绪论 数值计算方法的研究对象和特点

1、计算方法太原理工大学信息与计算科学Computing Methods数学学院 信息与计算科学系实际问题实际问题模型设计模型设计算法设计算法设计问题的解问题的解上机计算上机计算程序设计程序设计 在科学研究、工程实践和经济管理等工作中，存在科学研究、工程实践和经济管理等工作中，存在大量的科学计算、数据处理等问题在大量的科学计算、数据处理等问题. .应用计算机解应用计算机解决数值计算问题是科技工作者应当具备的基本能力决数值计算问题是科技工作者应当具备的基本能力. .数学学院 信息与计算科学系 计算方法计算方法是研究适合在计算机上使用的是研究适合在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值实

2、际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法计算方法, , 也叫也叫数值分析数值分析. . 换句话说换句话说, , 计算方法是一种研究并解决计算方法是一种研究并解决数学问题的数值数学问题的数值近似解近似解的方法，是在计算机的方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法上使用的解数学问题的方法. . 数学学院 信息与计算科学系1. 面向计算机面向计算机 要根据计算机的特点提供实要根据计算机的特点提供实际可行的算法际可行的算法, 即算法只能由计算机可执行即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.一、计算方法课程的特点一、计算方法课程的特点数学学院

3、 信息与计算科学系算法分类算法分类: : 分类方法分类方法2 2：从算法执行所花费的时间：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为其为数值型算法数值型算法，否则为，否则为非数值型算法非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算法。本课程介绍数值型串行算法。 分类方法分类方法1 1：若算法包含有一个进程则：若算法包含有一个进程则称其为称其为串行算法串行算法，否则为，否则为并行算法并行算法。数学学院 信息与计算科学系2. 要有可靠的理论分析要有可靠的理论分析 计算方法中的算法计算方法中的算法理论主要是连续系统的离散化和离散型方程理论主要是连续

4、系统的离散化和离散型方程的数值求解的数值求解. 包括误差、稳定性、包括误差、稳定性、 收敛性、收敛性、计算量、存储量等计算量、存储量等.3. 要有良好的计算复杂性要有良好的计算复杂性 计算复杂性是算计算复杂性是算法好坏的标志法好坏的标志, 它包括时间复杂性它包括时间复杂性 (计算时间计算时间多少多少) 和空间复杂性和空间复杂性 (占用存储单元多少占用存储单元多少).数学学院 信息与计算科学系 算法不同算法不同, 计算量大不相同计算量大不相同. 例如例如: 求解一个求解一个n阶线性方程组阶线性方程组, 用行列式用行列式解法的克莱姆法则要进行解法的克莱姆法则要进行 (n+1)n!(n-1)次乘除次

5、乘除运算运算. n=20时时, 大约进行大约进行1021 次运算次运算, 如用每秒如用每秒 3亿次乘法运算的巨型计算机要连续工作亿次乘法运算的巨型计算机要连续工作) (100365246060103101121年年 数学学院 信息与计算科学系完全没有实际意义完全没有实际意义, 而用而用Gauss消元法只需消元法只需3060 次乘法运算次乘法运算. 选择算法非常重要！选择算法非常重要！Cramer法则法则 vs Gauss消消元元法法.数学学院 信息与计算科学系数值逼近数值逼近数值代数数值代数微分方程数值解微分方程数值解二、计算方法的研究对象二、计算方法的研究对象 微积分、线性代数、微分方程中的

6、数学问微积分、线性代数、微分方程中的数学问题。题。数学学院 信息与计算科学系数值逼近数值逼近代数插值代数插值曲线拟合曲线拟合非线性方程求根非线性方程求根数值积分与数值微分数值积分与数值微分数学学院 信息与计算科学系线性方程组的数值方法线性方程组的数值方法矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量问题问题数值代数数值代数数学学院 信息与计算科学系微分方程数值解微分方程数值解常微分方程数值解常微分方程数值解偏微分方程数值解偏微分方程数值解数学学院 信息与计算科学系三、计算方法讲述的基本内容三、计算方法讲述的基本内容1. 如何把数学模型归结为数值问题如何把数学模型归结为数值问题2. 如何制定快速的算法

7、如何制定快速的算法3. 如何估计一个给定算法的精度如何估计一个给定算法的精度3. 分析误差在计算过程中的积累和传播分析误差在计算过程中的积累和传播4. 如何构造精度更高的算法如何构造精度更高的算法5. 如何使算法较少的占用存储量如何使算法较少的占用存储量6. 如何分析算法的优缺点如何分析算法的优缺点数学学院 信息与计算科学系四、计算方法的意义与学习方法四、计算方法的意义与学习方法 1. 1. 意义意义 计算机的出现为大规模的数值计计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件算创造了条件, , 研究适合于计算机的数值方研究适合于计算机的数值方法变得十分迫切和必要法变得十分迫切和必要. . 计算方法是

8、在大量计算方法是在大量的数值计算实践和理论分析工作的基础上发的数值计算实践和理论分析工作的基础上发展起来的展起来的, , 它不仅是一些数值方法的简单积它不仅是一些数值方法的简单积累累, ,而且揭示包含在多种多样的数值方法之而且揭示包含在多种多样的数值方法之间的结构和统一的原理间的结构和统一的原理. .数学学院 信息与计算科学系 2. 学习方法学习方法 (1) 认识建立算法和对每个算法进行理论认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务分析是基本任务, 主动适应主动适应“公式多公式多”和和“理理论分析论分析”的特点的特点. (2) 注重各章建立算法的问题的提出注重各章建立算法的问题的提出, 搞清搞清问题的基本提法、逐步深入的层次及提法的问题的基本提法、逐步深入的层次及提法的正确性正确性.数学学院 信息与计算科学系 (3) 理解每个算法建立的数学背景、数学理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的线索原理和基本线索，而且对一些最基本的线索要非常熟悉要非常熟悉. (4) 从各种算法的理论分析中学习理论推从各种算法的理论分析中学习理论推理方法理方法, 提高推理证明能力提高推理证明能力. (5) 认真进行数值计算的训练认真进行数值计算的训练, 学习各种算学习各种算法完全为了应用于实际法完全为了应用于实际, 因此必须真会算