数学物理方程复变函数复习课件

1、数学物理方程复变函数复习复变函数复习2005.4.13数学物理方程复变函数复习一、内容复数的定义和代数；复函数的定义和代数；复函数的分析理论：微分和积分；中心：解析性可导性解析函数：定义域中可导函数必要条件：满足柯西黎曼方程积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形）数学物理方程复变函数复习复函数的泰勒展开（在解析点的展开）复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开） 技巧：利用泰勒展开留数定理；留数的求法，留数定理求实函数的积分；傅立叶级数；傅立叶积分变换；拉普拉斯变换；复数项级数、复变项级数、幂级数数学物理方程复变函数复习复数的定义和代数复函数的定义和代数复函数的分析理论：微分和积分；解

2、析函数柯西定理泰勒展开洛朗展开留数定理留数的求法求实函数的积分傅立叶变换拉普拉斯变换相互关系柯西公式级数幂级数数学物理方程复变函数复习二、细节1. 复数的定义和代数iyxzcossinizei复平面zyx11O数学物理方程复变函数复习2.复函数的定义和代数Ezzf)(E ：定义域（复平面上）复函数有关概念邻域内点外点境界点 境界线区域闭区域ivuzeE:数学物理方程复变函数复习3. 分析理论导数dfdz可能有方向性！在一点的可导性：导数与方向无关柯西黎曼方程数学物理方程复变函数复习柯西黎曼方程xvyuyvxu调和函数02222yuxu02222yvxv相互共轭：已知一个，可以求出另一个例：22

3、vxxy 求 u选坐标系：22222212uvxxyxyxyyyxxy直角坐标数学物理方程复变函数复习22221222uyxxyxxy22002212( )22zzuyu zdxdxxxyxxy？极坐标22cos(1 cos )vxxy 22 sin211,uvvu 111( 2sin)cos222uv2sin2( 2sin)sin222uv 数学物理方程复变函数复习1cossincos22cos222222uududddddd全微分( 2cos)2d0( , )2cos2uu 200( , )( , )( , )2cos2sin222ifuiviueu 0022ieuzu数学物理方程复变函数

4、复习4. 柯西定理在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零AB积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形公式：., 1, 021lllSSzdzilndzz, 0)(1n数学物理方程复变函数复习柯西公式1( )( )2lf z dzf aiz例：求积分22(9)()zdi 2z 圆心在0的圆，-i 在其中22222922(9)()()99 15izzddiiiii 路径的正方向数学物理方程复变函数复习,211kkk5. 级数复数项级数收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛例：正误：0)61514131211()61514131211()81614121(261

5、51413121161514131211111111111111(1)()()2345623456102(21)nnn方法1方法2数学物理方程复变函数复习5. 级数复变项级数1111111111112345623456 此级数并不绝对收敛，上述运算无意义！,)()()()(211zzzzkkk收敛、一致收敛、绝对一致收敛数学物理方程复变函数复习例n311) 1(3111101714113解01010, 0101)(1nnbababadtttdttt0101) 1(nnnbadtt010) 1(nnbandtnba0) 1(nnnba10171411dtt10311231ln32ln31ii?1

6、11815121绝对一致收敛数学物理方程复变函数复习幂级数kkkkkzzazzazzaazza)()()()(020201000收敛的达朗贝尔判据绝对收敛1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk收敛圆1limkkkaaRkkkaR1lim数学物理方程复变函数复习例若0kkka z收敛101kkkazk证与它有同样收敛半径10kkkka z证：1lim,kkkaa1,R101kkkazk：11lim/lim,21kkkkkkaaakka10kkkka z：11(1)limlim,kkkkkkkaakaa数学物理方程复变函数复习泰勒展开（在解析点）：,)()(00kkkzza

7、zf.!)()()(21)(1kfdzfiakCkk与实函数展开无技术上区别例：在z=0展开1cosz11cos0在z=0解析待定系数法数学物理方程复变函数复习待定系数法：设01coskkka zz又20( 1)cos(2 )!kkkzzk为待定系数ka200( 1)1(2 )!kkkkkka zzk则2461111124!6!kkkkkkkaa za za zzzz1232345012301234567012311112222111114!4!4!4!aa za za za za za za za za za za z12340120314201111()()()12224!aa zaa z

8、aa zaaa z数学物理方程复变函数复习12340120314201111()()()12224!aa zaa zaa zaaa z01a 10a 20102aa31102aa42011024!aaa212a 32110kaaa4201111524!42424aaa2461561cos1224720zzzz 数学物理方程复变函数复习洛朗展开（奇点邻域的展开）技巧：利用泰勒展开kkkzzazf)()(0Ckkdzfia1)()(21例：在的洛朗级数0111111()222212kkziiiziziziziziiiii 001111( )1() ()222()42kkkkzizif zziizi

9、ii数学物理方程复变函数复习6. 留数定理. )(Re2)(1lnjjbsfidzzfl1l2l3l1b2b3b留数的计算单极点.)()(lim100azfzzzzm 阶极点1011)()(lim)!1(10azfzzdzdmmmmzz留数1.a数学物理方程复变函数复习例的奇点的类型令11z210( 1)sin(21)!kkkk12121001( 1)1( 1)1sin()()1(21)! 1(21)!1kkkkkkzkzkz无穷负幂本性奇点数学物理方程复变函数复习例的留数241( )zef zz23441(2 )(2 )(2 )( )1 (12)2!3!4!zzzf zzz23441(2 )

10、(2 )(2 ) 2)2!3!4!zzzzz234321(2)1(2) 1(2)22!3!4!zzz 31(2)843!63a 数学物理方程复变函数复习实函数积分类型一ixez dzizdxzzixzzx1),(21sin),(21cos1120)sin,(dxxconxR111)2,2(zizdzizzzzR类型二dxxfI)(RCRRjjjdzzfdxxfzzsfi)()(, )(Re2上半平面R类型三上半平面。jimzljjimzzezsFidzezFmxdxxFj,)(Re)(21cos)(0上半平面。jimzljjimzzezsGdzezGimxdxxGj,)(Re)(21sin)(

11、0数学物理方程复变函数复习6. 积分变换傅里叶级数基础：周期函数的傅里叶展开扩展奇函数和偶函数有限区间中的函数复数形式.sincos)(10lxkblxkaaxfkkk,sin)(1lxkbxfkk,cos)(10kklxkaaxf奇、偶延拓,)(klxkikecxf数学物理方程复变函数复习展开系数.sin)(1,cos)(1dlkflbdlkflallkllkk. )(21*deflclxkillk三角函数展开复数展开数学物理方程复变函数复习傅里叶积分无限区间x,sin)(cos)()(00 xdBxdAxf11( )( )cos,( )( )sin.AfdBfd 时域到频域的变换( )().ixf xFeddxexfFxi*)(21)(原函数像函数)()(xfFF)()(1Fxf F数学物理方程复变函数复习基本性质)(1)()(FidxxfxF)()( FixfF)(1)(aFaaxfF)()(00FexxfxiF)()(00FxfexiF)()(2)()(212