第四章力系的平衡

1、 平面一般力系可以简化为主矢量和主矩。由于一个力不平面一般力系可以简化为主矢量和主矩。由于一个力不能与一个力偶平衡，因此，能与一个力偶平衡，因此，：即即 22xyo0F+F=00MF =0ROM F O000 xyzFFMMFF所有力在x和y轴上的投影的代数和分别等于零。各力对任意一点O之矩的代数和等于零。投影方程力矩方程 yAB0000 xFFMMFF 或条件：条件：但但A，B两矩心连线不能垂直于所选投两矩心连线不能垂直于所选投 影轴（影轴（x轴）轴）二矩式平衡方程所有力在x轴或y轴上的投影的代数和分别等于零。各力对任意一点A和B之矩的代数和等于零。投影方程力矩方程 0)(00BAFFFCM

2、MM条件：条件：其中其中，A，B，C三点不能共直线。三点不能共直线。三矩式平衡方程各力对任意一点A、B和C之矩的代数和等于零。力矩方程 对于平面一般力系，无论选择哪种形式的平衡方对于平面一般力系，无论选择哪种形式的平衡方程，都只能列出独立的三个方程，故只能求出三个程，都只能列出独立的三个方程，故只能求出三个未知量。未知量。说明：说明： 各力作用线位于同一平面内且互相平行的力系，称为平面各力作用线位于同一平面内且互相平行的力系，称为平面平行力系。平行力系。 如力在如力在 x 轴上的投影均恒等于零，平面平行力系只有两个轴上的投影均恒等于零，平面平行力系只有两个独立方程。独立方程。0)(00FMFy

3、 00BAFFMMA，B连线不能与连线不能与各力平行。各力平行。() ()22 0=0FFxyR=+邋F00 xyFF 平面汇交力系各力作用线交于一点，可以合成为一个平面汇交力系各力作用线交于一点，可以合成为一个合力，因此，合力，因此，即即所有力在x和y轴上的投影的代数和分别等于零。投影方程 00BAFFMM其中力系汇交点其中力系汇交点O与与两矩心两矩心A，B不得共直线。不得共直线。 00AFMFx 其中力系汇交点其中力系汇交点O与矩心与矩心A点的连线不得点的连线不得垂直于垂直于x轴。轴。解：解： 1）解除简支刚架解除简支刚架A、B处的约束，取分离处的约束，取分离体体ACB，并画出受力，并画出

4、受力图；图； 2）选取合适的坐标选取合适的坐标轴；轴；aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB图 4-1 试求例试求例2.2所示简支刚架的所示简支刚架的A、B支座反力，已知作用于支座反力，已知作用于刚架刚架C点一集中力点一集中力F。刚架的尺寸如图。刚架的尺寸如图4-1（a）所示。）所示。 yB0:cos45020:sin45022xoAAoABAFFFFFFFFFFF3）建立平衡方程并求解：建立平衡方程并求解：aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB图 4-1所求得的所求得的FA为负值，说明为负值，说明FA的方向应该指向左下方。的方向应该指向左下方。说明：说明：m0 平面力偶系

5、可以合成为一个合力偶，平面力偶系可以合成为一个合力偶，。 因此，平面力偶系平衡的因此，平面力偶系平衡的必要与充分条件必要与充分条件是力偶系的是力偶系的合力偶之矩为零，即合力偶之矩为零，即力偶系所有力偶的合力偶之矩为零。力偶矩方程平面力偶系的平衡方程AB图 4-2(a)(b)lBAFFmBAm2112mm 如图所示简支梁如图所示简支梁AB，A端为固定铰支座约束，端为固定铰支座约束，B端为可端为可动铰支座约束。在梁上作用了矩为动铰支座约束。在梁上作用了矩为m1=10kNm和和m2=20kNm的两个力偶，梁的跨度的两个力偶，梁的跨度l=5m，=30o，试求梁，试求梁A、B支座支座的反力。的反力。解：

6、解： 1）取取AB梁作为研究对象，梁作为研究对象，分析受力并画出受力图；分析受力并画出受力图； 2）建立力偶系的平衡方程建立力偶系的平衡方程并求解：并求解：o12AAB21o0:cos30 50 =5cos304 3 kN3mmmFFFmm AB图 4-2(a)(b)lBAFFmBAm2112mmABF图4-3(a)CqD2m1m1m 如图所示简支梁，如图所示简支梁，A处固定铰支座约束，处固定铰支座约束，B处可动铰支座处可动铰支座约束。在约束。在AC段作用了荷载集度为段作用了荷载集度为q=5kN/m的均布荷载，在的均布荷载，在D点处作用一集中力点处作用一集中力F=10kN，=60o，各尺寸如图

7、，各尺寸如图4-3（a）所）所示。试求示。试求A、B支座的约束反力。支座的约束反力。yxABFFF图4-3(b)CFqDABA 0:cos32 10132 120kN2ABBMFFqFFq F解：解： 1）解除简支梁解除简支梁A、B处的约处的约束，取分离体束，取分离体ACB，并画出，并画出受力图；受力图； 2）选取合适的坐标轴及矩选取合适的坐标轴及矩心；心； 3）建立平衡方程，并求解：建立平衡方程，并求解： yxABFFF图4-3(b)CFqDABA0:sin0sin10 3kN0:cos202coskxAxBAxByAyBAyBFFFFFFFFqFFFqF 20kNBF 1). 1). 选取

8、研究对象，取分离体，画受力图。选取研究对象，取分离体，画受力图。2). 2). 根据受力图中力系的特点，灵活地选取投影轴和根据受力图中力系的特点，灵活地选取投影轴和 矩心或矩轴。矩心或矩轴。（1 1） 使尽可能多的未知力与投影轴垂直；使尽可能多的未知力与投影轴垂直；（2 2） 使尽可能多的未知力作用线通过矩心或使尽可使尽可能多的未知力作用线通过矩心或使尽可能多的未知力与矩轴共面，以求做到列出一个平衡方能多的未知力与矩轴共面，以求做到列出一个平衡方程，就能求解一个未知量，避免解联立方程。程，就能求解一个未知量，避免解联立方程。3). 3). 列平衡方程解出所需的未知量。列平衡方程解出所需的未知量

9、。图示为一管道支架，其上搁有管道，设每一支架图示为一管道支架，其上搁有管道，设每一支架所承受的管重所承受的管重G1=12kN，G27kN，且架重不计。且架重不计。求求: : 支座支座A和和C处的约束反力，尺寸如图所示。处的约束反力，尺寸如图所示。030cm30cmFFFGG解：解： 1）以支架连同管道一起以支架连同管道一起作为研究对象受力分析；作为研究对象受力分析； 2）选取合适的坐标轴及选取合适的坐标轴及矩心；矩心； 3）建立平衡方程，并求建立平衡方程，并求解：解： AC12C120cos3060tan3030600226 NooMFGGFGGk F030cm30cmFFFGGACAC0co

10、s300cos3022.5 NxoxoxFFFFFk 0AyC12A12C0sin300sin306 NyoyFFFGGFGGFk 030cm30cmFFFGG0yFA1A603006 NyyFGFk 0DFM弃去而代之以弃去而代之以: :030cm30cmFFFGG采用二矩式平衡方程解采用二矩式平衡方程解: :将平衡方程将平衡方程保留平衡方程保留平衡方程: :AD00MMFF030cm30cmFFFGG再列出平衡方程：再列出平衡方程： CA1212Ao0:60tan3030600222.5 N2tan30oxxMFGGGGFkF 试求图示悬臂梁固定支座A的约束反力。梁上受集中力F和线荷载作用

11、，线荷载最大集度为qA，梁长度为l。 Aolx600MAxAyFFqAF010:cos6002xAxAxFFFFF解：解： 1）以悬臂梁作为研究对象以悬臂梁作为研究对象受力分析；受力分析； 2）选取合适的坐标轴及矩选取合适的坐标轴及矩心；心； 3）建立平衡方程，并求解：建立平衡方程，并求解： 021( )0:sin600233126AAAAAlMMFlq lMFlq l F选选A为矩心建立力矩方程为矩心建立力矩方程 Aolx600MAxAyFFqAF00 :1sin 60023122yAyAAyAFFFq lFFq l 由若干个物体借助某些约束方式连接而成的系统。由若干个物体借助某些约束方式连

12、接而成的系统。 外约束：物体系统受到外界物体的约束。外约束：物体系统受到外界物体的约束。 内约束：物体系统内，各个物体的相互联系。内约束：物体系统内，各个物体的相互联系。 外力：系统以外的物体作用于系统的力称为该系统外力：系统以外的物体作用于系统的力称为该系统 的外力。的外力。 内力：系统内部各物体间的相互作用称为内力。内力：系统内部各物体间的相互作用称为内力。 物体系统平衡时，组成物体系统的每个物体物体系统平衡时，组成物体系统的每个物体也处于平衡。也处于平衡。 若物体系统由个物体组成，则对于平面一若物体系统由个物体组成，则对于平面一般力系：般力系： 有个独立的平衡方程有个独立的平衡方程 可以

13、求解可以求解3个未知数。个未知数。 每对内力均为平衡力，在研究物体系统的平衡每对内力均为平衡力，在研究物体系统的平衡问题时，内力不应出现在受力图和平衡方程中。问题时，内力不应出现在受力图和平衡方程中。注意：注意： 按构造特点与荷载传递规律可将物体系统分为：按构造特点与荷载传递规律可将物体系统分为： 主要部分（基本部分）：是指能独立承受荷载主要部分（基本部分）：是指能独立承受荷载并维持平衡的部分。并维持平衡的部分。 次要部分（附属部分）：是指必须依赖于主要次要部分（附属部分）：是指必须依赖于主要部分才能承受荷载并维持平衡的部分。部分才能承受荷载并维持平衡的部分。 Fq有主次之分的物体系统有主次之

14、分的物体系统CFDE(1)ABFCF(2)HEAFDBq有主次之分的物体系统有主次之分的物体系统有主次之分的物体系统有主次之分的物体系统qEDCAACBBABF(3)(4)Aq(b)CBqDEACDE(a)BqFFFF 作用在主要部分上的荷载，不传递给次要部分，作用在主要部分上的荷载，不传递给次要部分，也不传递给与它无关的其他主要部分；也不传递给与它无关的其他主要部分； 作用在次要部分上的荷载，一定要传递给与它作用在次要部分上的荷载，一定要传递给与它相关的部分。相关的部分。 研究有主次之分的物体系统的平衡时，应先分研究有主次之分的物体系统的平衡时，应先分析次要部分，后分析主要部分或整体。析次要

15、部分，后分析主要部分或整体。 CACBBAqFGFABCAGCDEqqBFED 作用在某部分上的荷载，一般要通过与其相互作用在某部分上的荷载，一般要通过与其相互连接的约束，依次传递到其他部分上，引起相关约连接的约束，依次传递到其他部分上，引起相关约束的约束反力。束的约束反力。 ：没有被完全约束住，而能实现既定：没有被完全约束住，而能实现既定运动的物体系统称为运动机构。运动的物体系统称为运动机构。这类物体系统，只有当作用于其上的主动力之这类物体系统，只有当作用于其上的主动力之间满足一定关系时，才能平衡。间满足一定关系时，才能平衡。ABFMO 沿机构运动传动顺序逐个构件的进行传递，沿机构运动传动顺

16、序逐个构件的进行传递，从而引起各构件的约束反力。从而引起各构件的约束反力。通常由已知到未知依运动传动顺序逐个选取通常由已知到未知依运动传动顺序逐个选取研究对象求解。研究对象求解。 在图示多跨梁中，已知在图示多跨梁中，已知qD=12kN/m，M=15kNm。试求试求A、C处的约束反力。处的约束反力。DBAMC3m3m3mDq解：解： 这是一个由主要这是一个由主要部分部分AB和次要部分和次要部分BC组成的物体系统，受力组成的物体系统，受力图如图所示。图如图所示。1 1）求解有主次之分的物体系统约束反力）求解有主次之分的物体系统约束反力CBDBACxyoBqDMqFFFFFB xCCB yA xMA

17、FA y3m3m3m( a )( b ) 整体受力图中含有整体受力图中含有4个未知量个未知量FAx、FAy、MA及及FC，由于是平面一般力系，当研究整体时只能列出由于是平面一般力系，当研究整体时只能列出3个个平衡方程，不能将此平衡方程，不能将此4个未知量全部求解，故必须个未知量全部求解，故必须分开研究。分开研究。36kN/m6BDqq取次要部分取次要部分BC分析，受力图如图所示：分析，受力图如图所示：FFFCBxBCBy( b )B 由于不须求解由于不须求解B处约束力，处约束力，因此对因此对B B点列平衡方程：点列平衡方程：( )0:113303kN23BBCCMqFF 3FFFFxCyoDD

18、BAyAAxMMAq( a )3m3m3mC0:00:160,33kN211( )0:6 (36)90,23138kN mxAxyDAyCAyADcAAFFFqFFFMMqFMM F回到整体研究，列平衡方程回到整体研究，列平衡方程3kNCF 如图如图4-8所示两跨静定刚架，自重不计。已知：所示两跨静定刚架，自重不计。已知：F=30kN，q=10kN/m。试求。试求A、B、C、D处的约束反力。处的约束反力。这是一个由基本部分刚架这是一个由基本部分刚架AB和附属的半刚架和附属的半刚架CD所组成所组成的系统。的系统。6m3m3m3mFqBA图 4-18CDCBD(b)(a)(c)FDqFAFxAFy

19、BFyFCxFCCFyCFx 作用在附属部分作用在附属部分CD上的荷载要传递到基本部分上的荷载要传递到基本部分AB上去，故上去，故应先研究附属部分应先研究附属部分CD。拆开铰链。拆开铰链C，AB和和CD部分的受力图分别部分的受力图分别如图如图4-15（b）和（）和（c）所示。）所示。6m3m3m3mFqBA图 4-18CDCBD(b)(a)(c)FDqFAFxAFyBFyFCxFCCFyCFx( )CDD0:33 1.5015kN=创=MFqFF1）分析）分析CD，以，以C为矩心，建立平衡方程为矩心，建立平衡方程( )ABCCB0:6360,0 xyMFFFFF =+-=CC0:0,30kNx

20、AxxAxxFFFF= F=-=CCy0:0,15kN=-=yAyyAyFFFF= FCC0:0,30kNxxxFFFF=-=CCy0:30,15kNyyDFFFqF=+-=2）再对基本部分）再对基本部分AB建立平衡方程求解建立平衡方程求解得：得：无主次之分的物体系统又有无主次之分的物体系统又有（1 1）支座在同一水平线上或同一铅垂线上的系统；）支座在同一水平线上或同一铅垂线上的系统；（2 2）支座在不同一水平线上或同一铅垂线上的系统。）支座在不同一水平线上或同一铅垂线上的系统。2 2）求解无主次之分的物体系统约束反力）求解无主次之分的物体系统约束反力如图所示三铰刚架，其顶部受沿水平方向均匀如

21、图所示三铰刚架，其顶部受沿水平方向均匀分布的铅垂荷载的作用荷载集度分布的铅垂荷载的作用荷载集度 q8kN/m。已知。已知L=12m，h=6m，f=2m，求支座，求支座A，B的反力。刚架的反力。刚架自重不计。自重不计。q = 8 k N /mhf解：这是一个无主次之分解：这是一个无主次之分且支座在同一水平线上或且支座在同一水平线上或同一铅垂线上的系统，应同一铅垂线上的系统，应选用先整体再部分后回到选用先整体再部分后回到整体或选另一部分为对象整体或选另一部分为对象的解题方案。的解题方案。FFFFxhyfq = 8 k N /m（1 1）以整体为研究对象）以整体为研究对象, , 受力分析如图：受力分

22、析如图： 列平衡方程求解列平衡方程求解: : ()0:021482AByByMlFlqlFqlkN F0:10,4822BAyAyMlFlqlFqlkN FyFxhFFFf（2 2）选取刚架的）选取刚架的BC部分为研究对象，受力部分为研究对象，受力分析如图：分析如图：取取C点为矩心建立点为矩心建立力矩方程：力矩方程：( )0:()022418(CBxByBxMFlllFhfFqFkN 负号说实际设）明方向与所方向相反0018xAxBxAxBxFFFFFkN （3 3）仍以整体为研究对象；）仍以整体为研究对象；FFFFxhyfq = 8 k N /m如图所示三铰刚架，受水平力如图所示三铰刚架，受

23、水平力F F和竖向均布和竖向均布荷载荷载q的作用。已知的作用。已知q10kN/m，F=20kN，求求A、B支座的约束力。支座的约束力。q2m4m4m4m4m2mxyoqA xA yFFB yB xFFB xC yB yC xFFFFF解：（解：（1 1）以整体为研究对象，受力分析如图；）以整体为研究对象，受力分析如图；()0:2838 4041900ABxByDBxByMFFFqFF F对于整体列平衡方程：对于整体列平衡方程： q2m4m4m4m4m2mxyoqA xA yFFB yB xFFB xC yB yC xFFFFF（2 2）以）以BCBC部分刚架为研究对象，受力分析如图；部分刚架为研究对象，受力分析如图；( )0:444 (4/2)020 0CBxByBxByMFFqFF F联立式和求得：联立式和求得：kNFkFByBx42N22Ax2mAy4mBy4mxyoBx4mqFFFFF2m4m（3 3）再以整体为研究）再以整体为研究对象，列平衡方程：对象，列平衡方程：0:02kN=-+=xAxBxDAxFFFFF0:80,38yAyByAyFFFqFkN厂房组合桁架受均布荷载作用，已知厂房组合桁架受均布荷载作用，已知q=20kN，尺寸，尺寸如图如图4-18（a）所示，若不计各构件