数学分析(第81节不定积分概念与基本积分公式课件

1、第第8 8章章 不定积分不定积分 不定积分概念与基本积分公式不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 有理函数和可化为有理函数的不有理函数和可化为有理函数的不定积分定积分第第8.18.1节节 不定积分概念与基本不定积分概念与基本积分公式积分公式 原函数与不定积分原函数与不定积分 基本积分表基本积分表 不定积分的性质不定积分的性质一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分fFI设设函函数数 与与 在在区区间间 上上都都有有定定义义. .若若( )( ),Fxf xxI 1. 问题的提出问题的提出 已知质点的运动规律已知质点的运动规律s=s(t),则速度则速度v(t)

2、=s(t); 反之若已知质点各时刻的运动速度反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其如何求其运动规律运动规律s=s(t)? 从数学角度看：从数学角度看：找一函数找一函数s=s(t)， 使使s(t) =v(t) .2. 原函数原函数定义定义1.FfI称称 为为 在在区区间间 上上一一个个原原函函数数的的 2tansec,xx 因因211,xx 因因211xx 是是的的一一个个原原函函数数. .例如例如( )( )( )( )s tv ts tv t 因，路程函数是速度函数的一个因，路程函数是速度函数的一个原函数.原函数.211x 是是的的一一个个原原函函数数. .2221ln(1)l

3、n(1)1xxxxx因，知因，知（1 1）满足何种条件的函数必定存在原函数）满足何种条件的函数必定存在原函数? ? 如如果存在原函数果存在原函数, ,它是否惟一它是否惟一? ? （2 2）若已知某个函数的原函数存在）若已知某个函数的原函数存在, ,如何把它求如何把它求出来出来? ?要求出它们的原函数也不是要求出它们的原函数也不是一件容易的事一件容易的事. .因此因此, ,如下问题要关注：如下问题要关注：应该注意到：应该注意到： 尽管象尽管象 这种形式简单的函数这种形式简单的函数, ,211x 注注 (i) 连续函数一定有原函数；连续函数一定有原函数；( )( )( )( ).f xIIF xF

4、 xf xxI 若若函函数数在在区区间间 上上连连续续，则则在在 上上存存在在原原函函数数，即即存存在在可可导导函函数数，使使，( )( ).c RF xCf x ( )( ),( )( ),( )( )( )( )0( )( ).F xf xxf xF xxf xf xF xxC 若若则则(iii)函数的两个原函数间相差一个常数；函数的两个原函数间相差一个常数；(ii) 任一函数的原函数（若存在）有无穷多；任一函数的原函数（若存在）有无穷多；定理定理1 1 ( (原函数存在性定理原函数存在性定理) )定理定理2 2 ( (原函数族的结构性定理原函数族的结构性定理) )( )( ),F xf

5、xI设设是是在在区区间间上上的的一一个个原原函函数数 则则(i)( )( ),;F xCf xIC也也是是在在上上的的原原函函数数 其其中中为为任任意意常常数数(ii) f (x) 在在 I 上的任意两个原函数之间上的任意两个原函数之间, 只可能相差只可能相差一个常数一个常数.原函数的全体为：原函数的全体为：( )F xCC 函数族函数族CxFdxxf)()(积分变量积分变量定义定义2积分常数积分常数被积表达式被积表达式积分号积分号积分变量积分变量3.3.不定积分不定积分被积函数被积函数 即即( ),f x dx例例1 1 求求.4dxx 解解54,5xx .554Cxdxx 解解例例2 2

6、求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxxdxx 0,x ln.dxxCx )ln(,xx0,1)(1xxx ,lnxx1 例例3 3 求求解解例例4 设曲线通过点设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解 设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点由曲线通过点(1,3)2,C 所求曲线方程为所求曲线方程为22.yx代入上式代入上

7、式,得得2 1 O 1 2 x2 1 1 2 yyx2+2 yx2(1, 3) (1) ( )( )( ),f xF xf x的的一一个个原原函函数数的的图图形形叫叫做做函函数数的的一一条条积积分分曲曲线线 如如图图. .不定积分的几何意义不定积分的几何意义(2)( )( ),( );Fxf xxf xx 因因为为故故积积分分曲曲线线上上点点 处处切切线线的的斜斜率率恰恰等等于于在在 处处的的函函数数值值1(3)( )( )( ).yF xyF xCyF xC 平平移移曲曲线线得得另另一一条条积积分分曲曲线线, ,据据此此可可得得到到整整个个曲曲线线族族(4)( )( ).F xCf xx 因

8、因为为（）故故在在点点 处处，各各个个积积分分曲曲线线在在该该点点的的切切线线皆皆平平行行Oxyxy=F(x)4.4.积分运算与微分运算的关系积分运算与微分运算的关系( )( )( )( )df x dxf xdf x dxf x dxdx 或或先积后微形式不变先积后微形式不变先微后积差一常数先微后积差一常数( )( )( )( )F x dxF xCdF xF xC 或或arctanarctandxdxxdx arctanarctandxdxxdx 或或sinsin()xxdxCxx sinsin()xxdCxx 或或例如例如二、基本积分表二、基本积分表 将一些基本的积分公式列成一个表将一些

9、基本的积分公式列成一个表基本基本积分表积分表. .(Basic Formula of Indefinite Integra) kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln;dxxCx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax

10、shxdx)14(;Cchx chxdx)15(;Cshx 22xxxxeeshxeechx dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证( )( )f x dxg x dx ( )( )f x dxg x dx ).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质三、不定积分的性质(Properties of the Definite Integral) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k定理定理3 3（线性运算法则）（线性运算法则）例例5 5 求不定积分求不定积分解解

11、3(cos).xex dx 3 cosxe dxdx (3cos )xex dx Cxex sin3例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxC 例例7 7 求积分求积分解解.124dxxx dxxx 241221(1)1xdxx 2211x dxdxdxx Cxxx arctan33例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx2cos121.tan21Cx 被积函数进行恒等变形，再使用基本积分公式被积函数进行恒等变形，再使用基本积分公式. . dxx1cos2112例例9 9 求积分求积分xdx2tan解解 22tan(sec1)tanxdxxdxxxC 基本积分公式基本积分公式不定积分的性质不定积分的性质原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系小结小结)()(xfxF CxFdxxf)()(练习题练习题6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .3 3、 dxx2cos2 4 4、 d