第二换元积分法PPT学习教案

1、会计学1第二换元积分法第二换元积分法. )0(d22 axxa解解: 令令, ),(,sin22 ttax则则taaxa22222sin tacos ttaxdcosd 原式原式tacos ttadcos ttadcos22 Ca 242sin2tt ax22xa taxarcsinCxax 222122atttcossin22sin 2 ax axa22 axt sin第1页/共19页. )0(d22 aaxx解解: 令令, ),(,tan22 ttax则则22222tanataax tasec ttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec 1tanseclnCtt

2、ax22ax tln22ax a)ln(1aCC Caxx22lnxa 1C axt tan第2页/共19页. )0(d22 aaxx解解:,时时当当ax 令令, ),0(,sec2 ttax则则22222secataax tatan xdtttadtansec 原原式式t d ttatansectatanttdsec 1tanseclnCtt ax22ax t1 lnC Caxx 22ln)ln(1aCC 22ax axa第3页/共19页,时时当当ax 令令,ux ,au 则则于是于是 22daxx 22dauuCaxx 22ln 22daxx，时时ax 122lnCauu 122lnCax

3、x 1222lnCaxxa )ln2(1aCC Caxx 22ln第4页/共19页 xdxxx31.5例例tdtt2216tdt21116ctt)arctan(6cxx666arctan解解: 令令 06 ttxttxd6d5 原原式式 tdtttt52636)1(第5页/共19页说明说明: : 当分母的次数较高时当分母的次数较高时, , 可采用可采用倒代换倒代换.1tx dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例6. 求求.,:6课下讨论课下讨论还可以分子

4、分母同乘还可以分子分母同乘注注x第6页/共19页1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),()1( xbaxxfn令ntbxa ,d),()2( xbxabxafnm令,ktbxa ,d),()3(22 xxaxf令令taxsin 或或taxcos ,d),()4(22 xxaxf令令taxtan ,d),()5(22 xaxxf令令taxsec 三角代换三角代换最小公倍数最小公倍数为为其中其中nmk,第7页/共19页 xxdtan)16( xxdcot)17( xxdsec)18( xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxx cotcs

5、cln(7) 分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时, 可试用可试用倒代换倒代换 ,d)()6( xafx令令xat 第8页/共19页 xxad1)20(22 xxad1)22(22 xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxa ln21Cax arcsinxaxd1)23(22Caxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln )ln(22axx221ax 第9页/共19页.32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21 arctan21 xC(P203 公式公式 (20) )例例8. 求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21x

6、xICxx942ln212(P203 公式 (23) )第10页/共19页.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21 x(P203 公式 (22) )2521xCx512arcsin例例10. 求求.1d2 xex解解: 原式原式 xxee21dCex arcsin(P203 公式 (22) )第11页/共19页)(:凑微分法凑微分法第一换元法公式第一换元法公式xdxxfxdxg)()()( )()()(xxfxg 式中式中)(:变量代换法变量代换法第二换元法公式第二换元法公式tdttfxdxftx)()()()( .,)(可导可导在求积区间内单调在求积区间内单调要求要求t ud

7、uf)(tdtg)(第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()( uufd)( 小结小结:第12页/共19页1. 解解 由题意知由题意知( )arctanf x dxxC则则2221(1)(1) (1)2xfxdxfxdx 21arctan(1)2xC (1)设函数设函数(x)(x)的一个原函数是的一个原函数是arctanx, ,求不定积分求不定积分2(1).xfxdx第13页/共19页(2) 若己知若己知 ( )( )f x dxF xC, , 求：求：22()xxef edx21()2xF eC 221()2xxf ede CxFdxxf)()(解解 由题意知由题意知

8、dxefexx)(22第14页/共19页2. 计算不定积分计算不定积分 xex1d)1(解解: 令令xet 1) 1ln(2txdtttdx122 dtt122原式原式Ctt11lnCeexx1111ln第15页/共19页xxxxd2132)2(2 xxxd2125)22(x 2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin5第16页/共19页解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法利用凑微分法 ,xx22sin2sin1原式原式 =)sin1 (d2x令令xt2sin1tttd1222ttd)111 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arct