流体力学习的题目及问题详解

1、第一章 绪论1-1 连续介质假设的条件是什么？答： 所研究问题中物体的特征尺度 L，远远大于流体分子的平均自由行程l，即 l/L 1 ）， 物体浸入液体 1中的体积为 V1 ，浸入液体 2 中的体积为 V 2 ，求物体的浮力。答： 设微元面积 dS上的压力为 p ，其单位外法向量为 n ，则作用于 dS上的流体静力为 dPpndS 。沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为 P pndS 。S设 V1 部分的表面积为 S1 ，设 V2 部分的表面积为 S2 ，两种液体交界面处物体的截面积为S0 ，并建立下述坐标系，即取交界面为交界面处的压力为 p0 。xoy 平面， z 轴垂直向上为

2、正，液体深度 h 向下为正，显然 h z。因此 P pndSSpndS pndS 。 S1S2在 S1 上 p p01h p0 1z，在 S2上 p p02z ；代入到上式中得到：P p 01 z ndSp02 z n dSS1S2p0 ndS1 z n dSp0 ndS2 z ndSS1S1S2 S2p0ndSp0ndS1 z ndS2 z n dSS1S2S1S2在此，需要注意到，由于在交界面上 z 0，因此有1z ndS2z ndS 0 。将这两S0S0项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中，则原式成为：p0 ndSp0ndS1 z ndS1 z ndSS1 S2S1S02 z nd

3、S 2 z ndSS2S0p0 ndS1z ndSSS1 S02z ndSS2 S0利用高斯公式，可以得到：Pp0 dV1z dV2 z dVVV1V20 1V1k 2V2 k1V1 2V 2 k即物体受到的浮力为 P1V12V2 k 。第三章 流体运动学3-1 粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？答： 对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：0；存在函数：P(x,y,t)v和Q x, y,t u，并且满足条件：QP。xy因此，存在流函数，且为：v dxu dy 。x, y,t Pdx Qdy3-2 轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程 ?答：如果流体为不可压缩流体， 流动为无旋流动， 那么

4、流函数为调和函数， 满足拉普拉斯方 程。3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。1)um x m y,v2 2 2 22 x y 2 x y22Kt y x2 2 2xy2Ktxy2 2 2xy，其中m ， K 为常数。答： （1）流场的加速度表达式为：uuuvvvaxu v ,ayuv。txytxy由速度分布，可以计算得到：u0,v0，因此ttum22y2 x2 ，um2xy ；x22 2 2 ， xyy22 x22； yvm2xy ，vm2 x2 yx22 2 2 ， xyy22 x22。 y代入到加速度表达式中：ax0mxm2y22xmym2xy22x2 y22x22y

5、222x2 y22x22y2m2x22x22 yay0mxm2xymym2x2 y22 x2 y22 x22 y222 x2 y22 x22 y2m2y22 x22 y22 ）由速度分布函数可以得到：u22 K y xv2Kxyt2 2 2 , xyt2 2 3 xy2Ktx3y223y22Kty3x2232Ktyy 2 3x2x22y22Ktx3y223代入到加速度表达式中：axK2 y22x22 KtxyKt22xy222Ktyxy22Ky22x22Kt 2xy2ay2xyyx222xy3x22 y223xy22x223xy2222Ktx22x 3 y2 2 3xyKtx2 y2 22xy

6、x2y2 22xyx2 y2 2Kt2KtxKt22yx2 2 2xy2Kty2y2x3x223y2x2x2y3y223yx2 y2 33-4 已知欧拉参数表示的速度场分布为x t，v y t ，试求质点位移和速度的拉格朗日表达式。已知 t 0时 x a， y b 。答： （1）流体质点的轨迹方程为：dx udt dy vdt将速度分布带入，得到：dx x t dt dy y t dt两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。将第一个方程改写为：dxx dt该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为 t 。先求齐次方程的通解，齐次方程为：dx dxddxt x，即 dxxdt ；两端同

7、时积分得到：ln x t C ， x Cet 。2 ）令非齐次方程的特解为：*tx* t C t et ，对其两端求导得到：dx* tdtC t et C t et ；* dx t将上述 x* t 和 代入到原非齐次方程中，有： dtC t et C t et C t et t 。整理得到：C t t e两端同时积分：C tt e t dtC1代入到特解中得到：C1 et 1 C1e 。3 ）将初始条件a代入上式，得到：C11，因此：xta1te，同理可得：ytb1te。轨迹方程为：r t x* t i y* t jt 1 (a 1)et it 1 (b 1)et j 。4 ）用拉格朗日法表达

8、的速度为：vtrtta 1eti b 1etj 。流动图形：流线方程为xy C ，流线和流动方向如图中实线所示；3-5 绘出下列流函数所表示的流动图形（标明流动方向），计算其速度、加速度，并求势22 函数，绘出等势线。 （1）x y；（2）xy；（3）x y ；（4）x )xy y2 。答： （1）x y流动图形：流线方程为 x y C ，流线和流动方向如图中实线所示；速度： u1， v1，yxv ui vj i j ，流场为均匀流动；加速度： a axi ay j0；求速度势函数：由于平均旋转角速度：z1v u 10 0 0 ，因此流场为无旋流场，势函2xy2数 （x,y） 存在：x,yx,

9、0x,y(x,y) udx vdyudxvdy x y ；0,00,0x,0等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。速度： ux，vy；yxv uivj xi yj ；加速度：uuax u v x 1 y 0 x xy vvay u v x 0 y 1 y xya axi a y j xi yj ；流动图形：流线方程为x/ y C ，流线和流动方向如图中实线所示；求速度势函数：由于平均旋转角速度1vu1z0 0 0 ，流场为无旋流场，势函数z2xy2( x, y) 存在：x, yx,0x,y1 2 2x y ；2(x, y) udx vdyxdxydy0,00,0x,0等势线：等势线如图中

10、虚线所示（与流线垂直）。3 ) x y速度： uyx2 ， v yx1v ui vj 2 i j ； yy加速度：uux ax u v 4x yy4vv1a y u v 3xyyx1a axi ayj4 i 3 j ；yy求速度势函数：vuivj2yi2xj 。加速度uuaxuv4xxyvvayuv4yxyaaxiayj4xi 4yj1vu由于 zz2xy224 ） x y2流动图形：流线方程为13 y30，流场为有旋流场，势函数(x,y) 不存在。x2 y2 C ，流线和流动方向如图中实线所示；速度： u2y， vy2x，x1）u y，vx ；（2）u x y ，v x22（3） u x y

11、x，v2xy y 。求之。答： (1) u y ，vx求速度势函数：1vu1z1 1 1z2xy2求流函数：3-6 已知平面不可压缩流体的速度分布为判断是否存在势函数 和流函数 ，若存在，0 ，为有旋流动，势函数 (x, y) 不存在。y；则求速度势函数：uv由于 0 0 0 ，满足不可压缩流体的连续方程，流函数 (x,y) 存在： xy(x,y)x,yvdx0,0x,0udy0,0xdx(2) u xy ， v xy求速度势函数：1vu1z111z2xy2求流函数：x,y 1 2 2 ydy x y 。0 ，为有旋流动，势函数 (x,y) 不存在。由于 ux0 ，不满足不可压缩流体的连续方程

12、， 流函数 (x,y) 不存在。3) u x2x，2xy求速度势函数：1vz22y2y0 ，为无旋流动，势函数(x,y) 存在：(x,y)x,yudx0,0vdyx,02x0,0x dxx,y 112 2xy y dy xx,0 211 x13 12 x2xy112y求流函数：由于 ux2x2x0 ，满足不可压缩流体的连续方程，流函数 (x,y)存在：x,yx,0(x,y)vdxudy2xydx0,00,0x,y2xx,022y y dy 2x y xy133y。3-7 已知欧拉参数表示的速度分布为 u Ax， vAy ，求流体质点的轨迹。答：由轨迹方程 dx dy dt，并将 u Ax和vA

13、y 代入得到：uvdx Axdt dy aydt或者写成：dx Adtx dy Adt y两端同时积分，得到：lnx At C1 lny At C2x，即yC1eAtAtC2e点的流线。3-8 已知流场的速度分布为 u xt ， v y t ，求 t 0 时通过 1,1,1答： 将速度分布函数代入连续方程：v w 0 yz得到：因此可知，速度分布与 z 坐标无关，流动为二维流动。由流函数定义式得到：x,y(x,y)0,0vdxx,0 udy0,0x,yy t dx x tx,0dy y t x x ty。由于流函数为常数时C 表示流线，因此流线方程为：C。将将条件：当 t 0 ，1、 y 1

14、代入上式，得 C2 ；因此该瞬时过1,1,1 的流线方程为：xy 1 0 。2xyt ，求t 1时过 2,1 点的流23-9 已知平面不可压缩流体的速度分布为 u x2t ， v线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。答： （1）求流线方程：由于 ux2xt2xt 0 ，流函数(x,y,t) 存在，且为：x,y(x,y,t)vdx0,0x,0udy 00,0dxx,yx2tdy x2 yt ；x,0则流线方程为：x2yt将条件：当1时，2、y1 代入，得 C 4；则该瞬时过将 ( 2,1) 点的流线方程为：2xy4。uuu222xtaxtuvxx2txyvvv2xy2aytuvx2tx

15、y2 )求加速度：将条件： t 1时， x2222xyt 0 x2 1 2xt2222yt 2xyt 2xt 2xy 2x2 yt2y 1 代入，得到该瞬时过将( 2,1) 点的流体质点的加速度为：ax12ay 123 )轨迹方程：2x t2, yt4。3-10 设不可压缩流体的速度分布为(1)u ax2by2cz2,v dxy eyz fzx;2)u2ln by22z2 ,v c2 x sin 2 a22z2c。其中a、b、c、d 、e 、f 为常数，试求第三个速度分布 w 。答： (1)将速度分布代入连续方程：uvxy0，得到：d 2a x ，wezz两端同时积分得到：w x,y,z 1e

16、z2 d 2a xz2C1 x,y 。2 ）将速度分布代入连续方程：vw0，yz由于：0；因此：两端同时积分得到：w x,y,zC2x,y 。3-11 有一扩大渠道，已知两壁面交角为1 弧度，在两壁面相交处有一小缝， 通过此缝隙流出的体积流量为1 t （m/s ），试求（ 1 ）速度分布；（ 2） t 0时壁面上 r 2处2的速度和加速度。答： （1）求速度分布：设半径为 r 处的径向速度为 vr ，周向速度为 v 。显然 v 0 ，且 vr S Q ；其中：vrr11S 1 r 1 r ，因此径向速度分布为：t；2 ）求加速度：arvr vr vrt r r113）当 t 0时，在 r 2

17、处：vr 1 1 0r 2 211，a4 ，ar212317。323-12 已知不可压缩平面势流的分速度为23ax23ay2, 0,0 点上 u v 0 ，试求通过0,0 及 0,1 两点连线的体积流量。答： （1）求速度分布：由平面不可压缩流体的连续方程得到：u 6ax ，x两端同时对y 积分：v 6axy C(x) ；将条件：在 （0,0） 点 v 0代入上式，得到：C(x) 0 ， 因此：v 6axy 。流动的速度分布为：u 3ax 23ay2，v6axy 。(x,y,t)x,yvdx0,0x,0udy 00,0dxx,y3ax2 3ay 2 dy 3ax2y ay 3。 x,03-13

18、 设流场的速度分布为u ax,v ay,w 2az ，其中 a为常数。 （ 1 ）求线变形速率，角变形速率，体积膨胀率；2）问该流场是否为无旋场？若是无旋场求出速度势。答： （1）线形变速率为：uxx a ，xyya，zz2a；角形变速率为：xy1v2x0，yz0，zxw0；x体积膨胀率为：xx yy zz aa 2a0。2 ）求速度势：由于平均角速度的三个分量分别为：1xx2wv0，yz0，因此：xiy jzk 0即流场为无旋流场，速度势函数存在，且为：3-14xy(x,y,z) udx vdy00wdz 1ax2021ay22az 。设流场的速度分布为 uy 2z,v z 2x,w x2y

19、 。试求（ 1）涡量及涡线方程；x y z 1 平面上通过横截面积 dA 1mm 2 的涡通量。答：1）求涡量和涡线方程：流场的平均旋转角速度 的三个分量分别为：1 wv1 1x 12 wyvz21 2 1 21 ，1 u w1 2 121，y 2 z x2，1 v u1 2 121z 2 x y。2因此平均旋转角速度为：12 i j k ；则涡量为：2 i jk其三个分量分别为：x i ， y j， z k ；将其代入到涡线方程：dx dydz ，得到：xyzdx dzdy dz两端同时积分得到涡线方程：x z C1y z C22 ）涡通量：将涡量在 S 上积分，得到涡通量为：JndSxiy

20、 jyknxi ny j nzk dSSSxnxy nyynz dSS其中： nnxi ny j nzk ，为平面 xyz 1 的单位外法向量。设 F x, y, z x y z 1，则：F1，1 ；zS平面外法向量 n 在三个坐标轴上的分量为：nx1111nynzFyF11111因此：3-15别为x nxS3 dS 3ynydAynz dS已知流场的流线为同心圆族，速度分布为：5y2x，v5x2x2 。试求沿圆周 y1）3，R 5 ，和 （3 ）5时，3 dS315y ，v 15x；r 5时，552R2的速度环量，其中圆的半径R 分10。答：（ 1）极坐标下的速度分布：在半径为 r的圆周上，

21、 vr 0，vu2 v2 ；当 r 5 时：11uysinr，5511vxcosr，552221222vuvsincos r5r5；当 r 5 时：5y22xy5sin r22 sin r cos r5sin5x22xy5cos r 5cos22sin r cos ru2 v25sin5cos2 ）求速度环量：速度环量dl 。其中 vvr er， dldrrder，e分别为 r 和 方向上的单位向量。因此：vrCdr errdv rdCrd 。3时：rv，52r05rd22r5185 时：rv，52r05rd22r51010时：5v，r250rrd10 。3-16设在1,0点置有0 的旋涡，1

22、,0点置有0 的旋涡，试求下列路线的速度环量：1)x4 ，（ 2 ）(x1)2y2 1，(3) x2,y2的一个方形框，0.5,y0.5 的一个方形框。答： （1）00第四章 流体动力学基本定理及其应用4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？迁移答： （1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：其物理意义为： 从左至右， 方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、 惯性力、质量力和压力表面力。2 ）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：

23、gz C ，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、 压力能和位能， 方程右端常数称流线常数， 因此方 程表示沿流线流体质点的机械能守恒。34-2 设进入汽化器的空气体积流量为 Q 0.15m3 /s ，进气管最狭窄断面直径 D=40mm ， 喷油嘴直径 d=10mm 。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径 d=6mm ，汽油液面距 喷油嘴高度为 50cm ，试计算喷油量。汽油的重度 7355N /m3 。答：（1）求 A 点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为 v1 ，压力为 p1，则根据流管的连续方程可以得到：1 2 2D2 d 2 v1 Q，414Q因此： v12 2 。D

24、d（2 ）求真空度 pv选一条流线，流线上一点在无穷远处 F，一点为 A 点；并且：在 F 点： pF p0 ， vF 0 ；在 A 点： pA p1 ?， vA v1 。将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：p0 0p12 v1 2g因此真空度为：pvp0p1122 v14Q22 D 2 d21D 2 d2 2若取空气的密度为1.226 kg /3m3 ，那么计算得到：pv8 1.2260.1523.1420.042 10.012 2 9.95103Pa 。3 ）求喷油量：设喷油嘴处汽油的速度为v2 ，并设空气的密度为1，重度为 1，汽油的重度为 2 。选一条流线，流线上一点为上述的 A

25、 点，在 A 点：pAp1 p0122v12，在 B 点：pBp0 ， vB0，zB代入到伯努利方程中，可以得到：1122v2hp0p0v12g2212整理得到：另一点为汽油液面上的 B 点；并且：vA v2 ? ， zA h 50cm 0.5m ；0；0 0 ；22v221 v12 2gh ；2因此汽油喷出速度为：v21 v12 2gh ；212N/m3； v142Q 2 ，并注意到喷油嘴的D 2 d 2其中空气重度 1 1g 1.226 9.81直径是 6mm ，而不是原来的 10mm ，则计算得到：v221.226 9.81 16 0.1527355 3.142 0.042 0.0062

26、2 9.81 0.524.366 9.813.817m / s因此汽油流量为：d 2v21 2 4 3 3Q23.14 0.006 ）求 S1上的压力 p1： 3.817 1.079 10 4m已知 S2上的压力 p2 1 个工程大气压 0.981 105 Pa； /s 107.9cm3 / s 。 44-3 如图所示， 水流流入 U形弯管的体积流量 Q=0.01m 3/s ，弯管截面由 S1 =50cm 2减小到 S2 =10cm 2，流速 v1和 v 2 均匀，若 S2 截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作用力及作用点的位置。1000kg /m3 。答：（ 1）求截面 S1和 S

27、2上的流速 v1和v2 ：由连续方程可知：2m/s，Q 0.01m3 /s S1 50 10 4 m2v2S20.01m3 /s10 10 4 m210m/s；2 p1 v1p22v22g2g得到：p1 p21v12 v22 0.981 1052由伯努利方程：3 ）求水流对弯管的作用力 P：1 1000 100 4 1.461 105 Pa 。2由动量定理可以得到：P-P1 -P22v1 S12v2S2其中 P1和 P2分别为在 S1和S2上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为 0 。因此：S1 截面上作用力为：P1 p1 p0 S1 1.164 105 0.981 105 50 10 4 240N ，S2 截面上作用力为：P2 p2 p0 S2 0 。因此：P P1v12S1 v22S2 240 103