRUP第5章正弦交流电路73735.3.2 电感元件电感元件1.电感元件上电压与电流的关系电感元件上电压与电流的关系在图在图5-20(a)所示电路中，设电感的电压与电流为关联所示电路中，设电感的电压与电流为关联参考方向，那么参考方向，那么 式式(5-15)是电感元件上电压和电流的瞬时关系式，二者是微是电感元件上电压和电流的瞬时关系式，二者是微分关系，而不是正比关系。分关系，而不是正比关系。 tiLuddLL(5-15) 第5章正弦交流电路7474图5-20 纯电感电路模型及波形图 第5章正弦交流电路7575假设设iL=

33、ILmsin(t+i)，代入式(5-15)可得如设电流初相i=0，可绘出电压、电流波形如图5-20(c)所示。将式(5-16)与电压瞬时值表达式uC=UCmsin(t+u)相对比，可知它们具有如下关系： )2sin()2sin()cos(d)sin(diLmiLmiLmiLmLtUtLItLIttILu(5-16) 第5章正弦交流电路7676(1)数值关系。电感元件电压与电流的最大值关系为ULm=ILmL=ILmXL有效值关系为式(5-17)中，L称为电感元件的感抗，表示电感线圈对电流的妨碍作用，用XL表示，单位为欧姆()，即UL=ILL=ILXL或 LLLLXULUI(5-17) LLL2I

34、UfLLX(5-18) 第5章正弦交流电路7777由式(5-18)可看出，感抗XL与电感值L、电源的频率f成正比，即电源频率越高，感抗越大，表示电感对电流的妨碍作用越大；反之，频率越低，线圈的感抗也就越小。对直流电来说，频率f0，感抗也就为零，阐明电感元件在直流电路中相当于短路。因此，电感元件具有“通直流、阻交流，通低频、阻高频的性质。 (2)相位关系。电感元件电压和电流之间的相位关系为正交，即电压超前电流90，或电流滞后于电压90，即图5-20(c)给出了电流和电压的波形图。 2iu(5-19) 第5章正弦交流电路7878(3)相量关系。在关联参考方向下，经过电感的电流为其相量为 那么电感两

35、端的电压为其相量方式为 )sin(2iLLtIiiIILL2sin2iLLtUu222iLLILLiLLXUXIUU第5章正弦交流电路7979即 相量图如图5-21所示。LLLIjXULLLjXUI或 (5-20) 第5章正弦交流电路8080图5-21 电感元件相量图 第5章正弦交流电路81 812.电感元件的功率电感元件的功率1)瞬时功率瞬时功率电感元件的瞬时功率等于电感元件上电压瞬时值与电电感元件的瞬时功率等于电感元件上电压瞬时值与电流瞬时值的乘积。设电流初相为零，那么流瞬时值的乘积。设电流初相为零，那么iL=ILmsint)2sin(LmLtUutsinUItUItItUiup2 2si

36、n21 sin)2sin(LLLmLmLmLmLL第5章正弦交流电路8282由上式可知，电感元件上的瞬时功率是随时间而变化的正弦函数，其频率为电流频率的两倍，图5-22给出了功率曲线图。由图可知电感元件在不断地与电源交换电能，所以电感元件是储能元件。第5章正弦交流电路8383图5-22 电感元件的功率波形图 第5章正弦交流电路84842)有功功率P(平均功率)电感元件瞬时功率在一个周期内的平均值为上式阐明电感元件是不耗费能量的。由图5-22也可以看出：电感吸收的瞬时功率不为零，在第一及第三个周期内，瞬时功率为正值，电感元件从电源吸收能量；在第二及第四个周期内，瞬时功率为负值，电感元件释放能量。

37、在一个周期内，吸收能量和释放能量是相等的，即平均功率为零，这阐明电感元件不是耗能元件，而是储能元件。0d2sin1d1L00LttIUTtpTPTT4141第5章正弦交流电路85853)无功功率QL电感虽然不耗费有功功率，但要与电源进展能量交换，这种能量交换的规模，即能量交换的最大速率，我们用电感元件上电压有效值和电流有效值的乘积来衡量，叫做电感元件的无功功率，用QL表示，即无功功率的单位为“乏(var)，工程中也常用“千乏(kvar)。1kvar1000var。储能元件(L或C)虽本身不耗费能量，但需占用电源容量并与之进展能量交换，对电源也是一种负担。L2LL2LLLLXUXIIUQ(5-2

38、1) 第5章正弦交流电路86864)电感元件储存的能量电感线圈储存的能量为磁场能，用WL表示，单位为焦耳(J)，即2LL21LIW (5-22) 第5章正弦交流电路8787【例5-15】 知一个电感L2H，接在的电源上。求：(1)感抗XL；(2)经过电感的电流iL；(3)电感上的无功功率QL。解 (1)电感元件的感抗为XLL3142628(2)经过电感的电流为V)60314sin(2220LtuA15035. 0j62860220jLLLXUI第5章正弦交流电路8888(3)电感上的无功功率为QLULIL2200.3577var 【例5-16】 假设流过电感元件中的电流，无功功率QL=500v

39、ar。求：(1)电感元件的感抗XL和L；(2)电感元件中储存的最大磁场能量WLm。第5章正弦交流电路8989解 (1)电感元件的感抗为电感量为(2)电感元件中储存的最大磁场能量为 51050022LLIQXmH 501005LXLJ5)210(05. 0212122LmLmLIW第5章正弦交流电路90905.3.3 电容元件电容元件1.电容元件上电压与电流关系电容元件上电压与电流关系图图5-23(a)所示电路中，设电容的电压与电流为关联参所示电路中，设电容的电压与电流为关联参考方向，那么电流表示为考方向，那么电流表示为 假设设假设设uC=UCmsin(t+u)，代入式，代入式(5-23)可得可

40、得 如设电压初相如设电压初相u=0，可绘出电压、电流波形如图，可绘出电压、电流波形如图5-23(c)所所示。示。 tuCidd(5-23) )2sin()cos(dduCmuCmCCtCUtCUtuCi(5-24) 第5章正弦交流电路91 91图5-23 纯电容电路模型及波形图 第5章正弦交流电路9292将式(5-24)与电流瞬时值表达式iC=ICmsin(t+i)相对比，可知它们具有如下关系：(1)数值关系。电容元件电压与电流的最大值关系为有效值关系为式(5-25)中，称为电容元件的容抗，表示电容对电流的妨碍作用，用XC表示，单位为欧姆()，即ICm=CUCm或 CmCCmCm1IXICUI

41、C=CUC 或 CCCC1IXICU(5-25) C1CmCmCCC211IUIUfCCX(5-26) 第5章正弦交流电路9393由式(5-26)可看出，容抗XC与电容值C及电源的频率(角频率)成反比，在直流电路中，=0，容抗XC趋于无穷大，相当于开路。因此，电容元件具有“通交流、隔直流，通高频、阻低频的性质。(2)相位关系。电容元件的电压和电流之间的相位关系为正交，即电流超前电压90，或电压滞后于电流90，即图5-23(c)给出了电流和电压的波形图。 2ui(5-27) 第5章正弦交流电路9494(3)相量关系。在关联参考方向下，电容两端的电压为其相量为经过电容的电流为 )sin(2uCCt

42、UuuCCUU2sin2uCCtIi第5章正弦交流电路9595其相量方式为 即 相量图如图5-24所示。 222uCuCCuCCCUXUIICCCjIXU或 CCjXUI第5章正弦交流电路9696图5-24 电容元件相量图 第5章正弦交流电路97972.电容元件的功率电容元件的功率1)瞬时功率瞬时功率电容元件的瞬时功率为电容元件上电压瞬时值与电流电容元件的瞬时功率为电容元件上电压瞬时值与电流瞬时值的乘积。设电压初相为零，那么瞬时值的乘积。设电压初相为零，那么uC=UCmsint)2sin(CmCtIitIUtItUiup2sin)2sin(sinCCCmCmCC第5章正弦交流电路9898由上式

43、可知，电容元件上的瞬时功率也是随时间而变化的正弦函数，其频率为电流频率的两倍，图5-25给出了功率曲线图。由图可知电容元件在不断地与电源交换电能，所以电容元件是储能元件。2)有功功率P(平均功率)电容元件瞬时功率在一个周期内的平均值为与电感元件一样，电容元件也不是耗能元件，而是储能元件，即P0。0d2sin1d1C00CttIUTtpTPTT第5章正弦交流电路9999图5-25 电容元件的功率波形图 第5章正弦交流电路1001003)无功功率QC无功功率指瞬时功率的最大值，即能量交换的最大速率，等于电容元件上电压有效值和电流有效值的乘积，用QC表示，即4)电容元件储存的能量恣意时辰电容储存的能

44、量为电场能，用WC表示，单位为焦耳(J)，即C2CC2CCCCXUXIIUQ(5-29) CqqUCUWCCC2212122(5-30) 第5章正弦交流电路101101【例5-17】 知一电容C=50mF，接到220V、50Hz的正弦交流电源上。求：(1)电容元件的容抗XC；(2)电路中的电流IC和无功功率QC；(3)电源频率变为1000Hz时的容抗。解 (1)电容元件的容抗为(2)流过电容元件的电流为7 .6350105014. 3212116CfCCXA45. 37 .63220CCCXUI第5章正弦交流电路102102无功功率为QC=UCIC=2203.45=759var无功功率前加负号

45、表示元件的无功功率呈容性。(3)当f1000Hz时，有 18. 31050100014. 3212116CfCCX第5章正弦交流电路103103【例5-18】 知一电容C100mF，接到的电源上。(1)求流过电容的电流IC。(2)求电容元件的有功功率PC和无功功率QC。(3)求电容中储存的最大电场能量WCm。(4)绘出电流和电压的相量图。解 (1)电容元件的容抗为电容上的电压为 V)451000sin(2220Ctu10101001000116CCXV45220CU第5章正弦交流电路104104所以流过电容的电流为(2)有功功率为PC0无功功率为QCUCIC220224840var(3)电容元

46、件中储存的最大电场能量为 (4)相量图如图5-26所示。 A4522901045220jCCXUIJ84. 4)2220(101002121262CmCCUW第5章正弦交流电路105105图5-26 例5-18图 第5章正弦交流电路1061065.4 基尔霍夫定律的相量方式基尔霍夫定律的相量方式欧姆定律和基尔霍夫定律是分析各种电欧姆定律和基尔霍夫定律是分析各种电路的实际根据，我们曾经讨论了电阻、电感、路的实际根据，我们曾经讨论了电阻、电感、电容元件的欧姆定律的相量方式。在交流电电容元件的欧姆定律的相量方式。在交流电路中，由于引入了电压、电流的相量，因此路中，由于引入了电压、电流的相量，因此基尔

47、霍夫定律也应有相应的相量方式。基尔霍夫定律也应有相应的相量方式。1.基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律根据电流延续性原理，在交流电路中，根据电流延续性原理，在交流电路中，基尔霍夫电流定律可论述如下：任一瞬间流基尔霍夫电流定律可论述如下：任一瞬间流过电路的一个节点过电路的一个节点(或闭合面或闭合面)的各电流瞬时的各电流瞬时值的代数和等于零，即值的代数和等于零，即i=0第5章正弦交流电路107107正弦交流电路中，假设各电流都是与电源同频率的正弦量，把这些同频率的正弦量用相量表示，即得电流前的正、负号是由其参考方向决议的。假设支路电流的参考方向流入节点，取正号；流出节点取负号。式(5-31)就是相量

48、方式的基尔霍夫电流定律(KCL)。【例5-19】 图5-27(a)、(b)所示电路中，知电流表A1、A2、A3的读数，求电路中电流表A的读数。 0I(5-31) 第5章正弦交流电路108108图5-27 例5-19电路图 第5章正弦交流电路109109解 设端电压。 (1)选定电流的参考方向如图5-27(a)所示，那么有 由KCL得即电流表A的读数为。留意：这与直流电路是不同的，总电流并不是20A。 A0101IA90102I(与电压同相) (滞后于电压90) A45210A)10j10(A)9010010(21IIIA210第5章正弦交流电路110110(2)选定电流的参考方向如图5-27(

49、b)所示，那么有由KCL得 即电流表A的读数为5A。例5-19假设用相量图分析更为方便。并联电路以电压为参考相量，绘出图5-27(a)、(b)的相量图分别如图5-28(a)、(b)所示。A908A904A03321III(超前于电压90) A535A)j84 j3(A)90890403(321IIII第5章正弦交流电路111111图5-28 用相量图分析并联电路 第5章正弦交流电路1121122.基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律根据能量守恒定律，基尔霍夫电压定律也同样适用于根据能量守恒定律，基尔霍夫电压定律也同样适用于交流电路，即任一瞬间，电路的任何一个回路中各段电压交流电路，即任一瞬间，电路

50、的任何一个回路中各段电压瞬时值的代数和等于零瞬时值的代数和等于零,即即u=0在正弦交流电路中，各段电压都是同频率的正弦量，在正弦交流电路中，各段电压都是同频率的正弦量，所以一个回路中各段电压相量的代数和也等于零，即所以一个回路中各段电压相量的代数和也等于零，即这就是相量方式的基尔霍夫电压定律这就是相量方式的基尔霍夫电压定律(KVL)。运用。运用KVL时，先对回路选一个绕行方向，参考方向与绕行方向时，先对回路选一个绕行方向，参考方向与绕行方向一致的电压相量取正号，反之取负号。一致的电压相量取正号，反之取负号。 0U(5-32) 第5章正弦交流电路113113【例5-20】 如图5-29(a)、(

51、b)所示电路中，知电压表V1、V2、V3的读数，试分别求各电路中电压表V的读数。解 设电流为参考相量，即 (1)选定i、u1、u2、u的参考方向如图5-29(a)所示，那么 由KVL可得 所以电压表V的读数为。 01IIV061UV9062U(与电流同相) (超前于电流90) V4526j6)V6(V)90606(21UUUV 26第5章正弦交流电路114114图5-29 例5-20图 第5章正弦交流电路115115(2)选定i、u1、u2、u3的参考方向如图5-29(b)所示，那么由KVL可得 即电压表V的读数为5V。 此例也可用相量图来简化分析，串联电路以电流为参考相量，请参照例5-19自

52、行绘出图5-29(a)、(b)的相量图。V902V905V04321UUU(滞后于电流90) V375j2)V-j54(V)90290504(21UUUU第5章正弦交流电路116116从上述两例题可以看出，正弦量的有效值并不满足KCL和KVL。在图5-27中，II1I2I3，在图5-29中，UU1U2U3，这正是正弦交流电路与直流电路的不同之处，它是由正弦交流电路本身固有的规律所决议的。 第5章正弦交流电路1171175.5 阻抗串联电路的分析阻抗串联电路的分析前面讨论了电阻、电感、电容元件在交前面讨论了电阻、电感、电容元件在交流电路中的特性，当将这些电路元件串联衔流电路中的特性，当将这些电路

53、元件串联衔接时，其特点是流经每个元件的电流一样，接时，其特点是流经每个元件的电流一样，因此可根据基尔霍夫定律进展分析。因此可根据基尔霍夫定律进展分析。5.5.1 阻抗阻抗电阻元件对直流电和交流电都有妨碍作电阻元件对直流电和交流电都有妨碍作用，而作为常见的电路元器件，除了电阻还用，而作为常见的电路元器件，除了电阻还有电容和电感，前面我们提到过，这两者对有电容和电感，前面我们提到过，这两者对交流电和直流电同样有妨碍作用，分别称之交流电和直流电同样有妨碍作用，分别称之为容抗和感抗，用为容抗和感抗，用XC、XL表示。但是它们表示。但是它们的这种作用跟电阻的妨碍作用有所不同。的这种作用跟电阻的妨碍作用有

54、所不同。第5章正弦交流电路118118电容具有“隔直通交的特性，就是对直流电有隔断作用，不能经过，而交流电可以经过，而且随着电容值的增大或者交流电频率的增大，电容对交流电的妨碍作用越小，这种妨碍作用可以了解为“电阻，但是又不等同于电阻。而电感，是对直流电无妨碍作用(假设严谨地研讨的话，在通电到达饱和之前的短暂的几毫秒的暂态内，也是有妨碍的)，对交流电有妨碍作用。第5章正弦交流电路119119容抗和感抗分别用来表示电容和电感这两种储能元件对交流电的妨碍作用，两者可合称为电抗，用X表示。电抗的单位与电阻一样都是欧姆，两者的共同作用合称“阻抗，即在交流电路中，一切电路元件对交流电所起的总的妨碍作用叫

55、做阻抗，用Z表示。类比电阻元件的欧姆定律可得阻抗Z的表达式，也可写成代数方式和极坐标方式，即ZXRIUZj(5-33) 第5章正弦交流电路120120由上式可知，阻抗是一个复数，也叫做复阻抗，等于电压相量和电流相量的比值，但阻抗不是正弦量，也不是相量，所以上面不能加点。阻抗的实部是电阻，虚部是电抗|Z|称为阻抗的模，Z称为阻抗角，量纲是欧姆。对于一个详细电路，阻抗不是不变的，而是随着电源频率变化而变化。第5章正弦交流电路1211215.5.2 RLC串联电路分析串联电路分析RLC串联交流电路是正弦电路的典型例如。串联交流电路是正弦电路的典型例如。1.电压与电流的关系电压与电流的关系RLC串联电

56、路如图串联电路如图5-30(a)所示，设电流所示，设电流i=Imsint为参为参考正弦量，其相量为考正弦量，其相量为=I0，各元件电压，各元件电压uR、uL、uC的的参考方向均与电流的参考方向关联。参考方向均与电流的参考方向关联。由由KVL得端口总电压为得端口总电压为 ItiCtiLiRuuuud1ddCLR第5章正弦交流电路122122图5-30 RLC串联电路 第5章正弦交流电路123123由于都是线性元件，所以各元件上的电压以及电路端电压、端电流都是同频率的正弦量，故电压可以用相量表示为由于单一参数的电压、电流关系为所以，总电压为 式中的Z=R+jX=R+j(XLXC|Z|fZ，即为阻抗

57、。 CLRUUUUIXUIXUIRUCCLLRjjIZIXRIXXRIXIXIRU)j()( jjjCLCL(5-34) 第5章正弦交流电路124124式(5-34)称为RLC串联电路欧姆定律的相量方式，可用图5-30(b)所示的相量模型表示，相量图如图5-31(a)所示。由电压相量图可看出， (电抗电压)、组成一个直角三角形，该三角形称为电压三角形，如图5-31(b)所示。从电压三角形可知电阻、电感及电容电压有效值与总电压有效值之间的关系为CLX ,UUUURURCLRXiu2X2R2CL2Rarctanarctan)(UUUUUUUUUUU(5-35) 第5章正弦交流电路125125图5-

58、31 RLC串联电路电压、电流、阻抗关系 第5章正弦交流电路126126在RLC串联电路中，电流处处相等，将电压三角形的每边除以电流I，得出新的三边，构成阻抗三角形，如图5-31(c)所示。可见RLC串联电路中，电压三角形与阻抗三角形类似。由阻抗三角形得出RXRXXXRXXRIUZarctanarctan)(CLiu222CL2(5-36) 第5章正弦交流电路1271272.电路的性质电路的性质值得一提的是，阻抗角值得一提的是，阻抗角Z是判别电路性质的重要元素。是判别电路性质的重要元素。(1)当当fZ0，即，即XLXC，X0，在相位上总电压，在相位上总电压u比电比电流流i超前超前Z角，电路中电

59、感的作用大于电容的作用，电路呈角，电路中电感的作用大于电容的作用，电路呈电感性，如图电感性，如图5-31所示。所示。(2)当当fZ0，即，即XLXC，X0，因此电路呈感性。 第5章正弦交流电路131131由u=10sin106tV，得电压相量为那么 由此得电流瞬时值表达式为 V0250210UA4514525025ZUIA)4510sin(26ti第5章正弦交流电路132132各元件上的电压为 相量图见图5-34。 V13514511V4554516V4554515CCLLRjIjXUjIjXUIRU第5章正弦交流电路133133图5-34 例5-21相量图 第5章正弦交流电路134134(2

60、)当角频率变为2105rad/s时，电路阻抗为k2 . 110610235LLXk510001. 01021165CCXk5 .4925. 3.83 j5)( jCLXXRZ由于fZ0,因此电路为电感性电路。(2)根据欧姆定律的相量方式，有得电压瞬时值表达式为 372016j12)610( j)820(21ZZZV71003720305 ZIUV)7314sin(2100tu第5章正弦交流电路139139(3) 相量图如图5-36所示。 V4 . 3550710037206 .265102111UZZZUV1235071003720153102122UZZZU第5章正弦交流电路140140图5